前面所讨论的向量空间，只规定了加法和数量乘法。由于规定的运算种类较少，因此其具有比较广泛的适用性。但也带来了一些问题，那就是在解决某些特殊问题的时候，要么会感到力不从心，要么计算过程太复杂。因此，很有必要再增加一些运算，针对某些特殊问题构建具有特殊性质的空间，本节开始探讨的内积就是应此类需求而规定的运算（或者函数），适用于内积运算的空间称为内积空间。当然，我们仍然在实数域上讨论这些问题，用严格的术语表述，称之为实内积空间。