1.4.1 什么是内积空间
既然内积是一种定义，那么首先给出此定义，再对其进行诠释。
定义 实数域上的向量空间
中的内积是一个函数，用
表示，其中
是
中的向量，并且
得到的是一个实数。称
为内积（Inner Product）。
并且，内积有如下公理（设
为向量空间
的向量，
为标量）：
● 
● 
● 
● 
，当且仅当
时
一个赋予了以上内积的向量空间称为内积空间（Inner Product Space）。
注意，以上用
表示内积，但并没有规定这个函数的具体形式，当规定函数的具体形式之后，还要检验它是否符合上述公理，如果符合，则该向量空间就是内积空间。
例如对于某向量空间中的任意向量
，规定：
（1.4.1）
下面就依次检验这种规定是否符合前述公理。
● 验证
● 验证
● 验证
● 验证
，当且仅当
时
当且仅当
时上式中等号成立，即当且仅当
时。
一一验证通过，所以，具有（1.4.1）式内积运算的向量空间是一种内积空间。
通过上面的示例可知，根据内积的具体形式不同，可以规定不同的内积空间。但是在诸多的内积形式中，有一种是非常重要的，当然，它也是比较特殊的一种形式，即下面要探讨的点积。