1.3.3　维数

我们已经使用过“一维”“二维”“三维”等术语，这里的“维”指的是空间“维数”，那么什么是空间“维数”？

在讨论基的时候我们发现，虽然某个向量空间的基不是唯一的，但是，每个基的向量个数都是一样的，例如所有二维空间的基的向量个数都是2，三维空间的基的向量个数都是3……我们就将空间的基的向量个数，称为此空间的维数（Dimension）。

上述关于基和维数的概念，对于子空间也成立。

例如向量组生成了的一个子空间——过原点的一个平面，中的任意向量可以表示为：

若，即：

则：，即向量线性无关，所以，是子空间的一个基，且的维数是，即平面。

很显然，在向量空间中，根据基所创建的坐标轴的数量与该空间的维数相同。

在本节中讨论的“基”和“维数”的概念，是对向量空间或者子空间而言的，而在机器学习中，我们所遇到的“维”虽然名称与此相同，但含义迥异，请注意区分。

例如三维向量空间的维数是3，其中某个向量，以列向量的方式可以写成：，如果用NumPy的数组对象，则可以有两种方式表示这个向量。

用这种数组形式表示向量u，其数组的维数是1。如果用下面的方式，则数组的维数是2：

注意上面创建数组的方法。

所以，数组的维数是对数组对象而言的，并不对应这个数组对象所表示的向量。数组的维数，本质上反映的是该数组共有多少个坐标轴[请参阅《跟老齐学Python：数据分析》（电子工业出版社），有对此内容的详细阐述]。

这里在创建数组的时候，reshape()的参数(3,4)规定了该数组的形状，即0轴3个元素；1轴4个元素。这个数组共有2个轴，那么它的维度就是2。

在进行数据清理和特征工程操作时，常听到一种说法：数据降维。这里的“维”又指什么呢？

上面的程序所得到的iris就是机器学习中著名的鸢尾花数据集（seaborn是第三方包，需要单独安装，请参阅《跟老齐学Python：数据分析》，电子工业出版社），输出所显示的是从这个数据集中随机抽取的两条（称为样本）。每一列，表示了鸢尾花的一个属性，如sepal_length表示花萼的长度。在机器学习中，也称这些属性为“特征”，或者“维”——根据1.2.3节所述，我们希望这些“维”线性无关，如果是这样，那么也可以说所有“维”是所张成空间的“基”。所谓“降维”，就是减少列的数量（推荐参阅拙作《数据准备和特征工程》）。