1.6　非欧几何

本节纯粹是为了开阔视野，没有兴趣的读者可以略过。

通过1.4和1.5两节的学习，我们可以总结内积空间中对向量间的距离、角度和向量的范数的定义：

正如前面两节所述，如果以点积作为内积的具体函数形式，就定义了欧几里得空间，我们在中学平面几何、立体几何中所学习的公理、定理等都适用于此类空间。

如果不用点积呢？

在1.4.1中曾有一个这样的内积函数：，设此内积空间一个向量，这个向量的长度是多少？如果认为是，还是回到了欧几里得空间。根据内积空间范数定义，得：

如果还有另外一个向量，则根据前述内积定义，计算得：

这个计算结果意味着两个向量正交。如果在图中表示这两个向量，则如图1-6-1所示，图中虚线表示的是欧几里得空间中与向量垂直的方向，但是当前的内积空间因为对内积运算做了有别于点积的定义，使向量和相互垂直。那么当前的这个内积空间就不是欧几里得空间，在这个空间中，原来欧几里得几何中的公理、定理将失效。

这样看来，还可以写出很多的具体函数形式，只要符合1.4.1节中所列出的公理。我们将那些不与点积形式相同的内积空间，统称为非欧几里得空间，这类空间中的几何就是非欧几何。

非欧几何似乎不符合我们的直觉，但它符合数学逻辑，甚至是探索现实世界的重要工具。例如19世纪中叶由德国数学家黎曼（Bernhard Riemann）开创的黎曼几何（如图1-6-2所示），就是爱因斯坦相对论的数学基础。在相对论中引入了“时间—空间”的四维空间（简称时空），在这个空间中，欧几里得几何的公理、定理不再适用。在下一章，我们会将向量扩展为矩阵形式或者函数形式，如此所构成的内积空间，则形成了量子力学理论的数学框架。相对论和量子力学是20世纪两大重要的成就，现在的科技成果无不以它们为基础。

本节以较短的篇幅，旨在向读者强调，以点积定义的欧几里得空间仅是内积空间的一个特例，根据内积的不同具体形式，可以定义其他类型的非欧几里得空间，也请读者注意区分点积和内积。