2.5　像素之间的关系

图像像素在空间中是按某种规律排列的，互相之间有一定的联系。在对图像进行处理和分析时，要考虑像素之间的关系。

2.5.1　像素邻域及连通

像素之间的关系与每个像素的（由其近邻像素组成的）邻域有关。

对于一个坐标为(x, y)的像素p，它可以有4个水平和垂直的近邻像素，它们的坐标分别是(x+1, y)、(x-1, y)、(x, y+1)、(x, y-1)。这些像素（均用r表示）组成p的4-邻域，记为N4(p)，如图2-15(a)所示。需要指出的是，如果像素p处于图像的边缘，则它的N4(p)中的若干像素会落在图像外部。

像素p的4个对角近邻像素（用s表示）的坐标是(x+1, y+1)、(x+1, y-1)、(x-1, y+1)、(x-1, y-1)，记为ND(p)，如图2-15(b)所示。像素p的4个4-邻域像素加上4个对角近邻像素一起构成p的8-邻域，记为N8(p)，如图1.2.1(c)所示。需要指出的是，如果像素p处于图像的边缘，则它的ND(p)和N8(p)中的若干像素会落在图像外部。

对两个像素p和q来说，如果q在p的邻域（可以是4-邻域、8-邻域或对角邻域）中，则称p和q是邻接（分别是4-邻接、8-邻接或对角邻接）的。如果p和q是邻接的，并且它们的灰度值满足某个特定的相似准则（如它们的灰度值相等或在同一个灰度值集合中取值），则称p和q互相连接。可见连接比邻接要求更高，不仅要考虑空间（邻接）关系，还要考虑灰度（相似）关系。

如果p和q不（直接）邻接，但它们均在另一个像素的相同邻域（可以是4-邻域、8-邻域或对角邻域）中，并且这三个像素的灰度值满足某个特定的相似准则（如它们的灰度值相等或在同一个灰度值集合中取值），则称p和q连通（可以是4-连通或8-连通）。进一步，只要两个像素p和q之间有一系列依次连接的像素，则它们连通。这一系列依次连接的像素构成p和q间的一条通路。从具有坐标(x, y)的像素p到具有坐标(s, t)的像素q的一条通路由一系列具有坐标(x0, y0)，(x1, y1)，…，(xn, yn)的独立像素组成。这里(x0, y0)=(x, y)，(xn, yn)=(s, t)，并且(xi, yi)与(xi-1, yi-1)邻接，其中1≤i≤n，n为通路长度。

2.5.2　像素间距离

像素之间关系的一个重要概念是像素之间的距离。给定3个像素p、q、r，坐标分别为(x, y)、(s, t)、(u, v)，如果下列条件满足的话，称函数D是距离度量函数。

（1）D(p, q)≥0（当且仅当p=q，D(p, q)=0）。

（2）D(p, q)=D(q, p)。

（3）D(p, r)≤D(p, q)+D(q, r)。

在上述3个条件中，第1个条件表明两个像素之间的距离总是正的（当两个像素空间位置相同时，它们之间的距离为0）；第2个条件表明两个像素之间的距离与起终点的选择无关；第3个条件表明两个像素之间的最短距离是沿直线的。

在数字图像中，有多种距离。

两个像素p和q之间的欧氏距离（也是范数为2的距离）定义为

根据这个距离度量，与(x, y)的欧氏距离小于或等于某个值d的像素都包括在以(x, y)为中心、以d为半径的圆中。在数字图像中，只能近似地表示圆，例如，与(x, y)的欧氏距离小于或等于3的像素组成如图2-16(a)所示的区域（图中距离值已四舍五入）。

点p和点q之间的D4距离（也是范数为1的距离）称为城区距离，定义为

根据这个距离度量，与(x, y)的D4距离小于或等于某个值d的像素组成以(x, y)为中心的菱形。例如，与(x, y)的D4距离小于或等于3的像素组成如图2-16(b)所示的区域。D4=1的像素就是(x, y)的4-邻域像素。

点p和点q之间的D8距离（也是范数为∞的距离）称为棋盘距离，定义为

根据这个距离度量，与(x, y)的D8距离小于或等于某个值d的像素组成以(x, y)为中心的正方形。例如，与(x, y)的D8距离小于或等于3的像素组成如图2-16(c)所示的区域。D8=1的像素就是(x, y)的8-邻域像素。

欧氏距离给出的结果准确，但由于在计算时需要进行平方和开方运算，计算量大且结果一般不为整数。城区距离和棋盘距离均为非欧氏距离，计算量小，但有一定的误差。注意距离的计算只考虑图像中两个像素的（相对）位置，不考虑这两个像素（自身）的灰度值。

利用像素间的距离可定义像素的邻域，如D4=1的像素就是(x, y)的4-邻域像素。换句话说，像素p的4-邻域也可定义为

D8=1的像素就是(x, y)的8-邻域像素。类似地，像素p的8-邻域也可定义为