0.4 在测量工作中用水平面代替水准面的限度

根据0.3节内容可知，在普通测量工作中是将大地水准面近似地当成圆球看待的。一般我们的测绘产品通常是以平面图纸为介质的。因此就需要先把地面点投影到圆球面上，然后再投影到平面图纸上，需要进行两次投影。在实际测量时，若测区范围面积不大，往往以水平面直接代替水准面，就是把球面上的点直接投影到平面上，不考虑地球曲率。但是到底多大面积范围内容许以平面投影代替球面，这节主要讨论这个问题。

0.4.1 对水平距离的影响

如图0.4.1所示，地面两点A、B，投影到水平面上分别为a、b，在大地水准面上的投影为a、b′，则D、D′分别为地面点在大地水准面上与水平面上的距离。研究水平面代替水准面对距离的影响，即为用D′代替D所产生的误差ΔS。

由图可知，ΔS=D′-D因D=Rθ，在ΔaOb中，D′=Rtanθ，则

ΔS=D′-D=Rtanθ-Rθ=R（tanθ-θ）

将tanθ按级数展开为

因为面积不大，所以D′不会太长，θ很小，故略去θ五次方以上各项，并代入上式得

因为，代入上式得

以R=6371km和不同的D值代入式（0.4.1），算得相应的ΔS及ΔS/S值见表0.4.1。

从表0.4.1中可以看出，当地面距离为10km时，用水平面代替水准面所产生的距离误差仅为8.2mm，其相对误差为1/120万。而实际测量距离时，大地测量中使用的精密电磁波测距仪的测距精度为1/1000000（相对误差），地形测量中普通钢尺的量距精度约为1/2000。所以，只有在大范围内进行精密测距时，才考虑地球曲率的影响，而在一般地形测量中测量距离时，可不必考虑这种误差的影响。

0.4.2 对高程的影响

我们知道，高程的起算面是大地水准面，如果以水平面代替水准面进行高程测量。则所测得的高程必然含有因地球弯曲而产生的高程误差的影响。如图0.4.1中，a点和b′点是在同一水准面上，其高程应当是相等的，当以水平面代替水准面时，b′点升到b点，bb′，即Δh就是产生的高程误差，由于地球半径很大。距离D和θ一般很小，所以Δh可以近似地用半径为D，圆心角为θ/2所对应的弧长来表示，即

因为，代入上式得

用不同的距离代入式（0.4.2），便得表0.4.1所列的结果。从表0.4.1可以看出，用水平面代替水准面对高程的影响是很大的。距离为0.1km时，就有0.8mm的高程误差，这在高程测量中是不允许的。因此，进行高程测量，即使距离很短，也应用水准面作为测量的基准面，即应顾及地球曲率对高程的影响。