1.3 函数

问题提出

图1-9所示的是一个单三角脉冲电压的波形图，试确立电压与时间之间的函数关系．

解法探究

从图1-9看出，脉冲电压U随时间t的变化规律，需要分段进行考察，这是一个分段函数，可求得U的对应关系为

必要知识

一、函数的概念

在客观世界中，函数能够揭示事物之间量的变化关系．因此，函数是研究事物变化规律的数学模型．高等数学研究的主要对象是函数，因此有必要对中学学过的函数的有关概念和性质进行复习巩固．

1. 函数的定义

定义1-1　设D为实数集上的某个非空子集．如果对于每个x∈D，按照某种法则（或对应关系）f，都有一个确定的实数y与其对应，则称y是定义在实数集D上的x的函数，记为y=f(x)．其中，称x为自变量，数集D为函数的定义域．当自变量x取遍D中每一个值，所得相应的函数值的全体构成的集合称为函数的值域，通常记为M，即

M={y|y=f(x)，x∈(D})．

若x0∈D，则f(x0)表示自变量x=x0时的函数值，也可记为y(x0)或者y|x=x0．

由函数的定义可知，函数的定义域和对应关系是确定函数的两要素．如果两个函数的两要素都相同，那么这两个函数是相同的函数．

例1.3.1　判断函数y=x与是否为相同的函数．

解　y=x的定义域是(-∞，+∞)，而的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞)．

因此，虽然这两个函数在区间(-∞，0)∪(0，+∞)内对应关系相同，但由于它们的定义域不同，因而它们不是同一函数．

例1.3.2　求下列函数的定义域．

解　（1）要使函数y有意义，必须满足

ln(x-1)≥0，

即

x-1≥1，则x≥2

所以函数的定义域是[2，+∞)．

（2）要使函数y有意义，必须满足

解得

-2<x<2且0≤x≤4

即0≤x<2，所以函数的定义域为[0，2)．

2. 函数的表示法

函数的表示方法，通常有解析法、图像法和表格法3种．在理论分析研究中，常用解析法（又称公式法）．优点是表达精确、关系明晰．图像法的优点是直观，在工程技术和日常生活中不难发现它的广泛用途．如人们体检时做的心电图，经济生活中作分析用的股票曲线图等．表格法在生产实践中使用也很广泛，如气象站测量气温与时间变化的关系，列车时刻表等，其优点是使用方便．

在高等数学中，函数通常采用解析法表示．但解析法表示函数，并不总是由一个解析式y=f(x)表示，有时会遇到一个函数，在自变量的不同取值范围内用不同的解析式表示，例如初中学过的绝对值函数，这种函数被称为分段函数．有时还会遇到其他的表达形式的函数．

（1）隐函数

由含x，y的方程F(x，y)=0所确定的函数称为隐函数．如由方程x2+y2=4所确定的函数，就是一个隐函数．以示区别起见，把形如y=f(x)的函数称为显函数．有的隐函数能化为显函数，有的很难化为显函数．如隐函数exy-5xy-ey=0就很难化为显函数．

（2）参数式方程确定的函数

由参数方程(t∈D)来表示变量x与y间关系的函数，称为参数式函数．如由参数方程(t∈[0，π])可以确定函数，x∈[-1，1]．

例1.3.3　设函数求f(1)，f[f(1)]，f(-1)．

解

f(1)=12-1=0，

f[f(1)]=f(0)=2，

f(-1)=3×(-1)=-3．

二、函数的4个特性

函数的4个特性在初等数学中，已做过详细介绍，在此可结合5种基本初等函数的图像加以复习（见附录2）．

三、初等函数

1. 基本初等函数

中学学过的幂函数y=xα（α为实数）、指数函数y=ax（a>0且a≠1）、对数函数y=logax（a>0且a≠1）、三角函数以及反三角函数统称为基本初等函数．为便于学生复习查阅，现将这些函数的图像和性质汇集成表（见附录2）．

2. 复合函数

在实际问题中，常常还会遇到由几个基本初等函数组合而成的较复杂的函数．如，y=sin2x，y=ex2等．

定义1-2　设函数y=f(u)，u=Φ(x)，且函数Φ(x)的值域与函数f(u)的定义域有非空交集，那么y通过u而成为x的函数，这个函数称为是由f(u)和u=Φ(x)复合而成的函数，简称为x的复合函数，记作y=f[Φ(x)]，其中u叫做中间变量．

关于复合函数的几点说明如下．

① 不是任何两个函数都可以构成复合函数．

② 复合函数不仅可以有一个中间变量，也可以有多个中间变量．

③ 复合函数不仅可以由基本初等函数构成，而且更多的是由简单函数（由基本初等函数通过有限次的四则运算得到）构成的．

例1.3.4　函数y=sinu和u=2x-1能否构成复合函数，若能构成，确定它的定义域．

解　y=sinu的定义域为(-∞，+∞)，u=2x-1的值域为(-1，+∞)，显然(-∞，+∞)∩(-1，+∞)≠Φ，所以y=sinu和u=2x-1能构成复合函数，且该复合函数为

y=sin(2x-1)．

该函数有意义须满足

-∞<2x-1<+∞，

所以-∞<x<+∞，即定义域为(-∞，+∞)．

例1.3.5　指出下列复合函数的复合过程．

（1）y=etanx；

（2）y=sin2(x2+1)．

解　（1）y=etanx是由y=eu，u=tanx复合而成．

（2）y=sin2(x2+1)是由y=u2、u=sinv和v=x2+1复合而成．

通常情况下，构成复合函数是由内而外，函数套函数；分解复合函数，是采取由表及里利用中间变量层层分解．

3. 初等函数

基本初等函数和常数经过有限次的四则运算和有限次的复合所得到的函数称为初等函数．初等函数在其定义域内有一个统一的表达式．分段函数通常不是初等函数．

4. 常用的函数及函数模型

在工程和经济生活领域中，常会用到以下一些函数．

正弦型函数y=Asin(ωt+Φ)常用于描述交流电流或交流电压，不妨以电压来说明．对于u=Umsin(ωt+Φ)，u称为正弦交流电压的瞬时值，Um为正弦交流电压的最大值（幅值），ω称为角频率，Φ称为初相位，其中Um、ω、Φ为常量，且．

如我国工业和民用电频率f=50Hz，T=0.02s，角频率ω=2πf≈314．

例1.3.6　符号函数

其波形如图1-10所示．

例1.3.7　周期为2π的矩形脉冲函数

其波形如图1-11所示．

例1.3.8　旅客乘坐火车可免费携带不超过20千克的物品，超过20千克而不超过50千克的部分，每千克交费0.20元，超过50千克的部分每千克交费0.30元，求运费与携带物品重量的函数关系．

解　设旅客携带物品重量为x千克，旅客应交运费为y元，则

当0<x≤20时，y=0；

当20<x≤50时，y=(x-20)×0.2=0.2x-4；

当x>50时，y=30×0.2+(x-50)×0.3=0.3x-9；

所以应交运费为

练习1.3

1. 下列各组函数，哪些是相同的函数，哪些不是？

（1）y=|x|与；

（2）y=x-1与；

（3）y=x与；

（4）y=2lnx与y=lnx2．

2. 求下列函数的定义域．

3. 下列函数哪些是周期函数？如果是求其最小正周期．

（1）y=sin3x；

（2）y=|cosx|；

（3）y=tan2x；

（4）y=ln(cosx+2)．

4. 下列各对函数中，哪些可以构成复合函数？

（1）f(u)=ln(1-u)，u=sin2x；

（2）．

5. 指出下列函数的复合过程．

（1）；

（2）y=ln(1-x2)；

（3）y=sin2(x+1)；

（4）y=ecos2x；

（5）；

（6）．

习题1.3

1. 求下列函数值或表达式．

（1）已知，求f(1)，f(π/4)，f(π)的值．

（2）已知f(sinx)=cos2x，求f(x)．

2. 指出下列函数的复合过程．

（1）y=ln2x；

（2）y=sin(x2+1)；

（3）y=lntan2x；

（4）.