1.2 极坐标

问题提出

图1-5所示为某大学地理位置的示意图，如果某大一新生在入学后向学长打听湿地公园和博物馆的位置，学长如何作答比较好呢？

解法探究

通常告诉这位新同学，该地位于学校的什么方向，相距多远，就能使他清楚知道此位置了．所以可以这样作答，湿地公园在北偏东30°方向，距学校18km处；博物馆在北偏西45°方向，距学校10km处．这种用方向和距离两个要素来表示点的位置的方法就是本节所要介绍的极坐标．

必要知识

一、极坐标系

如图1-6所示，在平面上任取一个定点O，由O引射线Ox，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向），这就在平面上建立了一个极坐标系．称O为极点，射线Ox为极轴．

对于平面内任意一点M，用ρ表示线段OM的长度(ρ≥0)，以Ox轴为始边，OM为终边的角度为θ，则称有序数对(ρ，θ)为M点的极坐标，ρ称为M点的极径，θ称为M点的极角．

已知极坐标(ρ，θ)，在平面上可以唯一地确定一点与之相对应；反之，已知平面上一点，则其极坐标并不唯一．如果M的一个极坐标为(ρ，θ)，则(ρ，θ+2kπ)(k∈Z)都是M点的极坐标．特殊地，当ρ=0时表示极点，此时极角θ可以是任意值．因此，在极坐标系中，点和极坐标不是一一对应的，这一点与直角坐标不同．

如果规定：

ρ>0，0≤θ<2π，则在极坐标系中，极坐标(ρ，θ)与平面上的点（除极点外）就建立了一一对应的关系．所以，在确定点的极坐标时，通常在这一限定范围内取值．

二、极坐标与直角坐标的关系

如图1-7所示，在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并且两坐标系中取相同的长度单位，则平面上任意一点M的极坐标为(ρ，θ)与其直角坐标(x，y)的关系如下．

例1.2.1　将点M的极坐标(5，2π/3)化成直角坐标．

解　由极坐标与直角坐标的互化关系，可得

所以，点M的直角坐标为．

例1.2.2　将点M的直角坐标化成极坐标．

解　由极坐标与直角坐标的互化关系，可得

由点的直角坐标可知，点M在第三象限，所以θ=7π/6．因此，点M的极坐标为(2，7π/6)．

三、曲线的极坐标方程

用极坐标描述的曲线方程称为曲线的极坐标方程，通常用F(ρ，θ)=0表示．曲线C上的点与极坐标方程F(ρ，θ)=0有如下关系．

（1）曲线C上任一点的坐标满足方程F(ρ，θ)=0．

（2）以方程F(ρ，θ)=0的所有解为坐标的点(ρ，θ)都在曲线C上．

1. 极坐标方程与直角坐标方程互化

例1.2.3　将极坐标方程转化为直角坐标方程．

解　因为，得

由两种坐标的互化关系可知，所求直角坐标方程为

例1.2.4　将方程x2+y2=4y转化为极坐标方程．

解　将x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入直角坐标方程，得

ρ2=4ρsinθ，

即所求圆的极坐标方程为

ρ=4sinθ（ρ=0包含此方程中）．

例1.2.5　判断极坐标方程ρ=2acosθ表示的是什么曲线？

解　因为ρ2=2aρcosθ，由极坐标与直角坐标间的互化关系可知

x2+y2=2ax，

即

(x-a)2+y2=a2，

所以，该极坐标方程表示的是以(a，0)为圆心，|a|为半径的圆．

2. 极坐标方程的建立

求曲线的极坐标方程的方法和步骤与求曲线的直角坐标方程类似．即首先在曲线上任设一个动点M(ρ，θ)，再根据已知条件建立动点ρ和θ的关系式，最后化简得曲线的极坐标方程．

例1.2.6　如图1-8所示，求过极点，圆心在极轴上，半径为a的圆的极坐标方程．

解　设圆上任意一点为P(ρ，θ)，连接OP和PA，则PA⊥OP．

由题设，圆心为B(a，0)．除极点外，圆与极轴的另一个交点为A(2a，0)，显然|OA|=2a．

在RtΔOPA中，有

|OP|=|OA|cos∠POA，

即

ρ=2acosθ．

练习1.2

1. 将下列点的极坐标转化为直角坐标．

（1）A(3，π/6)； （2）B(2，π/2)； （3）C(1，-π/2)； （4）D(2，3π/4)．

2. 将下列点的直角坐标转化为极坐标．

（1）A；（2）B(5，0)；（3）C(0，-2)；（4）D(-3，-3)．

3. 将下列直角坐标方程化为极坐标方程．

（1）x=1；

（2）2x-y=0；

（3）x2+y2-8y=0；

（4）x2-y2=16．

4. 将下列极坐标方程化为直角坐标方程．

（1）ρ=3；

（2）θ=π/3；

（3）；

（4）．

习题1.2

1. 在极坐标系中作出下列各点．

（1）A(2，π/6)；

（2）B(2，3π/2)；

（3）C(2，-11π/6)；

（4）D(2，0)．

2. 将下列直角坐标方程化为极坐标方程．

（1）x2-2y=0；

（2）x-3y=1．

3. 将下列极坐标方程化为直角坐标方程．

（1）ρ=2sinθ；

（2）ρ2sin2θ=4．

4. 求圆心在(2，π/2)，半径为2的圆的极坐标方程．