数学建模简介

随着计算机技术的迅速发展，数学的应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥作用，而且以空前的广度和深度向经济、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通甚至政治、社会等新的领域渗透．用数学解决实际问题，首先要建立数学模型，然后在模型的基础上对问题进行分析、计算和研究．这个建立数学模型的过程，就是我们通常所说的数学建模．目前，数学建模和与之相伴的科学计算正在成为众多领域中的关键工具．同学们作为高素质技术技能型人才，未来各行各业的技术人员，不仅要“学数学”，更要“学会用数学”．

一、什么是数学模型

简单地说，数学模型就是对实际问题的一种数学表述．具体地说，数学模型就是对一个特定的现实对象为了一个特定目标，根据对象特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构．数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等．数学模型既源于现实又高于现实，它不是实际原型，而是一种模拟．

如此概述数学模型，大家可能还是觉得很神秘．其实建立数学模型就在我们身边，我们从小解决的应用题，就是一些简单的数学建模．再如，著名的哥尼斯堡七桥问题．

哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）有一条普莱格尔河，这条河有2个支流，在城中心汇合成大河，河中间有2个小岛，河上有7座桥，如图1-12所示．18世纪哥尼斯堡居民经常沿河过桥散步，很多人总想一次不重复地走过这7座桥，再回到出发点．可是试来试去总办不到，大家都想找到问题的答案，可一时谁也解决不了这个问题．于是有人写信给当时著名的数学家欧拉（Euler，1707—1783年）．欧拉并没有跑到哥尼斯堡去走走，而是在1736年建立了一个数学模型圆满解决了这个问题．如图1-13所示，他把A，B，C，D这4块陆地抽象为数学中的4个点，把7座桥抽象为7条线，人们一次不重复地步行七桥问题，就相当于一笔画将图1-13不重复地画出来，这样抽象并不改变问题的本质．欧拉通过对一笔画问题的分析研究和逻辑推理后，得到此问题无解的结论．这说明人们想一次不重复地走过这7座桥是不可能的．欧拉这一研究成果还开创了数学的一个新分支呢，这一新分支就是在计算机科学中有着广泛应用的图论．

二、数学建模的一般步骤

数学建模是一项十分复杂而具有创造性的劳动，需要有丰富的相关专业知识、数学知识以及想象力．在分析实际问题时，需要能透过现象看本质，抓住问题的主要特征，舍弃一些次要因素，从而作出适当的抽象与简化．因此，建模过程通常包括提炼与简化、建立模型、求解模型、解释与验证4个步骤．具体地说，就是通过对实际问题的分析、抽象和简化，运用相关知识和有关规律，把它转化为一个数学问题；然后应用数学的相关知识，并借助计算机科学计算，精确或近似地求解模型；最后再将求解结论回归实际，进行模型分析检验，查看匹配度，再决定是否推广模型亦或进行模型改进。上述建模过程可用如下流程图表示．

当然，对于比较复杂的问题，这个过程一般不会一次成功．如果最后得到的结果在定性或者定量方面和实际情况还存在较大差距，那就需要回过头来修正前面所建立的数学模型，一直到取得比较满意的结果为止．只有最后经过实践检验为有效的数学模型，才算是成功的数学模型．

三、数学建模活动的起源和发展

大学数学课程是学生掌握数学工具的主要课程，大学数学教育的质量直接关系到一个国家人才培养的素质和能力．一些西方国家的大学早在20世纪六七十年代就开始开设“数学建模”或“数学模型”课程，我国少数高校也在20世纪80年代初将“数学建模”引入课堂，越来越多的有识之士认识到数学在现代社会中占有越来越重要的地位．

我国现代著名物理学家、中国导弹之父钱学森教授说过：“数学的发展关系到整个科学技术的发展，而科学技术是第一生产力，所以数学的发展是一件国家大事”．我国第一届国家最高科学奖获得者、数学家吴文俊教授认为“21世纪是对制数权的争夺，哪个国家的数学高人一等，哪个国家便可争霸天下”．而早在1998年，美国国家科学基金委员会的报告中就曾提到：从国家安全、医学技术到计算机软件、通信和投资决策，当今世界日益依赖数学科学．不论是在证券交易所里，还是在装配线上，越来越多的美国工人感到，若不具备数学技能就无法开展工作．没有强大的数学科学资源，美国将不能保持其工业和商业的优势．由此看出，数学在现代社会中占有越来越重要的地位．但社会对数学的需求并不只是需要数学家和专门从事数学研究的人才，而更是需要大量的在各行业中从事实际工作的人关于运用数学知识及数学的思维来解决他们每天面临的大量的实际问题，从而取得经济效益和社会效益．

由于数学建模在科学技术领域中的重要性，1985年美国数学协会（Mathematical Association of America，MAA）主持了一项面向大学生的新型竞赛，称为数学建模竞赛（Mathematical Contest in Modeling，MCM），每年的2月或3月进行．这是一项彻底公开的竞争，学生以3人组成一队的形式参赛，在3天内完成一个实际问题的数学建模，并完成一篇有问题的重述、简化和假设及其合理性的论述，数学模型的建立和求解、检验和改进，模型的优缺点以及可能的应用范围的自我评述等内容的论文，最后由专家评阅，定出获奖等级．这项大赛，现已成为国际性的大学生的一项著名赛事．我国自1989年组队参加全美大学生数学建模竞赛以来，历届均取得优异成绩．

1992年起我国开始创办我们自己的大学生数学建模竞赛，1993年在全国大学生中正式开展．其竞赛宗旨是“创新意识，团队精神，重在参与，公平竞争”．1999年之前，数学建模竞赛不设分组，每次出两道题，参赛小组任选一题作答；从1999年开始竞赛分本科组和专科组进行，每组各出两道题，参赛小组任选一题作答；2004年开始竞赛组分甲组和乙组进行，部分本科专业（如农、林等专业）学生可以参加乙组比赛；2007年起规定本科生只能参加甲组竞赛，来自高职高专院校以及个别本科院校中的专科学生参加乙组竞赛．目前该项活动已成为全国高等学校中规模最大的课外科技活动之一，这充分反映了数学建模竞赛活动的生命力和内在魅力．

四、全国大学生数学建模竞赛的内容、形式、规则及其特点

数学建模的竞赛题目一般来源于工程技术和管理科学等方面，是经过适当简化加工的实际问题．不要求参赛者预先掌握深入的专门知识，只需要学过普通高校的数学课程．参赛者根据题目要求，完成一篇包括模型的假设、建立和求解、计算方法的设计和计算机实现、结果的分析和检验、模型的改进等方面的论文（即答卷）．

竞赛分甲、乙两组进行，大学生以队为单位参赛，每队3人，专业不限，研究生不得参加．竞赛一般在每年9月的第二个星期五早8点到下一周的周一早8点举行，为期3天．全国统一竞赛题目，每组有两道题目可供选择．采取通信竞赛方式，网上发布题目．竞赛期间参赛队员可以使用各种图书资料、计算机和软件，在国际互联网上浏览，但不得与本队队员以外任何人（包括在网上）讨论．

数学建模竞赛与传统数学竞赛不同，它偏重应用，是以数学知识为引导，以计算机运用能力及文章的写作能力为辅的综合能力的竞赛．因此建模竞赛一般没有事先设定的标准答案，数学模型是实际的模拟，它的完成是在某种合理的假设下进行的，只能是优劣之分，没有对错之说．

数学建模活动的开展有利于对学生的知识、能力和素质的全面培养，既丰富了广大同学的课外生活，也为优秀学生脱颖而出创造了条件．