当数学解题成为一种艺术时

作为一位数学老师，我每年都会购买大量新出版的书来学习，目的是为了让自己可以及时掌握各类考试和竞赛中出现的新题，不至于被时代所淘汰．但是，让我失望的是，在图书市场上，大部分的书不仅毫无“营养”，而且还可归为“有害垃圾”.

在当下这个快节奏社会里，大部分人似乎都只追求能快速解决问题的技术，很难沉下心来学习更为深层次的东西．在教辅书市场上，充斥着大量东拼西凑出来的“题库”．为了迎合很多“速食面”爱好者的口味，很多老师也只讲“如何快速解题”或“如何提高得分率”，对基础原理和知识框架的解释能省则省．与很多学科不同，数学是一门需要不断通过解题来获得知识的课，因此学会“怎样解题”就成了数学这门课的关键所在．关于“怎样解题”这个问题，曾经有很多数学家写过专著．

这其中，最著名的当属美籍匈牙利数学家乔治·波利亚（George Pólya,1887-1985）那本畅销七十余年的经典之作《怎样解题：数学思维的新方法》．波利亚围绕“探索法”这一主题，采用明晰动人的散文笔法，阐述了求得一个证明或解出一个未知数的数学方法怎样可以有助于解决任何“推理”性问题——从建造一座桥到猜出一个字谜．该书被翻译成近二十种文字，销量超过一百万册，启发了无数人的聪明才智．

另外，我国著名的数学竞赛教练单墫教授也写了一系列的关于解题的著作，其中包括《我怎样解题》《解题漫谈》《解题研究》等书．这些图书影响了几代数学竞赛爱好者和数学老师们．我个人就是单墫教授的超级粉丝，从三十年前开始读，直到如今还在读．

如果按照道家的理论来说，波利亚更多地是从“道”这个层面来阐述，而单墫老师的解题系列则更多地是从“法”和“术”的层面来切入．“道”侧重理论，“法”和“术”侧重方法论．有道无术，容易沦为纸上谈兵；而有术无道又容易事倍功半．因此两者缺一不可．那么有没有一本将“道、法、术”三者结合得比较好的数学解题著作呢？这里我要介绍一本自己很喜欢并且深受影响的书．

这本书是由美国著名的数学竞赛教练保罗·蔡茨所写，原书名叫作The Art and Craft of Problem Solving，直译过来是“解题的技巧与艺术”，图灵公司推出的最新中文版题为《怎样解题：数学竞赛攻关宝典（第3版）》．为什么要推荐这本书呢？大致有以下几点．

一、作者权威．该书作者保罗·蔡茨本身就是一位经验丰富的数学老师和竞赛教练，这一点首先保证了该书的权威性．作者曾代表美国首次参加国际数学奥林匹克竞赛，并多次担任美国队的教练，具有丰富的数学竞赛执教经验，对数学奥林匹克有着深刻的理解与认知．

二、选题经典．这本书将数学的统一性贯穿始终，将理论方法与经典例题相结合．书中的题目大都选自各类美国中学生数学竞赛，同时还有更高级别的国际数学奥林匹克竞赛，甚至有源自美国普特南大学生数学竞赛的题目．同时，书中还收录了俄罗斯和匈牙利等老牌数学强国的一些赛题，以及部分数学期刊上的趣味难题．这些题目经典、灵活性大、趣味性和思想性强，是很好的数学思维训练题．

三、内容全面．这本书虽然不是一本关于中学生数学竞赛的系统训练教材，但从解题者的角度分别讲述了代数、组合、数论、几何和微积分等知识，基本上覆盖了中学生数学竞赛所涉及的主要知识点，大体上可以帮助那些试图在数学竞赛方面有所建树的学生在较短的时间内对知识框架有一个大概的指引．

四、高屋建瓴．本书将数学解题从纯粹的技巧性，上升到了战略和战术层面，甚至还讲到了解题所应具备的心理学知识，进而把解题提高到了“艺术”的高度．这也是这本书的重点，也是我强烈推荐的原因．本书开篇就总结解题的方法论，这也是整本书的核心内容，进而通过详细的实例阐述了具体的解题战术．作为老师，我们讲究“授人以鱼”，更讲究“授人以渔”．如果说例题是“鱼”的话，那么解题的战略、战术和方法论就是“渔”．我经常讲：教，最终是为了不教．要成为一名解题高手，唯有跳出题目本身，站在更加高的层面，比如战略和战术来看解题这件事．

五、通俗易懂．与很多让人望而却步的数学竞赛类书籍不同，这本书没有大量看似深奥复杂的数学公式（当然不可能完全没有），更多地是采用平实的语言来对数学问题进行描述和解释．加上作者的语言风趣幽默，大大增强了此书的可读性．可以说，这是一本非常平易近人的数学竞赛辅导材料，一本将科学性和启发性完美结合的教材．

六、参考丰富．我特别推荐读者朋友们阅读本书后面所罗列的参考文献，里面有很多极为经典的数学书．有一些国内已经引进翻译出版，有些还没有．但在这个互联网极其发达的社会，我们有很多渠道可以获得这些资料．作者所罗列的每一本参考书都值得读者朋友们细细品味．

最后我想说的是，假如你想知道“解题的艺术”是怎么一回事，就读一读这本书吧！这是一本关于解题艺术的典范之作．也许，你与解题高手之间的距离，差的可能就是这本书！

应俊耀（Mr. Why说数学）

2019年11月于浙江宁波