4.2　课后习题详解

一、概念题

1年百分比率（annual percentage rate）

答：年百分比率又称“名义年利率”，是指不考虑复利计息的一年期利率，它一般指债券上标明的利率，或者是银行一年期定期存款的利率。

2实际年收益率（effective annual yield）

答：实际年收益率又称为“实际年利率”，是指考虑一年内若干期复利计息的一年期实际利率。由于复利计息的缘故，实际年收益率高于名义年利率。其计算公式为：

其中r为名义年利率，m为一年内计息的次数。

3年金（annuity）[厦门大学2015金融硕士]

答：年金是指在一定期间内，每隔相同时期（一年、半年或一季等）收入或支出相等金额的款项。根据收入或支出发生情况的不同，可分为普通年金、预付年金、递延年金和永续年金四种。不论哪种年金，都是建立在复利基础上的，都有终值和现值之分。

4终值（future value）

答：终值是指现在某一特定金额按规定利率折算到未来某一时点的价值，亦称“本利和”。它是现值的对应概念，是计算货币时间价值的重要概念。

一笔投资在多期后的终值可以按照以下公式计算：FV＝C₀×（1＋r）^T，其中T为投资持续期数，r为对应的利率。

5年金系数（annuity factor）

答：年金系数是指在适当贴现率为r的情况下，T期内每年获得1美元的年金的现值。用公式可以表达为：

6增长年金（growing annuity）

答：增长年金是指在某一有限时期内现金流以一定速度增长的年金。其现值计算公式为：

式中，C是指第1期末开始支付的现金流；r是利率；g是每期的增长率（用一个百分比来表示）；T是年金支付的持续期。

7适当贴现率（appropriate discount rate）

答：适当贴现率是指投资者投资回报的收益率。在计算资金（或货币）的时间价值时，将未来的一笔金额（终值），按给定的利息率折算成现在的价值（现值）。其中用于把终值转化为现值的利息率，称为“贴现率”或“折现率”。资金的风险大小决定了投资者能够接受的适当贴现率水平，两者相匹配。风险越大，适当贴现率越高，未来资金的现值也越小。

8永续增长年金（growing perpetuity）

答：永续增长年金是指其增长趋势将永远持续下去的现金流序列，无限期的收入或支出金额为无穷等比数列。该年金是永久性的，一般只有永续增长年金的现值，而不计算永续年金的终值。其现值的计算公式为：

PV＝C/（r－g）

其中，C是现在开始一期以后收到或支出的现金流；g是每期的增长率；r是适当贴现率。此时，贴现率高于增长率，才使永续增长年金公式有意义。

9复利（compounding）

答：“复利”是指在计算终值时，不仅本金要计算利息，本金所产生的利息也要计算利息，即通常所说的“利滚利”，与“单利”相对应。复利值是指若干年以后包括本金和利息在内的未来价值，又称本利和。其计算公式：复利本利和＝本金×（1＋利率）ⁿ。式中，n为期数。

10净现值（net present value）[西北大学2019金融硕士；上海对外经贸大学2017金融硕士；天津大学2016金融硕士；中央财经大学2013金融硕士；南京大学2004研；首都经贸大学2005研]

答：净现值（net present value，NPV）是指投资项目投入使用后的净现金流量，按资本成本或企业要求达到的报酬率即适当贴现率折算为现值，减去初始投资以后的余额（如果投资期超过一年，则应是减去初始投资的现值以后的余额）。其计算公式为：

其中，C₀是初始投资额，C_i是第i期净现金流，r为贴现率。

11复利利息（compound interest）

答：复利利息是指按照复利方式计算终值时，本金所产生的利息也计算利息，并且逐期滚动计算所获得的超过本金的额外现金流。其计算公式为：复利利息＝本金×（1＋利率）ⁿ－本金。其中，n为期限数，利率即为复利利率。

12永续年金（perpetuity）[中央财经大学2015金融硕士]

答：永续年金是指无限期支付的年金。西方有些债券为无限期债券，这些债券的利息可视为永续年金。优先股因为有固定的股利而又无到期日，因而有时可以看作是永续年金。其现值计算公式为：

13复利值（compound value）

答：复利值又可称为复利终值，是指一笔资金经过一个时期或多个时期以后包括本金和利息在内的未来价值。它是现值的对应概念，其实质内容为当前所持有的本金在将来特定时间的本利之和。计算公式为：复利值＝本金×（1＋利率）ⁿ。其中，n为期限数，利率即为复利利率。

14现值（present value）

答：现值是指未来某一特定时间的货币资金按照适当贴现率折算成的当前价值。它是货币时间价值的内涵概念之一，是与终值对立统一的货币时间价值概念，其实质内容为将来特定时间的本利和（即终值）所需的本金。计息标准决定实际的货币资金现值，如按复利标准计息的现值称为复利现值，按单利标准计息的现值称为单利现值，按年金计息的称为年金现值等。

15连续复利计息（continuous compounding）

答：连续复利计息是指在无限短的时间间隔内按复利计息。按照连续复利计息，T年后的终值可以表达为：C₀×e^rT。

其中：C₀是最初的投资；r是名义利率；T是投资所持续的年限；e是一个常数，其值约为2.718。

16现值系数（present value factor）

答：现值系数是指由确定的货币时间价值规律确定的用来计算未来现金流现值的系数。它有两种表达方式，一是按时间价值的定义确定下来的计算现值的公式；二是按计算公式编列的现成的函数表。现值系数可用专门的符号表示它，如一次支付的现值系数表示为（P/F，i，n），年金现值系数表示为（P/A，i，n）等。

17贴现（discounting）

答：贴现是指计算未来现金流当前价值的过程。它是计算复利终值的反过程。其计算公式为：

其中r为适当贴现率，n为计算期数。

18单利利息（simple interest）

答：单利利息是指在本金经过一个或多个时期以后，所派生的利息均不加入本金重复计算利息所获得的利息。其计算公式为：单利利息＝本金×利率×期数。

19实际年利率（effective annual interest rate）

答：实际年利率又称为“实际年收益率”，是指考虑一年内若干期复利计息的一年期实际利率。由于复利计息的缘故，实际年利率高于名义年利率。其计算公式为：（1＋r/m）^m－1，其中r为名义年利率，m为一年内计息的次数。

20名义年利率（stated annual interest rate）

答：名义年利率又称“年百分比率”，是指不考虑复利计息的一年期利率，它一般指债券上标明的利率，或者是银行一年期定期存款的利率。

二、复习题

1计算终值　计算以下情况下1000美元的复利终值：

a．以6%的利率复利10年。

b．以12%的利率复利10年。

c．以6%的利率复利20年。

d．为什么c题中计算得到的数值不是a题中的两倍？

答：计算终值的公式为：FV＝PV（1＋r）^t

a．FV＝1000×（1.06）¹⁰＝1790.85（美元）

b．FV＝1000×（1.12）¹⁰＝3105.85（美元）

c．FV＝1000×（1.06）²⁰＝3207.14（美元）

d．因为在复利的计算中，利息也产生利息。在（c）中所获得的利息比（a）获得的利息2倍还多。在复利情况下，终值呈指数增长。

2计算利率　计算以下情况下的利率：

答：使用终值计算公式：FV＝PV（1＋r）^t，得到：r＝（FV/PV）^1/t－1，代入数据得到每种情况下的利率为：

3连续复利　请计算以下情况下1900美元连续复利的终值。

a．利息率为12%，连续复利9年。

b．利息率为8%，连续复利5年。

c．利息率为5%，连续复利17年。

d．利息率为9%，连续复利10年。

答：为了得到连续复利下的终值，用到公式：FV＝PVe^rT

a．FV＝1900e^0.12×9＝5594.89（美元）

b．FV＝1900e^0.08×5＝2834.47（美元）

c．FV＝1900e^0.05×17＝4445.33（美元）

d．FV＝1900e^0.09×10＝4673.25（美元）

4计算永续年金价值　Perpetual人寿公司向你推销一款投资计划，该计划将为你和你的后代永续支付每年12000美元。如果该计划的必要收益率为4.7%，那么你将为该计划支付多少钱？假如该公司将该计划价格定为275000美元，那么当利率为多少时该计划是公平的？

答：为了得到永续年金现值，根据公式PV＝C/r，有：PV＝12000/0.047＝255319.15（美元）

为了得到公平的利率，由PV＝C/r，得：r＝C/PV＝12000/275000＝4.36%。

5利率　著名的金融作家Andrew Tobias提到他能够通过买卖红酒每年获利177%。他假设自己未来12周中每周购买一瓶波尔多白兰地，价格为10美元。他可以每周支付10美元，也可以直接购买一打12瓶。如果他购买一打，他将获得10%的折扣，同时他将获利177%。假设他购买了红酒且从现在起购买第1瓶。你同意他的分析吗？你看出他的分析有什么问题了吗？

答：购买一打波尔多白兰地可以获得10%的折扣，因此购买一打的成本＝12×10×（1－10%）＝108（美元）。由于从现在起购买第1瓶酒，因此现金流可以看作是一笔先付年金，根据先付年金现值公式：

可得

解得r＝1.98%。即每周的收益率为1.98%。

因此名义年利率为：APR＝0.0198×52＝1.0296，即102.96%；

实际年利率为：EAR＝（1＋0.0198）52－1＝1.7719，即177.19%。

这一分析看起来是正确的，他确实可以通过这样的交易获利177%，但问题是，他真的能找到标价10美元的波尔多白兰地吗？

6单利与复利　First Simple银行对于它的投资账户采取4.1%的单利计息。如果First Complex银行采用的是年复利的计息方式，为了和First Simple银行在10年期内获得相同的利率，应该设定复利利息为多少？

答：First Simple银行账户支付的利息等于每年的利息乘以年数，即0.041×10＝0.41。

First Complex银行账户支付复利，因此支付的利息为（1＋r）¹⁰－1。令二者相等，即（1＋r）¹⁰－1＝0.41。解得r＝0.035。因此First Complex银行应该设定复利利息为3.5%。

7增长年金　Mark Weinstein正着力于研发一种眼睛激光手术的先进技术。该技术将在短期内投入使用。他预计将在两年后得到该技术带来的第一笔现金流为215000美元。剩余的收入将以永续年金的方式获得，同时每年增长3.8%。那么当折现率为10%的时候该技术带来现金流的现值应为多少？

答：这是一个永续增长年金。永续增长年金的现值为：

PV＝C/（r－g）＝215000/（0.1－0.038）＝3467741.94（美元）

重要的一点是，当处理年金或者永续年金的时候，该现值公式计算的是第一次支付前一期的现值。在本题中，第一次支付是在两年后，所以上步中求得的现值是从现在开始下一年的现值。为了得到现在的现值，仅仅需要对上述现值进行一期的折现。当前的现金流计算如下：

PV＝FV/（1＋r）^t＝3467741.94/（1＋0.1）＝3152492.67（美元）

8气球付款　Audrey Sanborn计划在巴哈马群岛购买一套价值650000美元的度假屋。首付20%。房屋抵押贷款的年名义利率为5.2%，按月复利计息，要求在未来30年等额本息按月付清。她的第1笔支付将在一个月后到期。而这个房屋抵押贷款有一个“气球付款”要求在8年末一次性付清剩余本金。假设没有其他的交易费用，8年后Audrey的气球付款是多少？

答：房屋贷款总额＝房屋价值×（1－20%）＝650000×0.8＝520000（美元）

带有气球付款的按月分期付款按照假设更长的偿还期来计算，本题中为30年。按照30年来偿还的每月付款额计算方式为：

解得C＝2855.38（美元）。

在第8年末，尚未被偿还的数额可以依据年金现值公式计算：

因此，8年后Audrey的气球付款为448515.59美元。

9增长年金　你所从事的工作每年支付一次工资。今天是12月31日，你刚刚获得了72500美元的工资，而且你计划将其全部花完。但是你想从明年开始为你的退休储蓄资金。你决定从1年后起，将年度工资的5%存入银行账户，该账户将提供9%的利息。在你的职业生涯中，你的工资将以每年3.7%的增长率增长。请问你在40年后退休时，你将能获得多少钱？

答：由于工资以每年3.7%的增长率增长，所以下一年度的工资为：

下一年的工资＝72500×（1＋0.037）＝75182.50（美元）

这就意味着下一年度的储蓄额为：

下一年度储蓄额＝75182.50×0.05＝3759.13（美元）

由于工资以3.7%的比例增长，储蓄也将以3.7%的比例增长。可以运用增长年金现值公式来得到储蓄额的现值。如下：

现在，可以得到40年后该金额的终值：

FV＝PV（1＋r）^t＝61268.57×（1＋0.09）⁴⁰＝1924410.251（美元）

10计算债务清偿额　你需要一份30年期、固定利率的抵押贷款来购买一幢250000美元的新住房。你的抵押贷款银行将以4.5%的年名义利率（APR）提供一项360个月期的贷款。但是，你只能负担950美元的每月偿还额，因此你要求在贷款到期时提供一笔气球付款，以清偿所有剩余的数额。如果你将月度清偿额保持在950美元的水平，那么这笔气球付款的数额会是多少？

答：偿还贷款本金的数额是每月偿还额的现值。每月偿还950美元的现值为：

每月偿还950美元，则偿还的总额为187493.10美元。未还的本金为：250000－187493.10＝62506.90（美元）

所欠本金将会按照贷款利息增长到贷款到期。30年后气球付款就是所欠本金的终值：

气球付款＝62506.90×[1＋（0.045/12）]³⁶⁰＝240507.68（美元）

11现值与盈亏平衡点利率　假设有家公司签订了一项合同，该合同约定在3年后以135000美元的价格售出一项资产。该资产今天的价格为89000美元。如果这项资产的相关折现率为每年13%，那么公司在这项资产上能否赚取利润？在什么利率下公司刚好盈亏平衡？

答：公司所得利润就是出售资产价格的现值减去资产的成本。出售资产价格的现值：

PV＝135000/1.13³＝93561.77（美元）

公司的利润：利润＝93561.77－89000.00＝4561.77（美元）。

为了得到使公司盈亏平衡的利率，需要运用现值（或终值）的计算式。本题需要利用现值公式，可得：89000＝135000/（1＋r）³，则r＝（135000/89000）^1/3－1＝0.1490，即在14.9%的利率下公司刚好盈亏平衡。

12变动利率　一份15年期的年金每月支付1750美元，在月底支付。如果在前7年采用的是以12%利率进行月度复利，而在之后采用6%的月度复利，请问这份年金的现值是多少？

答：这个问题问的是一份年金的现值，但是在年金持续期间，利率发生变化。首先计算最后8年现金流的现值：

注意，这是距今7年的年金现值。现在，需要对它进行折现。折现到当前的现值为：

PV＝133166.63/[1＋（0.12/12）]⁸⁴＝57729.79（美元）

还需要计算前七年的年金现值：

现金流折现到当前的值是两组现金流的和：

PV＝57729.79＋99134.79＝156864.58（美元）

13年金　你正在为你的两个孩子进行教育储蓄。他们年龄相差两岁；一个将在15年后上大学，另一个则是17年后。你预计他们的大学费用将为每个孩子65000美元/年，在每个学年初支付。年利率为8.4%。你需要每年在账户中储蓄多少钱来进行储蓄呢？你的储蓄将在一年后开始。同时你将在你的第1个孩子进入大学之后停止储蓄。假设大学学制为4年。

答：首先，每个孩子的大学费用都是一笔年金，这笔年金的现值为：

这是每个孩子的大学费用在他们入学前一年的现值。将这一现值分别折现到现在可得：

①年长孩子的大学费用现值：

PV＝213385.24/（1＋0.084）¹⁴＝68984.96（美元）

②年轻孩子的大学费用现值：

PV＝213385.24/（1＋0.084）¹⁶＝58707.81（美元）

因此，两个孩子大学费用的现值为68984.96＋58707.81＝127692.77（美元）。

教育储蓄可以看作是一笔年金，这笔年金的现值为127692.77美元。可以根据年金现值公式计算每年需存入的金额C：

解得：C＝15284.63（美元）。

14气球付款　在2013年9月1日这一天，苏珊购买了一辆摩托车，价格为34000美元。她付了2000美元的首付，然后将在未来5年内以年利率7.2%按月复利计息的方式对剩余债务进行偿付。她从购买一个月后开始进行偿付，也就是从2013年10月1日开始。两年以后的2015年10月末，苏珊找到了一份新工作，并且决定付清贷款。如果银行将会对苏珊提前付清贷款收取一笔数额为剩余本金的1%的违约费用，那么苏珊在2015年11月1日将向银行支付多少钱？

答：贷款金额为：34000－2000＝32000（美元）。

因此，每月付款金额为：

解得：C＝636.66（美元）。

贷款剩余的金额为剩余支付的现值，由于第一笔支付在2013年10月1日，在2015年10月1日的时候进行了一次偿付，则剩余的偿付次数为35次。其中，下一笔偿付在2015年11月1日，即马上需要进行。因此，总的支付额等于贷款剩余本金（剩余34次偿付的现值）加上违约费用再加上当期支付额。

①按照年金方法计算剩余34次偿付的现值：

②总支付额为：总支付额＝气球付款×（1＋提前预付罚金）＋当前支付款。所以，总支付额＝19528.60×（1＋0.01）＋636.66＝20360.55（美元）。

15贴息贷款　这个问题将举例说明什么是贴现利息。假设你正在讨论一笔从不讲道德的贷款人的债务。你想借入一笔期限1年的20000美元贷款，利率为15.7%。你和贷款人就利息达成了一致，为0.157×20000＝3140（美元）。因此该贷款人提前将这笔利息从贷款中扣除，仅借给你16860美元。在这个例子中，我们说贴息为3140美元。这究竟是为什么呢？

答：为了得到贷款的名义利率（APR）和实际利率（EAR），需要使用贷款的实际现金流。也就是说，题干中提到的15.7%的利率只是用于得到这笔特定条款的贷款的利息。贷款实际带来的现金流为1年后必须偿还的20000美元，以及今天获得的16860美元。因此这笔贷款的利率为：20000＝16860×（1＋r），解得：r＝（20000/16860）－1＝0.1862＝18.62%。

由于贴息的关系，你实际得到的只有16860美元（而非20000美元），因此你为这笔贷款支付的利息为18.62%而不是15.7%。

16计算附加利息的实际年利率　这个问题将说明一种具有迷惑性的报告利率的方式，称为附加利息。假设你看到了一则疯狂Judy立体城市的广告：“1000美元的快速信用贷款！17.4%的单利！3年付清！非常非常低的月还款额！”你不是很确定这是什么意思，同时有人把贷款合同的名义年利率弄脏了看不清，因此你决定咨询该广告的经理。

Judy对此的解释如下。如果你按照17.4%的利率借出3年期1000美元的贷款，那么在3年后你的欠款为：

1000×1.174³＝1000×1.61810＝1618.10（美元）

Judy说一下子支付1618.10美元可能有点吃力，因此她允许你按月进行很低额度的偿还，为1618.10/36＝44.95美元，虽然这样会给她增加一些工作量。

那么该贷款的利息真的为17.4%吗？为什么？该贷款的名义年利率应该是多少？实际年利率呢？你认为这为什么被称为附加利息？

答：一笔贷款的实际利息率由贷款带来的现金流决定。本题中，贷款的现值为1000美元，3年内每月的付款金额为44.95美元，因此有：

解得月利率r＝2.87%。因此名义年利率APR＝2.87%×12＝34.44%。实际年利率EAR＝（1＋2.87%）¹²－1＝40.43%。这被称为附加利息是因为贷款的利息在一开始就被计算出来并加到了贷款的本金上，在贷款的期限内一同被分期偿还。