第2篇　估值与资本预算

第4章　折现现金流量估价

4.1　复习笔记

当前的1美元与未来的1美元的价值是不同的，因为当前1美元用于投资，在未来可以得到更多，而且未来的1美元具有不确定性。这种区别正是“货币的时间价值”。货币的时间价值概念是金融投资和融资的基石之一，资本预算、项目决策、融资管理和兼并等领域均有涉及。因此有必要理解和掌握相关的现值、终值、年金和永续年金的概念和计算公式。

1现值与净现值

（1）现值

现值是未来资金在当前的价值，是把未来的现金流按照一定的贴现率贴现到当前的价值。以单期为例，一期后的现金流的现值：

其中，C₁是一期后的现金流，r是适当贴现率。

在多期的情况下，求解PV的公式可写为：

其中，C_T是在T期的现金流，r是适当贴现率。

（2）净现值

净现值的计算公式为：NPV＝－成本＋PV。也就是说，净现值NPV是投资未来现金流的现值减去成本的现值所得的结果。

一种定量的财务决策方法是净现值分析法。产生N期现金流的投资项目的净现值为：

其中，－C₀是初始现金流，由于它代表了一笔投资，即现金流出，因而是负值。

2终值

一笔投资在多期以后终值的一般计算公式可以写为：FV＝C₀×（1＋r）^T，其中，C₀是期初投资的金额，r是利息率，T是资金投资持续的期数。

一项投资每年按复利计息m次的年末终值为：

其中，C₀是投资者的初始投资；r是名义年利率。

一项投资在T年后的终值为：

当m趋近于无限大时，则是连续复利计息，这时T年后的终值可以表示为：C₀×e^rT。

【例4.1】如果将1000元存入银行，利率为8%，计算这1000元五年后的价值应该用（　　）。[中山大学2017金融硕士]

A．复利的现值系数

B．复利的终值系数

C．年金的现值系数

D．年金的终值系数

【答案】B

【解析】复利终值的计算公式为FV＝C₀×（1＋r）^T。式中，C₀是期初投资的金额，r是利息率，T是资金投资所持续的时期数。其中（1＋r）^T称为复利的终值系数。

【例4.2】如果你父母每年年初给你10000元，存款年利率是6%，到第3年年末你父母给你的钱一共值多少？（　　）[清华大学2014金融硕士]

A．33600

B．33746

C．34527

D．35218

【答案】B

【解析】本题为期初年金为10000元的终值的计算，到第3年年末的终值为：10000×（1.06＋1.06²＋1.06³）＝33746（元）。

3名义年利率（APR）和实际年利率（EAR）

名义年利率是不考虑年内复利计息的，不同的银行或金融机构有不同的称谓，比较通用的是年百分比利率（APR）；实际利率（EAR）是指在年内考虑复利计息的，然后折算成一年的利率。名义利率和实际利率之间的差别在于名义利率只有给出计息间隔期时才有意义。APR和EAR的换算关系可用如下公式表示：

其中，m是每年计息的次数。

【例4.3】一家银行每季度支付利息的年利率（APR）为8%，其有效年利率（EAR）是多少？（　　）[清华大学2015金融硕士]

A．8%

B．8.24%

C．8.35%

D．8.54%

【答案】B

【解析】该银行的有效年利率EAR＝（1＋APR/4）⁴－1＝（1＋8%/4）⁴－1＝8.24%。

【例4.4】名义利率是10%，哪种复利计算方式导致最高的实际利率？（　　）[清华大学2014金融硕士]

A．年复利

B．月复利

C．日复利

D．连续复利

【答案】D

【解析】根据实际年利率公式：

随着每年的计息次数m增加，实际年利率增大，因此在连续复利情况下得到最高的实际年利率。

【例4.5】APR（年化百分比利率）只有在知道每年的计息期数或计息间隔时才有意义，才能算出一笔现金流的最终值。（　　）[中国人民大学2014金融硕士]

【答案】√

【解析】APR（名义年利率）是一年计息N次的年利率，因此必须知道计息期数或计息间隔。EAR（实际年利率）是一年计息一次的年利率，因此不需要知道计息间隔就可以直接用于计算。

4年金

年金是指一系列稳定有规律的，持续一段固定时期的现金收付活动，即在一定期间内，每隔相同时期（一年、半年或一季等）收入或支出相等金额的款项。根据收入或支出发生情况的不同，可分为普通年金、预付年金、递延年金和永续年金四种。

（1）永续年金

永续年金是指没有终止期限的年金，是现金流的无穷等额数列。永续年金现值的计算公式为：PV＝C/r。

（2）永续增长年金

如果某一现金流能以固定的速度永久增长，这种现金流序列可称为永续增长年金。永续增长年金现值的计算公式为：PV＝C/（r－g）。其中，g为增长率。

（3）定期年金

定期年金现值的计算公式为：

年金系数是指计算T期内等额支付1单位现金的年金现值的术语，可表示为PVIFA（r，T）。

（4）递延年金

现金流发生在一段时间之后，而非现在。所以应注意现在到发生现金流的时间间隔，以及计算出来的年金现值或终值对应的时刻。

（5）先付年金

年初发生现金流的年金，即第一次支付发生在第0期的现金，计算方法是在后付年金的基础上加上0时刻的现金流，同时减去末尾时刻发生的现金流的现值。

（6）不定期年金

即计息时间不为1年，大于1年或小于1年。应先计算出计息期间的利率再往下计算。

（7）增长年金

增长年金是指现金流每年以固定速度增加的年金。增长年金现值的计算公式为：

【例4.6】企业投资一个大型项目，向银行借入一笔资金。企业拟从该项目正式投产后（第一年末）每年提取一笔偿债基金以归还10年后到期的1000万元债务，若目前银行存款利率为4%，且（P/A，4%，10）＝8.1109，（F/A，4%，10）＝12.006。则每年需提取的偿债基金为（　　）万元。[北京航空航天大学2014金融硕士]

A．108.53

B．123.29

C．83.29

D．94.49

【答案】C

【解析】假设该企业每年提取的偿债基金为A，则F＝A×（F/A，4%，10），已知F＝1000，则A＝F/（F/A，4%，10）＝1000/12.006＝83.29（万元）。

【例4.7】先付年金的现值大于后付年金的现值，但先付年金的终值小于后付年金的终值。（　　）[中央财经大学2016研]

【答案】×

【解析】年金是指一系列稳定有规律的、持续一段固定时期的现金收付活动。先付年金的现值大于后付年金的现值，先付年金的终值也大于后付年金的终值。

5几点注意

（1）以上给出的简化公式都是基于对现金流分布的简化假设，即现金流稳定不变。现实中现金流可能是没有规律的，需要逐期进行计算。

（2）各个公式的分子是从现在起一个期限以后收到的现金流。

（3）有的问题是计算几期以后开始的年金（或永续年金）的现值，需结合折现公式和年金（或永续年金）公式来求解。

（4）有时年金或永续年金可能是每2年或更多的时期发生一次，而不是每1年一次。

（5）在实际应用中，还可能会遇到利用2个年金的现值相等来联合求解的问题。