3.2　课后习题详解

3-1　如图3-3所示，一传动轴作匀速运动，转速n＝200r/min，轴上装有五个轮子，主动轮Ⅱ输入的功率为60kW，从动轮Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ依次输出18kW、12kW、22kW和8kW。试作轴的扭矩图。

图3-3

解：（1）根据公式M_e＝9.55×103P/n计算外力偶矩

M₂＝9.55×103×（60/200）N·m＝2865N·m

M₃＝9.55×103×（12/200）N·m＝573N·m

M₄＝9.55×103×（22/200）N·m＝1051N·m

M₅＝9.55×103×（8/200）N·m＝382N·m

（2）计算各轴段扭矩

用截面法，根据平衡条件求得各段轴的扭矩：

在Ⅰ、Ⅱ段内T₁＝M₁＝860N·m

在Ⅱ、Ⅲ段内T₂＝M₁－M₂＝860－2865＝－2005N·m

在Ⅲ、Ⅳ段内T₃＝－M₄－M₅＝－1051－382＝－1433N·m

在Ⅳ、Ⅴ段内T₄＝－M₅＝－382N·m

（3）作扭矩图，如图3-4所示。

图3-4

3-2　如图3-5所示，实心圆轴的直径d＝100mm，长l＝1m，其两端所受外力偶矩M_e＝14kN·m，材料的切变模量G＝80GPa。试求：

（1）最大切应力及两端截面间的相对扭转角；

（2）图示截面上A、B、C三点处切应力的数值及方向；

（3）C点处的切应变。

图3-5

解：（1）最大切应力

两端截面间的相对扭转角

（2）根据公式τ_ρ＝Tρ/I_P可得：

点A、B处的切应力值τ_A＝τ_B＝τ_max＝71.3MPa，点C处的应力值

其应力方向如图3-6所示。

图3-6

（3）根据剪切胡克定律可得C处的切应变：

3-3　空心钢轴的外径D＝100mm，内径d＝50mm。已知间距为l＝2.7m的两横截面的相对扭转角φ＝1.8°，材料的切变模量G＝80GPa。试求：

（1）求轴内的最大切应力；

（2）当轴以n＝80r/min的速度旋转时，轴所传递的功率。

解：（1）根据空心轴的变形计算公式φ＝（Tl/GI_p）×180/π，可得该空心轴上的扭矩

T＝GI_pφ/l×π/180①

轴内的最大切应力发生在最大半径处，即T_max＝（T×D/2）/I_p②

联立式①②可得：

（2）轴上的扭矩T＝（GI_pφ/l）×π/180，其中：

极惯性矩I_p＝（π/32）（D4－d4）＝（π/32）（0.14－0.054）＝9204×10－9m4

故

由T＝M_e＝9.55×103P/n可得：

轴所传递的功率P＝nT/（9.55×103）＝80×8567/（9.55×103）＝71.8kW

3-4　某小型水电站的水轮机容量为50kW，转速为300r/min，钢轴直径为75mm。若在正常运转下且只考虑扭矩作用，其许用切应力[τ]＝20MPa。试校核轴的强度。

解：作用在轴上的外力偶矩为

M_e＝9.55×103×P/n＝9.55×103×50/300＝1.59×103N·m

则该轴上的最大切应力为

故该轴满足强度要求。

3-5　如图3-7所示，绞车由两人同时操作，若每人在手柄上沿旋转的切向作用力F均为0.2kN，已知轴材料的许用切应力[τ]＝40MPa。试求：

（1）AB轴的直径；

（2）绞车所能吊起的最大重量。

图3-7

解：（1）施加在摇手处的外力偶矩为

M_A＝M_B＝0.4×F＝0.4×0.2×103＝80N·m

根据AB轴上力的平衡可知，直径为400mm的轮作用在轴上的力偶为

M_C＝M_A＋M_B＝2M_A＝160N·m

则AB轴上的最大扭矩T_max＝80N·m。

根据扭转切应力强度条件

可得AB的直径：

故取d＝22mm。

（2）由（1）得两齿轮的圆周力满足：F_C×0.2＝M_C＝160N·m

解得F_C＝800N·m。

由图3-7可得AB轴传递到绞车上的扭矩：M₁＝0.35F_C＝280N·m

故绞车可吊起的最大重量P满足：P×0.5/2＝M₁＝280N·m

解得P＝1120N＝1.12kN。

3-6　已知钻探机钻杆（如图3-8所示）的外径D＝60mm，内径d＝50mm，功率P＝7.355kW，转速n＝180r/min，钻杆入土深l＝40m，钻杆材料的切变模量G＝80GPa，许用切应力[τ]＝40MPa。假设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：

（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m；

（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；

（3）两端截面的相对扭转角。

图3-8

解：（1）作用在钻杆上端的外力偶矩为

M_e＝9.55×103×P/n＝9.55×103×7.355/180＝390.2N·m

单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度为

m＝M_e/l＝390.2/40＝9.76N·m/m

（2）扭矩图如图3-9所示。

图3-9

因钻杆内最大切应力发生在最上端

故该钻杆满足强度条件。

（3）钻杆两端的相对扭转角

3-7　如图3-10所示一等直圆杆，知，d＝40mm，a＝400mm，G＝80GPa，φ_DB＝1°。试求：

（1）最大切应力；

（2）截面A相对于截面C的扭转角。

图3-10

解：由截面法可得各段轴内的扭矩，并作轴力图，如图3-11所示。

图3-11

（1）根据变形计算公式可得

代入数据得外力偶矩

则轴内的最大切应力

（2）截面A相对于截面C的扭转角

3-8　直径d＝50mm的等直圆杆，在自由端截面上承受外力偶矩M_e＝6kN·m，而在圆杆表面上的A点将移动到A₁点，如图3-12所示，已知∆s＝＝3mm，圆杆材料的弹性模量E＝210GPa，试求泊松比ν。（提示：各向同性体材料的三个弹性常数E、G、ν间存在如下关系：G＝E/[2（1＋ν）]。

图3-12

解：由题意可知，过O₁的横截面相对于固定端的扭转角φ

根据相对扭转角的计算公式，可得切变模量G

因此，由公式G＝E/[2（1＋ν）]可得到泊松比

ν＝（E/2G）－1＝210×109/（2×81.5×109）－1＝0.29

3-9　直径d＝25mm的钢圆杆，受轴向拉力60kN作用时，在标距为200mm的长度内伸长了0.113mm。当其承受一对扭转外力偶矩M_e＝0.2kN·m时，在标距为200mm的长度内相对扭转了0.732°的角度。试求钢材的弹性常数E、G和ν。

解：（1）由拉压胡克定律Δl＝F_Nl/EA，可得弹性模量E

（2）根据相对扭转角的计算公式，可得切变模量G

（3）根据公式G＝E/[2（1＋ν）]可得到泊松比ν：

ν＝（E/2G）－1＝（216×109/2×81.6×109）－1＝0.324

3-10　如图3-13所示，长度相等的两根受扭圆轴，一为空心圆轴，一为实心圆轴，两者的材料和所受的外力偶矩均相同。实心轴直径为d；空心轴外径为D，内径为d₀，且d₀/D＝0.8。试求当空心轴与实心轴的最大切应力均达到材料的许用切应力（τ_max＝[τ]）时的重量比和刚度比。

图3-13

解：当两轴的最大切应力均达到材料的许用切应力，且扭矩相等时，由公式τ_max＝T/W_P＝[τ]，可知W_p空＝W_p实，即

其中，d₀/D＝0.8，则

两轴的重量之比等于其面积比，即

两轴的刚度比

3-11　全长为l，两端面直径分别为d₁、d₂的圆锥形杆，在两端各承受一外力偶矩M_e，如图3-14所示。试求杆两端面间的相对扭转角。

图3-14

解：在距离小端x处取微元体dx，则其两端面之间的扭转角

dφ＝M_edx/（GI_P）①

其中，该截面的直径

相对应的极惯性矩：

将关系式代入式①，并积分即可得到该轴两端面间的相对扭转角

3-12　已知实心圆轴的转速n＝300r/rain，传递的功率P＝330kW，轴材料的许用切应力[τ]＝60MPa，切变模量G＝80GPa。若要求在2m长度的相对扭转角不超过1°，试求该轴的所需直径。

解：（1）求作用在该轴上的外力偶矩

M_e＝9.55×103×P/n＝9.55×103×330/300N·m＝10.51kN·m

（2）由强度条件

可得：

（3）由刚度条件

可得：

综上所述，使该轴同时满足强度和刚度条件的直径d＝111.3mm。

3-13　习题3-1中所示的轴，材料为钢，其许用切应力[τ]＝20MPa，切变模量G＝80GPa，许可单位长度扭转角[ψ′]＝0.25（°）/m。试按强度及刚度条件选择圆轴的直径。

解：由习题3-1计算结果可知作用在轴上的最大扭矩T_max＝2.005kN·m。

（1）由强度条件τ_max＝T_max/W_p＝16×T_max/（πd3）≤[τ]，可得：

（2）由刚度条件

可得

综上所述，使该轴同时满足强度和刚度条件的直径d＝87.5mm。

3-14　如图3-15所示，阶梯形圆杆，AE段为空心，外直径D＝140mm，内直径d＝100mm；BC段为实心，直径d＝100mm。外力偶矩M_A＝18kN·m，M_B＝32kN·m，M_C＝14kN·m。已知：[τ]＝80MPa，[φ′]＝1.2（°）/m，G＝80GPa。试校核该轴的强度和刚度。

图3-15

解：根据轴的平衡条件作扭矩图，如图3-16所示。

图3-16

（1）校核AE段

强度校核：

刚度校核：

（2）校核BC段

强度校核：

刚度校核：

综上所述，该轴的强度和刚度均满足要求。

3-15　有一壁厚δ＝25mm、内直径d＝250mm的空心薄壁圆管，其长度l＝1m，作用在轴两端面内的外力偶矩M_e＝180kN·m，材料的切变模量G＝80GPa。试确定管中的最大切应力，并求管内的应变能。

解：（1）最大切应力τ_max＝T·r/I_p，其中r＝（250/2）＋25＝150mm，故：

I_P＝（π/32）（D4－d4）＝（π/32）（3004－2504）×10－12＝412×10－6m4

τ_max＝T×r/I_p＝[180×103×150×10－3]/[412×10－6]Pa＝65.5MPa

（2）管内应变能为

V_ε＝T2l/2GI_P＝[（180×103）2×1]/（2×80×109×412×10－6）N·m＝492N·m

3-16　如图3-17所示，一端固定的圆截面杆AB，承受集度为m的均布外力偶作用。材料的切变模量为G。试求杆内积蓄的应变能。

图3-17

解：距离自由端B为x处截面上的扭矩T＝mx，则根据应变能的计算公式积分得到杆内积蓄的应变能：

3-17　簧杆直径d＝18mm的圆柱形密圈螺旋弹簧，受拉力F＝0.5kN作用，弹簧的平均直径为D＝125mm，材料的切变模量G＝80GPa。试求：

（1）簧杆内的最大切应力；

（2）为使其伸长量等于6mm所需的弹簧有效圈数。

解：（1）考虑到簧杆曲率等因数的影响，簧杆内最大切应力τ_max＝K（16FR/πd3）。

其中，旋绕比c＝D/d＝125/18＝6.94，曲度系数

K＝（4c＋2）/（4c－3）＝（4×6.94＋2）/（4×6.94－3）＝1.2

整理得

（2）弹簧的变形量Δ＝F/k，其中，弹簧刚度系数k＝Gd4/（64R3n），整理得Δ＝F×64R3n/（Gd4）。

代入数据可得弹簧的有效圈数

3-18　一圆锥形密圈螺旋弹簧承受轴向拉力F，如图3-18所示，簧丝直径d＝10mm，上端面平均半径R₁＝5cm，下端面平均半径R₂＝10cm，材料的许用切应力[τ]＝500MPa，切变模量为G，弹簧的有效圈数为n。试求：

（1）弹簧的许可拉力；

（2）证明弹簧的伸长

图3-18

解：（1）弹簧的许可拉力

在弹簧底部的簧丝截面上有最大扭矩T_max＝FR₂

由切应力强度条件T_max/W_p＝FR₂/W_p≤[τ]，可得F≤[τ]W_p/R₂

代入数据得

（2）在弹簧微段Rdθ中的应变能dU＝T2Rdθ/2GI_P，积分可得储存在整个弹簧中的变形能：

由功能互等定理W＝U，其中，外力F功W＝（1/2）FΔ，得

故

即命题得证。

3-19　如图3-19所示，矩形截面钢杆承受一对外力偶矩M_e＝3kN·m。已知材料的切变模量G＝80GPa，试求：

（1）杆内最大切应力的大小、位置和方向；

（2）横截面短边中点处的切应力；

（3）杆的单位长度扭转角。

图3-19

解：（1）根据比值m＝h/b＝90/60＝1.5，查表可得矩形截面杆扭转时的系数：

α＝0.231，β＝0.196，v＝0.858

则该杆的扭转截面系数：

W_t＝αhb2＝0.231×0.09×0.062m3＝7.48×10－5m3

W_t＝αhb2＝0.231×0.09×0.062m3＝7.48×10－5m3

杆内最大切应力发生在横截面长边中点处：

Τ_max＝M_e/W_t＝3×103/（7.48×10－5）Pa＝40.11MPa

（2）横截面短边中点处的切应力：

τ＝vτ_max＝0.858×40MPa＝34.32MPa

（3）该杆的截面极惯性矩

I_t＝βhb3＝0.196×0.09×0.063m4＝3.81×10－6m4

则杆单位长度扭转角：

φ′＝M_e/（GI_t）＝3×103/（80×109×3.81×10－6）rad/m＝0.00984rad/m＝0.564（°）/m

3-20　一长度为l、边长为a的正方形截面轴，承受扭转外力偶矩M_e，如图3-20所示。材料的切变模量为G。试求：

（1）轴内最大正应力的作用点、截面方位及数值。

（2）轴的最大相对扭转角。

图3-20

解：正方形截面轴的h/b＝1，查表可得系数：α＝0.208，β＝0.141。

则该杆的扭转截面系数：W_t＝αa3＝0.208a3；截面极惯性矩I_t＝βa4＝0.141a4。

（1）横截面边长中点处有最大切应力：τ_max＝T/W_t＝M_e/0.208a3

在该点的纯剪切单元体45°方位有最大正应力：

σ_max＝τ_max＝M_e/0.208a3＝4.81M_e/a3

（2）最大相对扭转角为

φ＝φ′l＝M_el/GI_t＝M_el/（0.141Ga4）＝7.09M_el/Ga4

3-21　如图3-21所示，T形薄壁截面杆的长度l＝2m，在两端受扭转力偶矩作用，材料的切变模量G＝80GPa，杆的横截面上的扭矩为T＝0.2kN·m。试求杆在纯扭转时的最大切应力及单位长度扭转角。

图3-21

解：开口薄壁杆件截面相当极惯性矩：

其修正值

其中该扭转截面为T形刚截面，故取η＝1.15，则：

（1）扭转时截面上最大切应力

τ_max＝Mδ_max/I_t＝0.2×103×10×10－3/（80×10－9）Pa＝25MPa

（2）单位长度的扭转角

3-22　如图3-22所示，为一闭口薄壁截面杆的横截面，杆在两端承受一对外力偶矩M_e。材料的许用切应力[τ]＝60MPa。试求：

（1）按强度条件确定其许可扭转力偶矩[M_e]；

（2）若在杆上沿母线切开一条缝，则其许可扭转力偶矩[M_e]将减至多少？

图3-22

解：（1）根据切应力强度条件

τ_max＝T/（2A₀δ_min）＝M_e/（2A₀δ_min）≤[τ]

可得许可扭转力偶矩[M_e]＝2A₀δ_min[τ]，其中：

A₀＝（0.1－0.003）（0.3－0.003）＝28.81×10－3m2

δ_min＝0.003m

故许可值：

[M_e]＝[τ]×2A₀δ_min＝60×106×2×28.81×10－3×0.003N·m＝10.37kN·m

（2）开口薄壁截面杆截面的相当极惯性矩：

由切应力强度条件τ_max＝Tδ_max/I_t＝M_eδ_max/I_t≤[τ]，可得许可扭矩值：

[M_e]＝60×106×7.09×10－9/0.003N·m＝142N·m

3-23　如图3-23所示，为薄壁杆的两种不同形状的横截面，其壁厚及管壁中线的周长均相同，两杆的长度和材料也相同，当在两端承受相同的一对扭转外力偶矩时，试求：

（1）最大切应力之比；

（2）相对扭转角之比。

图3-23

解：（1）开口环形截面扭转杆的最大切应力：

闭口箱形截面扭转杆的最大切应力：

τ_max2＝T/（2A₀δ_min）＝T/（2a2δ）

二者之比

（2）开口环形截面扭转杆的相对扭转角：

闭口箱形截面扭转杆的相对扭转角

二者之比