第3章　扭转

3.1　复习笔记

一、薄壁圆筒的扭转

薄壁圆筒为壁厚δ远小于其平均半径r₀（δ≤r₀/10）的圆筒，受扭转时：

1横截面上切应力

τ＝T/（2A₀δ），式中，A₀为圆筒横截面面积，A₀＝πr₀2；T为扭矩。

2薄壁圆筒表面切应变

圆筒表面上每个格子相同的直角改变量γ：γ＝φr/l，式中，l为两截面间距离；φ为圆筒两端截面之间相对转动的角位移，称为相对扭转角。

3剪切胡克定律

在切应力不超过材料的剪切比例极限τ_p时，相对扭转角φ与扭矩T之间呈正比关系，则有：τ＝Gγ。

上式即为材料的剪切胡克定律，G称为剪切模量。

二、传动轴的外力偶矩、扭矩及扭矩图

1传动轴的外力偶矩

传动轴的外力偶矩，通常根据轴的转速n和传递的功率P来计算，即

主动轮上的外力偶的转向与轴的转动方向相同，从动轮上的外力偶的转向则与轴的转动方向相反。

2扭矩及扭矩图

（1）扭矩：在外力偶矩作用下在任一截面上的内力，用T表示，采用截面法确定。

正负规定：扭矩的正负服从右手螺旋定则，即则当力偶矢的指向离开截面时扭矩为正，反之为负。

（2）扭矩图：表明沿杆轴线各横截面上扭矩变化情况的图示。

三、等直圆杆扭转时的应力及强度条件

1横截面上的切应力

在小变形条件下，等直圆杆在扭转时横截面上只有切应力，其计算公式的得出同时考虑几何、物理和静力学三个方面：

（1）几何方面：等直圆杆扭转变形服从平面假设；

（2）物理方面：线弹性范围内，切应力与切应变服从剪切胡克定律；

（3）静力学方面：整个截面上的内力元素合力必等于零，并组成横截面上的扭矩T。

如图3-1所示，等直圆杆扭转时横截面上任一点处的切应力为Τ_ρ＝Tρ/I_p。

在横截面周边上的各点处，切应力将达到其最大值

式中，ρ为应力点到圆心的距离；I_p为横截面的极惯性矩；W_p为扭转截面系数。

图3-1

对于实心圆形截面：I_p＝πd4/32，W_p＝πd3/16，

对于空心圆截面：

式中，α＝d/D，d为内径，D为外径。

2斜截面上的应力

（1）切应力互等定理：对于一个单元体，两相互垂直平面上的切应力成对出现，且数值相等，方向均指向（或背离）该两平面的交线。该定理同时适用于单元体表面有正应力和无正应力的情况。

（2）纯剪切应力状态：单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态。

（3）斜截面上的应力

①应力表达式

处于纯剪切应力状态的单元体，任意斜截面上的正应力和切应力分别为

σ_α＝－τsin2α，τ_α＝τcos2α

式中α为斜截面的外向法线与水平方向的夹角，并规定从水平方向至截面外向法线逆时针转动时α为正，反之为负。

②应力的极值

在α＝0°和α＝90°的侧面上，切应力绝对值最大，等于τ；

在α＝－45°和α＝45°两斜截面上，正应力有最大值和最小值，分别为:

σ_－45°＝σ_max＝＋τ（拉应力），σ_45°＝σ_min＝－τ（压应力）

3强度条件

等直圆杆扭转的强度条件：

四、等直圆杆扭转时的变形及刚度条件

1扭转时的变形

材料在线弹性范围内的等直圆杆，扭转时相距为l的两截面间的相对转角：φ＝Tl/（GI_p），式中，GI_p称为扭转刚度。

工程中通常用单位长度扭转角来度量扭转杆的刚度，表达式为：φ′＝dφ/dx＝T/（GI_p）

2刚度条件

等直圆杆扭转时的刚度条件为

式中，[φ′]为单位长度的许用扭转角，单位是（°）/m。

应当注意：刚度条件只适用于线弹性范围内的刚度计算。

五、等直圆杆扭转时的应变能

若等直圆杆仅在两端受外力偶矩M作用，则其任一点处于纯剪切应力状态。故应变能密度为：ν_ε＝（1/2）τγ

根据胡克定律，上式还可以写成：ν_ε＝τ2/2G或ν_ε＝Gγ2/2

应变能为V_ε＝T2l/（2GI_p）

应当注意：应变能计算公式只适用于纯剪切应力状态，且材料处于线弹性范围内和小变形的情况。

六、等直非圆杆自由扭转时的应力和变形

1基本概念

（1）纯扭转或自由扭转：等直非圆杆在两端受外力偶作用，端面可以自由翘曲时的扭转。

变形特征：相邻两横截面的翘曲程度完全相同，横截面上只有切应力而没有正应力。

（2）约束扭转：等直非圆杆在两端受外力偶作用，且端面受到约束而不可以自由翘曲时的扭转。

变形特征：相邻两横截面的翘曲程度不同，横截面上有切应力和附加正应力。

2矩形截面杆的扭转计算

（1）一般矩形截面（h/b≤10）

分布特点：周边各点切应力与周边相切，没有垂直于周边的切应力分量，顶点处切应力等于零，切应力变化情况如图3-2（a）所示。

图3-2（a）

横截面上的最大切应力τ_max发生在长边中点处：τ_max＝T/W_t

短边上切应力最大值发生在中点处：τ＝γτ_max

矩形截面扭转时，单位长度扭转角：φ′＝T/（GI_t）

式中，W_t为扭转截面系数，W_t＝αhb2；I_t为截面的相当极惯性矩，I_t＝βhb3；GI_t为非圆截面杆的扭转刚度；α、β、γ为因数，随矩形截面的长、短边尺寸h和b的比值h/b变化。

（2）狭长矩形截面（h/b＞10），切应力变化情况如图3-2（b）所示。

图3-2（b）

分布特点：与一般矩形相似，不同之处在于长边切应力数值除靠近顶点处，其余部分均相等，如图3-2（b）所示。

切应力和单位长度扭转角计算公式同一般矩形截面，若以δ表示矩形短边宽度，则式中I_t和W_t分别为I_t＝（1/3）hδ3，W_t＝（1/3）hδ2＝I_t/δ。