1.4　径向基函数建模研究现状

径向基函数是一种相对于向径方向对称（各向同性）的球面函数，其大部分能量集中于函数的中心区域，所以具有良好的局部化特征。径向基函数的空间形状及频率域表现与其内部的基函数核（核函数）密切相关，依据核函数球谐阶次取值范围的不同，径向基函数有非带限型和带限型之分；径向基函数建模受基函数格网、带宽等多种因素的影响，需要制定特定的格网设计方案；径向基函数在多尺度分析方面也有重要的应用价值。

（1）非带限型径向基函数研究

早期的径向基函数都是非带限型的。这里的“非带限”指的是径向基函数的频率域表现没有受到其内部核函数球谐阶次范围的约束，可以认为是从零到无穷大。非带限型径向基函数通常具有闭合形式的表达公式，该公式与球谐阶次不存在直接关联（Klees，2008），因而空间局部化特性明显，频率局部化特性不甚突出，主要分为以下几类：点质量基函数（Weightman，1965；Barthelmes，1986；Vermeer，1990；Lin，2014）、径向多级基函数（Marchenko，1998；Marchenko et al.，2001；Holschneider et al.，2003；Chambodut et al.，2005）、Poisson径向基函数（Klees & Wittwer，2006）等。

点质量基函数的研究可以追溯到1965年，是最早出现的径向基函数建模理论，它利用地球内部点质量位的叠加表示地球重力场，点质量位与该点质量元和计算点的距离的倒数有关（Weightman，1965）。1986年，Barthelmes（1986）提出了一种可以自适应确定点质量参数（三个位置参数和一个质量参数）的最优化方法，在一定程度上减少基函数数量的同时，还显著减小了计算时的不稳定性，但是该方法实施难度较大，且计算复杂度较其他方法并无改善。此后，Vermeer（1990）运用并发展了这一理论，分别对芬兰和波罗的海两个地区进行了局部重力场建模。

Marchenko（1998）、Marchenko等（2001）用点质量基函数的高阶径向导数表示了中欧地区的局部大地水准面，并将其称为“径向多级基函数”。该径向基函数的系数基于观测信号的协方差确定，只需要较少的基函数系数就可以完成建模过程，缺点是建模复杂度高，比较耗时。

Klees和Wittwer（2006）在Poisson径向基函数的基础上，设计了与观测信号相适应的数据自适应精化格网算法，最终得到的荷兰大地水准面精度达±0.6cm。

（2）带限型径向基函数研究

近十几年来，带限型径向基函数逐渐受到人们的青睐。带限型径向基函数的频谱覆盖受到公式内部核函数的制约，该核函数只在某个指定的阶次范围内有相应值，而在其他阶次取值均为零。正是由于这个原因，带限型径向基函数可以在空间局部化特性和频率局部化特性之间进行灵活的调节，从而达到最佳的局部重力场建模效果。根据核函数选取的不同，带限型径向基函数可分为Blackman径向基函数、Poisson径向基函数和球谐样条径向基函数（Eicker A，2008）等。

Schmidt等（2005）、Schmidt等（2007）使用Blackman径向基函数，结合两种不同类型的重力数据（CHAMP卫星重力数据和地面重力数据）对南美地区的大地水准面进行了逼近，得到了该区域高分辨率的大地水准面模型。

Holschneider（2003）引进了Poisson径向基函数，并成功地将其应用于局部地磁场的建模中。此后，Chambodut等（2005）就Poisson径向基函数在构建全球及局部重力场模型（南美）方面做了模拟实验，得到了较好的建模效果。Panet等（2010）基于该径向基函数，利用域分解技术，融合KMS02测高重力异常和EIGEN-GL04S扰动位两种不同类型的观测数据，最终得到了日本地区高分辨率（约15km）的地球重力场模型。

Eicker（2008）提出用球谐样条径向基函数进行重力场建模，由于核函数与观测信号的频谱特性变化非常吻合，建模效果较好，在精化卫星重力场模型领域得到了应用，但由于其基函数系数过多，建模的复杂度和计算机负荷问题并没有太大改善。

除此之外，还有Shannon低通、Shannon带通、三次多项式和Abel-Poisson等多种类型的带限型径向基函数，它们的空间域和频率域的表现情况都不尽相同，将在第3章重点讨论。

（3）径向基函数格网设计方案研究

本书所说的径向基函数格网设计方案，指的是在重力场建模过程中径向基函数的位置、数量及基函数的空间形状等的确定方法。由于在实际建模时是将基函数设置于某种数据格网上，该格网的分布就代表了径向基函数的分布，而基函数的形状又与带宽参数有直接关联。因此，基函数格网设计方案实际上就是基函数的格网点分布、数量和带宽的确定方法，三者缺一不可。遗憾的是，目前尚没有统一的准则指导建模过程，也没有任何手段可以完全恢复重力场的整个波段信息。众多学者就如何达到最佳的模型化效果进行了多种尝试，得到了许多经验和多种多样的基函数格网设计算法。

在径向基函数格网点分布方面，Eicker（2008）利用多种准则（最小距离、均匀性、灵活性等）分析了多种格网的优劣，结果表明，Reuter格网和三角顶点格网最适合应用于模型化局部重力场。Bentel（2013）、Bentel等（2013）研究了不同的径向基函数在不同类型的格网下表示重力场的差异和精度，所得结论：Abel-Poisson核、Blackman核和三次多项式核在空域内具有较小的振荡，更适合局部重力场建模。

在确定最佳径向基函数数量方面，Wittwer（2007）指出，径向基函数的数量与研究区域内数据的分辨率及其区域大小有关，并且观测值的数量并不直接影响基函数的数量；Schmidt等（2007）和Eicker（2008）将基函数格网与观测信号的频谱特性联系起来，认为基函数格网点数应大于已知信号对应的球谐系数的个数；Chambodut等（2005）利用多级小波族形成的框架联合模型化局部重力场，并且根据冗余度值（基函数个数与产生的Hilbert空间的维度比值）选定基函数的格网密度参数，这种方法可以提供一个相对稳定的重力场表达，但是需要的径向基函数数量仍然很大。另外，Tenzer和Klees（2008）认为，在平原和丘陵地带，基函数的数量一般应为观测值数量的20%～30%。而在高山区域，Tenzer等（2012）得出的结论是，基函数的数量至少应占观测值数量的70%，但如果对重力数据进行了地形改正，这一比值可以进一步降至30%。同时，Tenzer等指出，在找到最佳基函数数量之后，增加额外的基函数，对模型精度并无显著改善。Safari等（2015）试图同时用多种类型的重力数据寻求最佳的径向基函数数量，得出的结论是，基函数的数量与高程异常的残差存在函数关系，但这种方法缺乏普适性，而且多种重力数据联合校准结果的方法很难做到。

在确定最佳带宽参数方面，Barthelmes（1986）提出的点质量优化算法依然适用，他将所有未知参数（包括带宽参数）的求解都看作一个非线性系统的最优化问题，对所有参数一并求解。Weigelt等（2009）使用非线性的Levenberg-Marquardt方法确定径向基函数的三维坐标和带宽，在一定程度上提高建模质量的同时避免了过度拟合问题。Klees等（2008）提出了数据自适应精化格网算法，采用广义交叉验证准则（GCV）对基函数的带宽进行单独确定，在显著减少基函数个数的同时达到了良好的建模效果。

（4）径向基函数多尺度建模理论研究

地球重力场具有多尺度特征，利用径向基函数的频率局部化特性，可以实现对重力场的多尺度分解。因此，作为多尺度分析工具，径向基函数也受到越来越多的关注。

德国凯泽斯劳滕大学的地学研究小组提出了利用径向基函数对重力场进行多尺度分析的理论（Freeden et al.，1998）。随后，该理论得到了长足发展。Kusche（2002）就重力场的确定和多分辨率分析的方法做了简要概括总结。Chambodut等（2005）提出了径向基函数多尺度框架的概念，通过实际多尺度分析表明，在输入数据较为稀疏的情况下，径向基函数模型比球谐样条径向基函数模型更具优势。Schmidt等（2003，2005）利用模拟数据，采用两种不同的径向基函数方法（小波基函数法、小波/球谐函数组合法）对全球重力异常/大地水准面进行了多尺度分解，证明了多尺度分析方法的可行性。Markus Roland（2005）对比了利用径向基函数多尺度建模方法和斯托克斯法在构建局部大地水准面模型的差异，指出了相较于斯托克斯法，多尺度分析法不再需要内区改正，但同时存在计算量过大的问题。

Freeden等（2006）研究了利用垂线偏差数据多尺度逼近局部大地水准面的相关理论，并指出径向基函数多尺度分析的优势在于它可以充分利用本身的局部化特性；Schmidt等（2006）对径向基函数局部重力场多尺度分析的方法做了详细描述，并给出了其在诸如构建高分辨率融合模型、时空统一模型等方面的具体应用实例。Fehlinger等（2008）在多尺度框架的基础上利用格林函数的球面积分公式，提出了运用垂线偏差数据模型化扰动位的新方法。Freeden等（2009）将多尺度分析运用于探测夏威夷和冰岛的地幔羽流中，其所得关于地幔羽流位置的结论与地震学结果基本吻合。Freeden等（2010）将多尺度分析方法运用于GRACE和WGHM水文数据中，并在时域和空域意义上比较了两种多尺度分析结果的差异，为如何构建、改进水文模型提供了重要借鉴。Peidou（2015）对近几年的GOCE/GRACE卫星重力场资料进行多尺度分析，使重力场模型的精度得到一定程度的改善。