百钱买百鸡

孙子以后，大约在公元五百年相近（南北朝时候），中国又出了一位杰出的数学家，名字叫做张邱建。他著了一部算书流传下来，就是著名的《张邱建算经》。在这一部算书里，不但有两种东西的混合题（即鸡兔类问题），并且推广而成三种东西的混合题。

《张邱建算经》中的最后一个问题，大意是这样：

“公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱。现在买三种鸡共一百只，恰巧用掉一百文，问三种鸡各买几只？”

我们拿和尚吃馒头问题来跟这一个题目比较一下，似乎只要添了一种和尚，即每人吃五个馒头的老和尚，那就会跟这个百钱买百鸡的题目完全类似。可是，研究到它的解法；却使我们感到无从下手。以前我们解两种东西的混合题，虽然有好几种方法；但是用它们来解三种东西的混合题，那就行不通了。

最奇怪的，两种东西的混合题都只有一种答案，而三种东西的混合题却往往不止一种答案。《张邱建算经》中就载着这一个百鸡问题的三种答案。

第一种答案　 公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只

第二种答案　 公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只

第三种答案　 公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只

我们验算一下，这三种答案全对，它们的三种鸡的总数都是一百只，总价都是一百文钱。

照这样看来，百鸡问题跟鸡兔问题实在是不一样的。

那么这百鸡问题究竟怎样解呢？我们翻开《张邱建算经》，看到这题目的后面记着一段解法，但是只有如下的十七个字：

“鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三，即得。”

这几个字对我们有什么帮助呢？仔细研究一下，知道它只告诉我们三种答案间的相互关系。就公鸡说，第一种答案是4只；第二种是8只，比前一种多4只；第三种是12只，又比前一种多4只，所以说“鸡翁每增四”。就母鸡说，第一种答案是18只，以下的答案顺次减少7只，所以说“鸡母每减七”。同样为了小鸡在三种答案中顺次增多3只，所以说“鸡雏每益三”。

从此可见，如果我们知道了第一种答案，就可用增四、减七、增三的方法求得第二种答案，并可继续用同法求得第三种答案。那么第一种答案是用什么方法求出来的呢？原书中没有交代，我们现在也只能暂且搁起不谈。

我们把四、七、三称做“增减率”，先来研究一下，为什么在第一种答案上用四、七、三增减后可得第二种答案，继续又可得第三种答案？这理由很简单：第一，因为增加的公鸡和小鸡共计是4只+3只=7只，而减少的母鸡也是7只，所以原来三种鸡共100只，增减后仍旧是100只，第二，因增加的4只公鸡和3只小鸡共值钱5文×4+⅓文×3=21文，而减少的7只母鸡也值钱3文×7=21文，所以原来三种鸡共值钱100文，增减后仍值钱100文。

从这一个研究，我们知道不单是有了第一种答案可以用增四、减七、增三的方法求得后面的两种答案，而且相反地，也可以由第三种答案用减四、增七、减三的方法求得前面的两种答案。但是这样一来，我们会问：那未第三种答案是怎样求出来的呢？倒来倒去，问题还是得不到解决。

到这里；我们可能这样想：既然用增减率可以由一种答案增减而得别种答案，那么能不能继续增减而得第四种答案呢？这很容易解决，只要用增减率来一试验就可以知道，现在先把第三种答案增减如下：

公鸡12+4=16，母鸡4-7=-3，小鸡84+3=87

因为鸡数不能是负数，所以这一组数不适用。若继续进行，母鸡的只数永远不会成正数。

再用相反的方法把第一种答案增减，得

公鸡4-4=0，母鸡18+7=25，小鸡78-3=75

因为不能没有公鸡，所以这一组数也不适用。若继续进行，公鸡的只数又要成负数了。于是知道这问题决不会有第四种答案。

这一步研究粗看好像是多余的，但实际却在无意间给我们找到了解决本题的重要关键。你有没有注意到，在没有公鸡的时候，母鸡是25只，小鸡是75只？这两个数不就是本书第一篇的那个和尚吃馒头问题的答案吗？对了，这问题的解法无疑是这样的：

先假定没有公鸡，把原题改作：“有两种鸡，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱，买这两种鸡共一百只，恰巧值钱一百文，问两种鸡各买几只？”仿照和尚吃馒头的问题，解得母鸡是25只，小鸡是75只。再用增减率加减，就得

看了这一个解法；我们猜想到和尚吃馒头问题的创立，可能在百鸡问题之前。张邱建为了有现成的数字可以根据，所以只说增四、减七、增三便算完事。这和尚吃馒头的问题，大概早已流传在民间，到了明代才配载到书里去的吧。