一 因数

1.【自然数列】 假若我们把0也作为一个数看，那么，从0起， 依次加1上去，就可以得出有头无尾的一串数：

0，1，2，3，4，……10，……20，……100，……1000，……这一串数就叫作自然数列。

2.【约数和倍数】 在自然数列中，如 2，3，4，6 都可以除尽12，我们就说 2，3，4，6 是 12 的约数。反过来，12 就叫作 2，3，4， 6 的倍数。

一般地说，甲数能除得尽乙数，甲数就是乙数的约数，而乙数就是甲数的倍数，如11能除得尽 143，11就是143的约数，而143就是11的倍数。

在这点，我们应当注意自然数列中：

（1）1是任何数的约数，因为用它除什么数都可以除尽。

（2）0是任何数的倍数，因为除0自己以外，什么数去除0就得0，并没有余数，就是除得尽。

3.【倍数的基本性质】 关于倍数，我们很容易推得下面的两个性质：

45是5的倍数，25也是5的倍数。

45+25=70和45-25=20，

我们知道70和20也是5的倍数。这就是说：

一个数的几个倍数的和或两个倍数的差，还是它的倍数。这是可以从乘法的分配定律说明的。

因为 45=9×5和25=5×5，

所以 45+25=9×5+5×5=(9+5)×5=14×5，

和 45−25=9×5−5×5=(9−5)×5=4×5。

45是5的倍数，18不是5的倍数。

45+18=63和45-18=27，

我们知道63和27都不是5的倍数。这就是说：

一个数的倍数加上或减去一个不是它的倍数的数，结果就不是它的倍数。

因为由前一个性质，若45+18=63和45-18=27，63和27都是5的倍数，则63-45=18和45-27=18，都应当是5的倍数，但这和我们提出的条件18不是5的倍数是矛盾的。

4.【2的倍数】用2除得尽的数叫作偶数，用2除不尽的数叫作奇数。在自然数列中，奇数同着偶数是相互交替的。1是奇数，2是偶数，3是奇数，4是偶数……由此我们把0看成偶数。

20是2个10的和，150是15个10的和。但10是2的倍数，所以20和150都是2的倍数。这就是说：

末位是0的数都是2的倍数。

34=30+4和256=250+6。

两个式子右边的第一个数都是2的倍数，而第二个数也是2的倍数，所以它们的和也是 2 的倍数。这就是说：

末位是偶数的数都是2的倍数。

反过来，187=187+7，第一个数是2的倍数，而第二个数却不是2的倍数，所以187便不是2的倍数。这就是说：

末位是奇数的数都不是2的倍数。

5. 【4 的倍数】100=25×4，100是4的倍数。1300=13×100，就是13个100，也就是13个4的倍数的和，所以也是4的倍数。这就是说：

末两位是0的数都是4的倍数。

3124=3100+24和2576=2500+76。

两个式子右边的第一个数都是4的倍数，第二个数24和76也是4的倍数。所以它们的和3124和2576也是4的倍数。这就是说：

末两位是4的倍数的数都是4的倍数。

相反地，末两位不是4的倍数的数也不是4的倍数。同样地，我们还可以推得：

末三位是0或8的倍数的数都是8的倍数。

相反地，末三位不是8的倍数的数都不是8的倍数。

6.【5和10的倍数】末位是0的数都可以看成是若干个10的和。30是3个10的和，170是17个10 的和。但10是5和10的倍数。这就是说：

末位是0的数都是5和10的倍数。

45=40+5和1035=1030+5。

两个式子右边的第一个数都是5的倍数，第二个数5也是5的倍数，所以它们的和45和1035都是5 的倍数。这就是说：

末位是0或5的数都是5的倍数。

相反地，末位不是0或5的数都不是5的倍数。同样地，我们还可以推得：

末二位是0或25，50，75 的数都是25的倍数。

末三位是0或125，250，375，500，625，750，875（125的倍数）的数都是125的倍数。

7.【3和9的倍数】我们先注意一下：

                                    9÷3=3 ， 9÷9=1 ；

                                    99÷3=33 ， 99÷9=11 ；

                                   999÷3=333 ， 999÷9=111 。

就是只用 9 这一个数字组织成的数都是 3 和 9 的倍数。现在我们再来看：

36=30+6=10×3+6=(9+1)×3+6=9×3+(3+6)，

135=100+30+5=(99+1)×1+(9+1)×3+5

=（99×1+9×3）+1+3+5，

2601=2000+600+1=（999+1）×2+（99+1）×6+1

=（999×2+99×6）+（2+6+1）.

各个式子右边的第一个数都是9的倍数，第二个数也都是9的倍数，所以它们的和36，135，2601 都是9的倍数。

把各个式子右边的第二个数来和原数对照一下，我们可以看出来， 它们就是原数的“各位数字的和”。这就是说：

一个数的各位数字的和是9的倍数，它就是9的倍数。自然，这也可以用到3。

一个数的各位数字的和是3的倍数，它就是3的倍数。

9是3的倍数，所以9的倍数都是3的倍数，上面的36，135，2601都是3的倍数。但3的倍数不一定就是9的倍数，如 3，6，12，15……所以一个数的各位数字的和若只是3的倍数而不是 的倍数，它也就只是3的倍数而不是9的倍数。

8.【11 的倍数】 我们先注意一下：

上面三个式子告诉我们，最后等式右边的第一个数都是11的倍数。所以原数是不是11的倍数就要看它最后等式右边的第二个数是不是11的倍数。

我们来仔仔细细地看看这些第二个数，同着原数对起来，它们都是奇数位数的数字在‘+’，偶数位数的数字在‘-’。

8−6+9=(8+9)−6=11，

−3+5−5+3=(5+3)−(3+5)=0，

2−3+4−1+9=(2+4+9)−(3+1)=11。

它们是0或11的倍数。所以原数也就是11的倍数。这就是说：

一个数的奇位数字的和同着它的偶位数字的和相减所得的差若是0或11的倍数，它就是11的倍数。

869=79×11， 3553=323×11 ， 23419=2129×11 。