1. 城市中交通路线的平均长度——等差数列与堆垒求和

假设我们处在这样一个城市里：它的道路呈现为一个（行列）的方形网络，网络中的每个节点为一个公交站点，相邻站点的间距为，如图1-1所示。[1]

图1-1　形如方形网络的城市交通网

现在的问题是：从该城市中的一个站点到另一个站点的平均长度为多少？这里不允许走回头路，也不允许兜圈子（即只允许向目的地行进，不能走过了再返回来这样故意浪费行程），这样在方形网络中，从一个选定站点到另一个选定站点的不同走法有着相同的路程，于是可以假设两个站点之间的行程中最多转弯一次（图1-2，如果两个站点在同行和同列，则不转弯）。

图1-2　因为假设了不允许兜圈子，所以两个站点间的路程与路线选取无关，于是可以假设两个站点之间的行程中最多转弯一次

首先考虑方形网络的每一行。每一行有个站点，每一个都可能是公交行程的初始站，也可能是行程的终点站。从第个站点出发向东走，可能经过个长度为的路程，于是从第个站点出发向东走的所有可能路程之和为

考虑不同的始发站，可得每一行中可能的向东路程总和为

其中其，。这里我们介绍一下求和公式的推导方法，注意到

类似于等差数列通项公式的证明，将上述方程组中每个方程累加到一起可得

进而可得

这种方法被称为堆垒求和方法，用这种方法可依次求出、、等和式的公式。

回到（2）式，可得每一行中可能的向东路程总和为

因为可以向东走，也可以向西走，于是每一行中可能的路程总和为

再考虑不同行之间的穿插，一段复杂的行程可能会跨越很多行，行两两配对共有种可能。于是方形网络东西向的所有可能的路程总和为

南北向的计算是完全类似的，只需要将上式中的和对调，得到方形网络南北向的所有可能的路程总和为

二者作和，可得方形网络中可能的路程总和为

因为方形网络中共有个站点，每个站点到其余个站点都可以成为路程，所以任取两站点之间的平均路程为

奇妙的是，这刚好是方形网络最外围周长的。

感兴趣的读者可以思考：如果是矩形网络，结论是否依然成立？为什么？