1.1.2 向量的加法
在物理学中,我们曾经学过两个向量相加的方法:平行四边形法则。如图1-1-6所示,有两个向量和
,分别过
点和
点做对边(向量)的平行线,两者交点为R,则得到的向量
就是
和
相加后所得的和,即
。
![](https://epubservercos.yuewen.com/39156C/23020656909779806/epubprivate/OEBPS/Images/txt001_87.jpg?sign=1734463075-e2Q7LQipHj5fu9x77iEZxfDjuthV3QNZ-0-87ec4974e62b58c7570343287e39d976)
图1-1-6
如果作图需要非常严格——手工尺规作图很难做到,一般要使用专门软件(例如GeoGebra),就能得到图1-1-5所示的向量r的端点在直角坐标系中的坐标。
以上纯粹用几何方式计算两个向量相加。现在,我们要用更定量的方式完成这个运算。使用前面已经介绍过的描述向量的方法,图1-1-6的直角坐标系中所示的向量和
分别为:
![](https://epubservercos.yuewen.com/39156C/23020656909779806/epubprivate/OEBPS/Images/txt001_90.jpg?sign=1734463075-9wZZAnWhULbMZrqfHr4S0hx47KZo1OyZ-0-373a7d2c2481bccbe2e75ef547c745b5)
这两个向量的和就可以写成:
![](https://epubservercos.yuewen.com/39156C/23020656909779806/epubprivate/OEBPS/Images/txt001_91.jpg?sign=1734463075-jEJNBJ6GPcY3IB8cMStzD7V0FabkCC26-0-33a3aec889c8245791f4503f7d028d78)
由此可知:两个向量相加,就是对应的坐标相加。
如何理解此结论?可以用中学物理常用的“正交分解法”帮助我们深入分析。还是以平面上的两个向量为例,如图1-1-7所示,分别将表示向量和向量
的有向线段向坐标系的
轴和
轴投影(关于投影,参阅3.4.4节)。
![](https://epubservercos.yuewen.com/39156C/23020656909779806/epubprivate/OEBPS/Images/txt001_96.jpg?sign=1734463075-VXF20LhTLGdF0fJmGMCEOlzphQLvzUvd-0-59b6795cd30ad2a308a435b91202257b)
图1-1-7
从而分别得到了沿着轴的两个向量
和沿着
轴的两个向量
,又因为每个向量的起点都是坐标原点,所以,此处的每个向量就可以用终点的坐标表示,这样就将向量运算转换为代数运算,即:
![](https://epubservercos.yuewen.com/39156C/23020656909779806/epubprivate/OEBPS/Images/txt001_101.jpg?sign=1734463075-Mqws0Wb2XNr8yQzAJQTECpfHhKhfPlmq-0-10693737540c6286b903321d03e7125a)
然后,将向量和
合成,就得到了向量
与向量
的和
。
定义:实数空间中的两个向量
相加:
![](https://epubservercos.yuewen.com/39156C/23020656909779806/epubprivate/OEBPS/Images/txt001_109.jpg?sign=1734463075-S8Q7uQmYvqpNrRpexcqMRjc3jIIxADcS-0-4090950c6f25428c28f0b89dab739d1f)
有了向量加法的严格定义之后,计算向量减法就不难了。
![](https://epubservercos.yuewen.com/39156C/23020656909779806/epubprivate/OEBPS/Images/txt001_110.jpg?sign=1734463075-yWLdLk37nKDzvFpH3xMwVgfijkDZDL6b-0-f3de39760dc2acc75facc7dd62b3decf)
的含义就是将向量
反向。
仍然用NumPy的数组表示向量,可用数组间的加减法运算实现向量的加减。
![](https://epubservercos.yuewen.com/39156C/23020656909779806/epubprivate/OEBPS/Images/txt001_113.jpg?sign=1734463075-iecYbEcWC6HSQDJxw1rE3IY5gFerHoCV-0-d4afb093083eca5055cea8ba5c54c441)