2.1.4　数量乘法

继续使用2.1.3中的矩阵，探讨标量与矩阵相乘的结果，例如，因为，于是可以用第1章1.1.3节已经熟知的向量的数量乘法来探讨的结果：

矩阵的数量乘法定义如下。

定义　设是一个标量，矩阵与它的数量乘法记作：，与有同样形状，且。

根据加法和数量乘法，就可以计算两个矩阵的差。

例如：

用程序计算数量乘法，操作过程也非常直观。

观察矩阵数量乘法的结果，其中的列（行）向量与原来矩阵的每个列（行）向量，还是在同一个空间，也就是说：

●　两个矩阵的相加符合加法封闭原则；

●　如果用一个标量乘以矩阵，则此计算结果仍然是与原矩阵形状一样的矩阵，遵从乘法封闭的原则。

由此，可以说的矩阵集合是向量空间，其中的每个矩阵都是向量。

第1章1.2节中提及的线性组合的形式：，这种形式也可以用于中，只不过这里应该将其中的向量从列（行）向量一般化为矩阵。

例如：将矩阵表示为矩阵的线性组合。求解过程如下：

解得：，则该矩阵可以写成如下线性组合的形式：

那么，我们同样可以说向量（矩阵）生成向量空间。

于是，第1章1.2节中的“子空间”概念，现在也可以推广到矩阵生成的向量空间。

例如的对角矩阵的集合就是矩阵生成的向量空间（记作：）的子空间。

设两个矩阵、，容易验证它们符合加法和乘法封闭，由此可知它们所生成的空间是的子空间。

在这里需要注意的是，因为零向量的特殊性，导致任何子空间都会包含向量空间的零向量，否则就不能构成子空间。例如形似的向量集合，就不是三维向量空间的子空间。

至此，我们其实拓展了第1章中的向量概念——矩阵也是向量，它们生成了向量空间，这是从静态的角度理解矩阵。

但矩阵还有其特殊性，因为又规定了乘法。