1.2.1　什么是向量空间

在1.1节中，讨论向量的加法和数量乘法的时候，是否注意到了结果向量的特点？比如在二维的平面空间中：

●　两个向量相加所得到的向量，依然在这个二维平面空间中；

●　经过数量乘法所得到的向量，也在这个二维平面空间中。

但是，如果要计算二维平面中的两个向量叉积——这是两个向量相乘，结果就不这样了。

叉积（Cross Product），又称矢量积（Vector Product），如图1-2-1所示，设二维平面中有向量和，它们的叉积为：

其中和分别表示向量和的大小，表示按照“右手定则”所确定的叉积方向，即右手伸开，拇指与四指垂直，四指并拢，并都与手掌在同一平面；四指指向第一个向量的方向，然后向另外一个向量弯曲，则拇指方向即为的方向。

结合图1-2-1可知，平面中的两个向量的叉积已经不在此平面内，而是垂直于此平面。

所以向量的叉积结果与前述向量的加法及向量的数量乘法结果大相径庭。在线性代数中，我们把如同向量加法及数量乘法那样，计算结果的向量与已知向量在同一个空间，称为加法和数量乘法封闭。

如果抽象为严格的数学定义，即为：

定义　设是一个非空集合，是一个数域。在中定义了：

●　加法：，则；

●　数量乘法：，则。

并且满足下述8条运算法则：

●　

●　

●　中有一个元素，有，元素称为零元素

●　对于，存在，使得，称为的负元素

●　

●　

●　

●　

那么，称是数域上的一个线性空间（Linear Space）。

若把线性空间的元素称为向量，则线性空间又称为向量空间（Vector Space）。

在上述定义中，是全称量词，表示“对所有；对任意”；是元素归属。表示的是任意向量都属于非空集合。

由上述定义可知，我们所熟悉的二维的平面空间、三维的立体空间是实数域上的一个向量空间。本书中，如无特殊说明，所涉及的数域均为实数域。

在向量空间中，有一个特殊的向量：零向量。如果按照1.1节中的方法描述这个向量，它就位于坐标原点，比如在三维向量空间中，可以写成，也可以用粗体0表示任何向量空间中的零向量，而普通的字体表示的是一个标量。