闲话　科妄

他咬牙切齿地回答，说我混迹于怪人、波希米亚人、异教徒、煽动者之中。基本来说，就是一群乌合之众。

——萧伯纳^[1]

写这本书有一个很大的风险：我会被化圆为方或者三等分角问题的解法淹没。这些问题对于数学科妄来说简直就像猫薄荷。几乎每一位有电子邮箱的数学家都曾收到一些声称解决了这些问题的怪人的来信。古典问题阐述起来过于简单，即便是非数学家也可以理解。不幸的是，有些人认为自己成功了，并且拒绝接受那些指出他们错误的言论。

诚然，数学不是唯一吸引骗子和怪人的领域。物理领域有声称发明了永动机的人，历史领域有声称犹太大屠杀从未发生的人，医疗领域有支持顺势疗法的人，公共卫生领域有反对接种疫苗的人，不一而足。千百年来，我们见到了无数炼金术士、地平说支持者、寻找长生不老药的人、特异功能拥护者以及质疑登月和约翰·F. 肯尼迪遇刺的怀疑论者。

自从化圆为方和三等分角问题出现以来，就有人声称解决它们了。古希腊人用“τετραγωνιζειν”这个词来描述那些试图解决化圆为方问题的人。这个词直译过来的意思是“沉迷于求面积”。

奥古斯塔斯·德·摩根（1806—1871）为杂志《文艺协会》撰写了无数专栏。这些专栏在他去世后由他的妻子整理成著作《悖论汇编》（Budget of Paradoxes）出版。这些专栏的主题是什么？悖论家。德·摩根解释道：“我是在使用（悖论）这个词的传统含义：悖论就是那些和大众观点不同的东西。它们或是主题不同，或是方法不同，也可能是结论不同。”^[2] 对于他来说，悖论并不是个贬义词。事实上，他认为伽利略和哥白尼也都是悖论家。不过，他最感兴趣的还是悖论家们犯了错，也就是他们成了科妄的时候。

德·摩根是个数学家，他写了大量有关数学科妄的文章。他创造了一个词来描述这些被误导的爱好者所患的病症——“化圆为方病”（morbus cyclometricus）。他写道：^[3]

引诱人们尝试这一问题的这种感觉，换作是冒险故事中，就会让骑士无法穿越巨人或者巫师的城堡……一旦病毒侵入脑髓，患者就会飞蛾扑火；先用一种方法，然后又换一种，循环往复，乐此不疲。

在科学界第一次使用“科妄”这个词，可能要追溯到 1906 年《自然》中的一篇书评。书评作者调侃了“科妄”这一说法：^[4]

科妄指的是固执己见的人。这些人（地平论者、化圆为方者，还有三等分角者）都是科妄，总之，我们从未成功地让他们中的任何一个人相信自己是错的。大多数人能够接受的公理、定义和科学术语不适用于他们。有时候在同一段推论中，他们使用的术语明显具有不同含义。但不管他们用不用术语，我们都没法知道他们到底想说什么。

到了 20 世纪中叶，这个词就已经被固定下来了。约翰·纳什（1928—2015）是一位诺贝尔奖获得者。他也是畅销书以及电影《美丽心灵》的主人公。他在 1955 年 1 月写给美国国家安全局（NSA）的一封信中也使用了这个词。这封信是为了跟进他先前写的一封信。在之前的信中，他提出了一种加密解密仪器。第一封信并没有得到回复。在图 T.1 展示的回信中，他保证道：“我希望我的字迹等细节不会让你们觉得我只是个科妄或者化圆为方者。”^[5]

图 T.1　约翰·纳什写给 NSA 的信中的一段

1931 年，牧师杰里迈亚·卡拉汉（1878—1969）成为宾夕法尼亚州杜肯大学的第五任校长。他刚就任就引起了轰动，因为他声称能只用尺规三等分角。〔他还出版了一本充满争议的书，书名叫《欧几里得还是爱因斯坦：对平行理论的证明和对非欧几何的批判》（Euclid or Einstein: A Proof of the Parallel Theory and a Critique of Metageometry）。书中，他“证明”了欧几里得的平行公设，而这也是数学科妄最喜欢的另一项不可能的任务。他还批评了爱因斯坦，因为后者的理论依赖于非欧几何。〕但是，卡拉汉拒绝展示他的三等分角作法，他声称想等到获得著作权之后再公开。大概，他觉得自己的证明太有价值了，所以才不敢公示出来，以免别人剽窃他的成果。

他成功三等分角的消息在美国广为报道，《时代周刊》上也有一篇公告。^[6]《匹兹堡新闻》援引了数学家埃里克·坦普尔·贝尔（1883—1960）的话，后者正确地指出三等分角问题已于 1837 年就被证明不可解。据说，卡拉汉如此回应：“他爱怎么想就怎么想。这个问题就像许多问题一样，曾经被认为不可解。但我已经找到答案了。”^[7]

最终，卡拉汉还是给出了他所谓的“证明”。他不仅没有三等分任意角，反而用了个复杂的方法来让角变大三倍。换句话说，已知 ，他作出了 ，使得 。^[8]

如果我们细读数学科妄们的文章，就能发现许多不同的、有新奇错误的三等分角和化圆为方的方法。某些证明中的谬误对于任何接受过数学训练的读者来说都再明显不过，就像卡拉汉的三倍角一样。其他证明则有些棘手，不过这通常是由于作者用了一大堆复杂的符号、图和术语。有时，这些不正确的方法能得到不错的近似解。我们很容易被看上去正确的图迷惑。

图 T.2 中给出了一个常见的三等分角的错误解法。首先以角的顶点为圆心画圆，然后作出这个角对应的弦。因为三等分线段是可能的 ^[9]，所以我们可以用尺规三等分这条弦。最后，连接角的顶点和两个三等分点就可以了。要是三等分角可以这么简单就好了！正如图 T.2 中所示，如果角很小——哪怕不太小——这作法就看起来很正确（虚线是要求作的线段）。但是随着角变得越来越大，我们就很容易看出三等分弦并不能三等分角了。

图 T.2　三等分弦并不能三等分角

许多尝试化圆为方的人痴迷于寻求 “真正的”值。他们给出的答案有 3、3.1、3.2、22/7、 等。通过错误的数学、具有欺骗性的图和近似，他们得出了结论—— 的值是有理数，或是某些能用尺规作出的无理数。

有些人把特例错当成了证明。我们确实能三等分部分角，例如 45°、90°、180°角等。就这样，一些科妄把这些作法当成了他们能够解决一般情况的证据。

不幸的是，许多科妄并没有良好的逻辑推理能力或数学证明能力，比如，他们无法理解三段论，回避问题，无法正确使用归谬法，等等。他们的解法往往复杂而冗长，使用着不标准的术语和符号，充斥着数学错误。

在 18 世纪，当这些问题还没有被证明不可解的时候，错误的证明淹没了法国皇家科学院。在 1741 年和 1775 年间，他们收到了大约 150 篇关于化圆为方的论文。^[10] 尽管没有严格证明，科学院的院士还是相信这些问题不可解。早在 1701 年，他们就写道：“如果几何学家们敢于在没有绝对的证据时就发声，并且满足于可能性最大的结论，那他们早就该一同裁定化圆为方是不可能的。”^[11]

1740 年，路易斯·卡斯特尔（1688—1757）写道：“试图解决化圆为方的人并不是那些著名的、真正的几何学家——他们太了解这个问题了。只有那些连欧几里得都不知道的半吊子还在尝试。”^[12]事实上，科学院的院士们因为疲于应付这些“骗子”，在 1775 年通过了一项决议，拒绝接收所有化圆为方、三等分角和倍立方问题的解。^[13]（他们还决定拒绝所有永动机的提案。）

数学物理学家约翰·拜艾兹（1961—　）提出了一个“科妄指数”，作为“一个评价物理领域潜在的革命性贡献的简单方法”。^[14]每个人的起始分都是 - 5。然后拜艾兹给出了一份清单，列出了科妄的 37 个特点。一旦某个条件被满足，就加上相应的分数。

数学家克里斯·考德威尔受拜艾兹的列表启发，想出了一份数学版本的“科妄指数”的列表。^[15] 表中一些（经过轻微修改后的）加分项如下：

• 每有一个全是大写字母的单词，加 1 分；
• 每有一句明显没有意义、逻辑不自洽或是大家都知道不正确的陈述，加 5 分；
• 在经过仔细校正后，仍然坚持错误陈述时，每句加 10 分；
• 不知道（或者不使用）标准的数学符号，加 10 分；
• 表现得害怕自己的成果被剽窃，加 10 分；
• 每发明一个新术语，或是没有明确定义就使用新术语，加 10 分；
• 声称自己的成果有巨大的经济、理论或精神价值，加 10 分；
• 在描述自己的工作前，先提到自己在这个问题上所花费的时间，加 10 分；
• 每认为自己比一位著名学者强，加 10 分；
• 引用非常重要但与问题无关的成果，加 10 分；
• 用自己的名字命名某成果，加 20 分；
• 不知道如何或去哪里提交成果来出版，加 30 分；
• 把特例或探索的过程错当成数学证明，加 30 分；
• 声称“证明”了某个重要结论，却不知道著名数学家们关于这个结论做过哪些工作，加 40 分。

安德伍德·达德利（1937—　）称得上是当代的德·摩根。他花了好几年，收集数学科妄的逸事，并撰写了许多诙谐的图书和文章，来展示他碰到的科妄。^[16]

达德利开玩笑似地把 1832 年和 1879 年间化圆为方者们提出的 值（多出自德·摩根的书）做了线性回归。他的结论是， 的值是一个关于公元年份 的函数 。根据这一结论， 的值在公元前 219 年 11 月 10 日晚上 10 时 54 分时才是真正的 值。^[17]

在研究数学科妄多年后，达德利意识到，他们有种规律。在他的书《三等分角者》（The Trisectors）中，他给出了如下这些三等分角者的典型特点（或许化圆为方者也符合这些特点）：^[18]

(1) 他们都是男性；

(2) 他们都上了年纪，通常已经退休；

(3) 他们不懂“数学上不可能”是什么意思；

(4) 他们的数学背景有限，基本上都止于高中几何的程度；

(5) 他们相信三等分角是一个亟待解决的重要问题，并且一旦解决，他们就会获得丰厚的物质回报和崇高的名望；

(6) 他们的证明总是包含密集的、复杂的图；

(7) 几乎不可能让他们相信自己是错的；

(8) 创作高产，并且坚持不懈地打扰你，只要你还没有无视他们。

达德利用如下文字为他关于科妄的描述作结：“现在，当一个三等分角者走过来时，你能认出他了吗？那你知道该做什么了吗？给你个提示：你需要用到你的脚。不，不是让你踹他们。”^[19]

不过，达德利并没有按他自己的建议行事。在 20 世纪 90 年代，他被其作品《数学科妄》^[20] 中提到的一个人——威廉·迪尔沃斯起诉了。美国威斯康星州的联邦地区法院拒绝审理此案，但迪尔沃斯提出上诉。联邦第七上诉巡回法院裁定上诉得直。迪尔沃斯随后在威斯康星的一个州法院起诉达德利。不过他最终败诉，并且需要支付辩护人 7000 美元的法律费用。^[21]

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[1]　出自巴塞托（1937，264 页）中 1889 年 12 月 6 日的记录。

[2]　德·摩根（1915a，2 页）。

[3]　德·摩根（1915b，210 页）。

[4]　P.（1906）。

[5]　美国国家安全局（2012）。

[6]　《时代》（1931）。

[7]　《匹兹堡新闻》（1931）。

[8]　关于卡拉汉的论述的细节，参见桑德斯（1931）。

[9]　下面是一种把线段 分为 等份的方法（我们会展示 的情况）。以 和 为圆心、以 为半径作圆。两圆交于点 。连接 。用圆规在直线 上标出和线段 等长的三段，也就是如下图所示的 和 。连接 。过 和 作平行于 的直线，分别交 于 和 。这两个点就是线段的三等分点。

[10] 雅各布（2005）。

[11] “Si les Géomètres osaient se prononcer sans des démonstrations absolues, et qu'ils se contentassent de vraisemblances les plus fortes, il y a longtemps qu'ils auraient décidé tout d'une voix que la quadrature du cercle est impossible.”（雅各布，2005）

[12] “Ce ne sont pas les Géomètres fameux, les vrais Géomètres qui cherchent la quadrature du cercle: Ils savent trop de quoi il s'agit. Ce sont les demi - Géomètres qui savent à peine Euclide.”（雅各布，2005）

[13] 法国科学院（1778，61 页）。

[14] 拜艾兹（1998）。

[15] 考德威尔（2017）。

[16] 关于数学科妄的其他特征，参见耶茨（1942，第五章）。

[17] 达德利（1962）。

[18] 达德利（1994，20-33 页），达德利（1983）。

[19] 达德利（1994，33 页）。

[20] 达德利（1992）。

[21] 达德利等（2008）。