1.3 影响液体运动因素的分析

影响液体运动的因素有内因和外因两类：内因是指液体本身的物理性质；外因是指液体的边界条件。

1.3.1 液体的主要物理性质

液体的主要物理性质有质量和重量、易流动性、黏滞性、压缩性、表面张力、气化等。

1.3.1.1 惯性——质量和密度

惯性就是反映物体所具有的反抗改变原有运动状况的物理性质。惯性的度量就是质量，也就是物体中所含物质的多少。质量越大，惯性就越大。

当物体受其他物体的作用力而改变运动状态时，此物体反抗改变运动状态而作用于其他物体上的反作用力称为惯性力。设物体的质量为m，加速度为a，则惯性力可以表示为

式中：负号表示惯性力的方向与物体的加速度方向相反；质量m的单位为千克或公斤（kg），加速度的单位为米/秒²（m/s²），则力F的单位用国际单位表示为牛顿（N）。

牛顿的力定义为：在1牛顿（N）力的作用下，质量为1千克（kg）的物体得到1m/s²的加速度，即1N=1kg·m/s²。

液体单位体积内所具有的质量称为密度，用ρ表示，对于均质液体，设其体积为V，质量为m，则

对于非均质液体，根据连续介质的假设，有

ρ的单位用国际单位表示为千克/米³（kg/m³）。

在一般情况下，液体的密度随压强和温度的变化而发生的变化甚微，故液体的密度可视为常数。

1.3.1.2 万有引力特性——重量和重度

物体之间相互具有吸引力的性质，即万有引力。万有引力的作用是企图改变物体原有运动状况而使其相互靠近。在液体运动中，一般只需考虑地球对液体的引力，这个引力就是重力，用重量G表示：

在国际单位制中，重力的单位为牛顿（N）。

液体单位体积内所具有的重量称为重度，或称容重、重率，用符号γ表示。对于均质液体

对于非均质液体，根据连续介质的假设，有

重度γ的单位在国际单位制中为牛顿/米³（N/m³）。

由式（1.2）、式（1.4）和式（1.5）得

液体的重度也随压强和温度而变化，但变化很小，在一般情况下可视为常数。水的重度常采用的数值是9800N/m³，不同温度下水的重度和密度见表1.1。

1.3.1.3 液体的易流性

把液体盛于不同形状的容器中，它就具有不同的形状。把容器中的液体倒在地上，它就不能保持原来的形状而发生流动，这说明液体不像固体那样能保持固定的形状，而是很容易变形的。

从力学观点来说，固体在一定的切力作用下能够保持固定的形状，液体则一受到剪切（尽管切力很小）就会连续变形（即流动），液体的这种特性称为易流性。这是液体与固体的物理性质之间的最大区别。

1.3.1.4 黏滞性——黏滞系数

液体具有易流动性，静止时不能承受切力抵抗剪切变形。但在运动状况下，液体就具有抵抗剪切变形的能力，这就是黏滞性。

设在液体中有两个相邻的上下液层，如图1.2所示。上层流速大于下层流速，由于液层间有相对运动，其接触面上就会出现摩擦阻力。流得快的流层对流得慢的流层起拖动其向前运动的作用，因而快层作用于慢层的摩擦阻力与流动方向一致；反之，慢层对快层起阻止其向前运动的作用，则慢层作用于快层的摩擦阻力与流动方向相反。这一对大小相等、方向相反的摩擦阻力（切力）对液层间的相对运动（即变形）起阻滞作用，就是说，液体具有在运动状态下抵抗剪切变形的能力，这就是液体的黏滞性。

图1.2

在剪切变形过程中，液体质点之间存在着相对运动，使液体内部出现成对的切力，称为内摩擦阻力。内摩擦阻力的作用是抗拒液体内部的相对运动，从而影响着液体的运动状况。由于黏滞性的存在，液体在运动过程中因克服内摩擦阻力必然要做功，所以液体的黏滞性也是液体中发生机械能量损失的根源。

下面阐述牛顿内摩擦阻力定律。

牛顿内摩擦阻力定律是由牛顿（Newton）在1686年根据实验提出来的。后人大量的实验验证了这一定律。

设液体沿某一固体表面做平行直线运动，沿固体表面的方向为x方向，与x垂直的方向为y方向，如图1.3所示。因为紧靠渠底的第一层由于附着力的作用而黏附在底面上不动，该层水流的流速为零。而且该水层通过黏滞作用而影响第二水层的流速，第二水层又通过黏滞作用而影响第三水层的流速……这样逐渐影响的结果，就形成了图1.3所示的不均匀的流速分布状态。由此流速分布可以看出，液体中是存在黏滞性的，液体的黏滞性是液体与固体物理性质之间的另一个重要区别。

当液体流过固体边界时，由于紧贴边界的极薄层与边界之间无相对运动，则液体与固体之间不存在摩擦力。这样液体中的摩擦力均表现为液体内各流层之间的摩擦力，故称为液体的内摩擦阻力。

图1.3

设图1.3所示的二维平行直线运动中，液体中的内摩擦力（或称切力）为F，其大小与液体的性质有关，并与流速梯度du/dy和接触面积A成正比，而与接触面上的压力无关，即

式中：μ为比例系数，称为动力黏滞系数；在国际单位制中，动力黏滞系数的单位为牛顿·秒/米²（N·s/m²），即帕·秒（Pa·s），或千克/（米·秒）［kg/（m·s）］。

设τ代表单位面积上的内摩擦力，即黏滞切应力，则

作用在两相邻液层之间的黏滞切应力τ和内摩擦力F都是成对出现的，数值相等，方向相反。运动较慢的液层作用于运动较快的液层上的切力，其方向与运动方向相反，运动较快的液层作用于运动较慢的液层上的切力，其方向与运动方向相同（图1.2）。

为了便于说明，取一方形质点如图1.4所示。经过dt时间以后，由于各层的流速不同，该质点变为图示的虚线所示的形状和位置，这时质点的剪切变形为

变换上式为

图1.4

式中：dα/dt为单位时间的剪切变形，即剪切变形速度或剪切变形率。

由此可以得出一个有关液体的重要性质：即液体中的切应力与剪切变形速度成比例。由式（1.11）可知，变形越快，引起的切应力越大，而固体的切应力只与剪切变形的大小成比例，而与剪切变形的速度无关。

上面已经讲过，液体的黏滞性可以用动力黏滞系数μ来表示，μ越大，黏滞性作用越强，μ的数值随流体的种类不同而各不相同，并随压强和温度的变化而变化。对于常见的水、空气和气体等，μ随压强的变化不大，一般可以忽略；温度是影响μ的主要因素，温度升高时，液体的μ值降低，而气体的μ值反而增大。水的μ值可由表1.1查算，也可用式（1.12）计算：

式中：T为水的温度，以℃计；μ的单位为N·s/m²。

水力学中常用μ与密度ρ的比值来反映液体黏滞性的大小，即ν=μ/ρ，ν与温度的关系为

式中：ν称为运动黏滞系数，m²/s。

由式（1.12）和式（1.13）可以看出，μ的量纲中含有力的量纲，而力是属于动力学的量，故称μ为动力黏滞系数，ν的量纲是由运动学的物理量的量纲组成的，所以称为运动黏滞系数。

牛顿内摩擦定律可以说明以下几个问题。

（1）当流速梯度du/dy=0时，切应力τ=0，说明如果液体内部没有相对运动，就不存在切应力，或者说，液体的切应力与相对运动是同时存在的。

（2）当du/dy=∞时，τ=∞，这种情况实际上是不可能出现的，因此du/dy只能是有限值。即液体内部各质点的流速不能有突变，而应是连续变化的。要保证这一点，则液体运动必须是连续的。另外，为了保证du/dy≠∞，流速分布曲线（图1.3）下端不应与固体边界相切，否则就会在液体的边界上出现无穷大的切应力。

（3）式（1.9）中未出现压力一项，说明液层之间的内摩擦力与接触面上的压力无关，而固体之间的摩擦力是与接触面上的正压力有关的。

以τ为纵坐标，du/dy为横坐标，可得τ与du/dy的关系，如图1.5所示。由图中可以看出，牛顿内摩擦定律的τ-du/dy为直线分布，当温度一定时，图中直线的斜率即为μ，且当du/dy=0时，τ=0。所以，凡符合牛顿内摩擦定律的液体称为牛顿液体。一般的液体，如水和各种油类多属于牛顿液体。可见牛顿内摩擦定律的适应条件为牛顿液体。

除牛顿液体外，还有一些具有特殊性质的液体，它们不符合牛顿内摩擦定律，统称为非牛顿液体。例如伪塑性液体、膨胀性液体、宾汉塑性液体等。

伪塑性液体（或称剪切稀薄液体）其黏滞系数μ随du/dy的增大而减小，如图1.5所示中的b线。尼龙、橡胶、颜料、绝缘清漆、牛奶、血液、水泥浆、纸浆等属于这类液体。

膨胀性液体（或称剪切浓厚液体）其黏滞系数μ随du/dy的增大而增大，如图1.5所示中的c线。浓糖浆、悬胶溶液、浓淀粉糊、生面团等属于这种液体。

图1.5

宾汉塑性液体（或称理想塑性液体），当切应力达到某一起始值τ₀时液体才开始发生剪切变形，但其μ值不随du/dy而变化，如图1.5中的d线。塑胶、油漆、泥浆、血浆、牙膏等属于这种液体。

另外，还有一些液体的黏滞系数μ随剪切变形的时间t而变化，μ随t的增大而减小的液体称为触变性液体；μ随t的增大而增大的液体称为流变性液体。

非牛顿液体的研究属于流变学的范畴；水力学研究的对象仅限于牛顿液体。

由于液体内部存在内摩擦阻力（亦称液体阻力），在流动过程中，内摩擦阻力做功而不断消耗液体的机械能，即液体的部分机械能通过其内部的摩擦作用不断转化为热能而散逸，这种液体机械能的散耗称为液流的能量损失。因此，黏滞性是引起液流能量损失的主要根源。

由于黏滞性的存在，使液体的运动情况变得异常复杂（如液流流速分布不均匀，引起液体机械能损失等）。在分析水力学问题时，为了简化，有时不考虑液体黏滞性的存在，这种假想的没有黏滞性的液体称为理想液体；而具有黏滞性的液体称为实际液体。

【例题1.1】 有一平板在水面上以u=2m/s的速度做水平运动。已知水深h=0.01m，水温为20℃，由于平板带动水流速度按直线分布，求水作用于平板底面的切应力。

解：

例题1.1图

由水温为20℃，查得水的动力黏滞系数μ=1.005×10^-3N·s/m²，平板与底面的速度差为du=2-0=2（m/s），dy=h=0.01（m），则

τ=μ(du/dy)=1.005×10^-3×(2/0.01)=0.2(N/m²)

1.3.1.5 压缩性——体积压缩系数或弹性系数

物体在外力作用下产生变形，在除去外力后能恢复原有状态消除变形的性质称为弹性。由于液体只能承受压力，抵抗体积压缩变形，并在除去外力后能够恢复原有状态，因此，这种性质称为压缩性。实际上也可以称为弹性。简言之，液体的体积随所受压力的增大而减小的特性称为液体的压缩性。

液体压缩性的大小可以用体积压缩系数来表示。设液体原状体积为V，当所受压强（单位面积上的压力）的增量为dp时，体积增量为dV，则体积压缩系数为

式中：dV/V称为液体的相对压缩值。

β的物理意义是压强增量为一个单位时单位体积液体的压缩量。β值越大，表示液体越易压缩。因为液体体积总是随压强增大而减小，即dV为负值，为使β为正值，故上式右边取负号。β的单位为m²/N。

在工程界，往往用体积弹性系数K来表示压缩性，β的倒数称为体积弹性系数，即

K值愈大，表示液体愈难压缩。K的单位为N/m²。

又由于质量为密度与体积的乘积，液体压强的增加伴随着密度的增加，β也可看作液体密度的相对增加值与液体压强增值dp之比，即

体积弹性系数亦可表示为

液体的种类不同，压缩性也不同。同一种液体的压缩性也随温度和压强而变化，但变化甚微。水的压缩系数β和体积弹性系数K值随温度而变化的关系见表1.1。

【例题1.2】 当水温为20℃时，使作用于1.0m³的水的压强增加一个标准大气压强，求其体积缩减的百分率。

解：

已知水的体积为V=1.0m³，压强增量为dp=一个大气压=101.3kN/m²，由水温为20℃，查表1.1得体积压缩系数β=0.455×10^-9m²/N，由式（1.14）得

dV=-βVdp=-0.455×10^-9×1.0×101.3×1000=-0.461×10^-4(m³)

体积缩减百分率为

dV/V=0.461×10^-4/1.0=0.00461%

由上例可以看出，当普通水温时，每增加一个标准大气压强，水的体积仅比原体积缩减约二万分之一。可见液体的压缩性是很小的。在实用中，一般认为液体是不可压缩的，即认为液体的体积和密度不随压力而变化。水的体积弹性系数K按国际单位制可采用2.1×10⁹N/m²。

液体不可压缩，在实用上是足够精确的。但在压强变化过程非常迅速的运动现象中，就要考虑液体的压缩性。

对于气体，因分子间距比液体的大得多，分子之间的吸引力很小，可以自由运动，所以有很大的压缩性，且无固定的体积，能够充满任何大小的容器。可见液体不可压缩的特性是液体与气体物理性质之间的重要区别。

1.3.1.6 表面张力特性——表面张力系数

从物理学知道，任何物质的分子与分子之间都存在着吸引力（简称分子引力），其大小随分子间距的增大而减小。当分子间距大于某一值R时，分子引力趋于零。R称为分子的作用半径，其数量级约为10^-9m。

当液体和气体相接触时，在液面以下厚度为R的液层称为液体的表面层，如图1.6所示。表面层内的分子既受到液体内部分子的作用，又受到外部气体分子的作用。在分界面上，由于分界面两侧作用力的不平衡，常使作用面上的液体分子受到微小的分子引力，由于分子引力大于斥力，在表层沿表面方向产生张力，这种张力称为表面张力。表面张力使液体表面就像一张绷紧的弹性薄膜，有拉紧收缩的趋势。

图1.6

表面张力亦存在于液体与固体或另一种液体相接触的表面上。

液体表面张力的大小可用表面张力系数σ来量度。σ表示液体表面单位长度上所受的拉力，单位为N/m。

σ随液体种类和温度而变化。水的σ值随温度变化见表1.1，在水温为20℃时，水的表面张力系数σ=0.0736N/m，水银的表面张力系数σ=0.54N/m。

因表面张力是沿液体表面作用的拉力，当液体表面为水平时，表面张力的方向也是水平的。

图1.7

下面分析球形液面产生的附加压强。

如图1.7所示为一球帽状微小液块，设液块表面曲率半径为R，液块底面积为圆，其半径为r，周长为L=2πr，设液块微小周长dl上的表面张力dF=σdl，其水平和垂直分力分别为dF₁和dF₂，由图知

则由表面张力在液块底面产生的附加压力为

液块底面的附加压强为

由式（1.18）知，附加压强与表面张力系数成正比，与液面的曲率半径成反比。式（1.18）适用于凸形液面。对于凹形液面，表面张力有向上拉的作用，则表面张力为负值，即

因表面张力的数值不大，在一般工程问题中可以忽略，只有当液体表面曲率较大，由表面张力引起的附加压强较大时才须考虑。例如微小水滴运动，大曲率薄层水舌运动，小尺度水力模型中的水流及液体在土壤孔隙中的渗流等。

如果一根玻璃管插入盛液体的容器中，则在附加压力作用下，管中和容器中的液面将不在同一水平面，这就是毛细管现象，如图1.8所示。对于内聚力小于附着力的水，管中液面呈凹形，在负的（向上的）附加压力的作用下，管中液面将沿管上升，直至升高部分的液体重量与附加压力相平衡为止；对于内聚力大于附着力的水银，管中液面呈凸形，在正的（向下的）附加压力的作用下，管中液面将沿管下降，直至管中被排开的液体重量与附加压力相平衡为止。

设细管的半径为r，管中液面的曲率半径为R，则液面升高（或降级）值可按下列静力平衡关系求得：

Δpπr²=hπr²γ

式中：Δp为附加压强；γ为液体的重度。

因为Δp=2σ/R，R=r/cosα（α为液体与固体壁面的接触角），则Δp=2σcosα/r，于是得

图1.8

由式（1.20）可见，h与管半径r成反比，r越小，h越大。水与玻璃的接触角α≈0，水银与玻璃的接触角α≈140°。

【例题1.3】 设水的温度为20℃，测压管的半径r=0.01m，重度γ=9782.4N/m³，查表1.1得表面张力系数为σ=0.0736N/m，α≈0°，求测压管中由于毛细现象使水面升高的高度。

解：

h=2σcosα/(rγ)=2×0.0736×1.0/(0.01×9782.4)=1.505×10^-3(m)=1.505(mm)

1.3.1.7 汽化、空化与空蚀

液体分子逸出液面向空中扩散的过程称为汽化，液体汽化为蒸汽。因为在任何温度下液体中都存在一部分高速分子，当处于液体表面的高速分子一旦克服了附近分子的引力而逸出液面时，即发生汽化。液体的汽化与温度有关，当温度升高时，液体分子运动加剧，逸出液面的分子增多，汽化速度加快。当温度升高到某一数值时，汽化不仅在液面进行，而且在液体内部会涌现出大量气泡，这就是沸腾。液体沸腾时的温度称为沸点。不同种类的液体有不同的沸点。同一种液体，其沸点又与液面压强有关，压强越大，液体分子越不易逸出液面，则沸点越高；反之，压强越小，沸点越低。液体沸腾时相应的液面压强称为蒸汽压强，用p_v表示。液体的蒸汽压强随液体的种类和温度而变化，水的蒸汽压强随温度变化情况见表1.1。

液体在常温情况下，当某一局部区域的压强降低到某一临界值（一般情况下为液体的蒸汽压强）以下时，该区域液体的内部将产生一定数量的气体空泡，这种现象称为空化。当液体中发生空化时，液流的连续性遭到破坏，连续介质的假设以及建立在这一假设基础上得到的各种液体运动规律的结论将不能适用。不仅如此，在发生空化以后，当气体空泡随液流流至高压区破灭时，常常会引起该区域附近固体边界的剥蚀破坏，这种现象称为空蚀。空蚀会影响水力机械的正常运转，降低其效率；也会对水工建筑物造成破坏。

1.3.2 液体的边界

液体的边界分为固体边界和气体边界。

1.固体边界

因为液体具有易流性，一般情况下必须在一定的固体边界约束下而流动。特殊情况下的液体，如射入空中的高速射流，不受固体边界约束，边界的约束作用体现在边界对液流的作用力上。若改变边界的形状，就改变了边界对液体的运动状态。各种水利工程都是利用液体运动的这个特点，可以通过改变边界形状来改变液体的运动状态。

2.气体边界

液体与气体接触的边界称为气体边界。一般情况下，气体边界对液体运动的影响比固体边界的影响小得多。但在某些情况下，气体边界对液体运动有显著影响。例如，表面与空气接触的高速水流，由于有大量空气掺入水中，形成掺气水流，从而改变了原来纯水的运动状态。