2.5 液体的相对平衡

当盛有液体的容器绕其铅垂中心轴作等角速度运动或容器做等加速度直线运动时，液体随容器相对于地球来说在运动，但容器中的液体质点之间以及液体质点与容器壁面之间都没有相对运动，液体对于运动着的容器来说是静止的，所以称为相对静止或相对平衡。在这种情况下，尽管液体是在运动，液体的质点也具有加速度，但因为液体各相邻层之间没有相对运动，不存在切应力，液体就像“固体”在运动一样，应用理论力学中的达朗伯原理，可以假想把惯性力加在运动的液体上，而将这种运动问题作为静止问题来处理。

液体相对静止状态的典形情况有两种：一为等加速度做直线运动的容器内的静止液体；二为以等角速度绕铅垂轴旋转的容器内的静止液体。

2.5.1 等加速直线运动

图2.17

设有一水箱，沿着与水平面成α角的斜面以等加速度a做直线运动，设作用于液面的压强为p₀，为了分析方便，取与容器一起运动的坐标系，并将坐标原点选在容器内壁上，如图2.17所示。对于这个坐标系，静止液体中的单位质量力除重力外，还有与加速度方向相反的惯性力。下面分析其压强分布规律。

设单位质量力在三个坐标轴上的投影为

X=-a_x=-acosα

Y=0

Z=-a_z-g=-(asinα+g)

代入式（2.3）得

对上式积分得

下面确定积分常数，在坐标原点处，x=y=z=0时，p=p₀，代入上式得c=p₀，于是得压强的表达式为

由式（2.22）解出

令p=常数，上式给出了等压面方程。在等压面上，p₀-p=const，对上式求导得等压面的斜率为

由式（2.24）可以看出，等压面是一簇与水平面成β角的平行平面。令p=p₀，可得自由液面方程为

例题2.14图

【例题2.14】 一L形容器，充满重度为γ₀=7.85kN/m³的油，沿水平方向以加速度a=4.9m/s²作等加速运动。容器尺寸如图所示，其顶部A点处有一小孔，运动过程中油不溢出，试求：

（1）B、C、D点的压强；

（2）若令p_B=0，则所需加速度为多少？

解：

以A点为坐标原点，p_A=p_a，加速度的方向与x方向一致，由此知在x方向惯性力的方向与加速度的方向相反，单位质量力在三个方向的投影为

X=-a Y=0 Z=-g

由公式（2.3）得

dp=ρ(Xdx+Ydy+Zdz)=ρ(-adx-gdz)

对上式积分得

p=-ρ(ax+gz)+c

下面确定积分常数c，在A点，x=z=0，p_A=p_a，用相对压强，p_A=0，所以c=0，代入上式得

p=-ρ(ax+gz)

将a=4.9m/s²，g=9.8m/s²，ρ=γ₀/g=7.85/9.8代入上式得

B、C、D点的压强分别为

B点：x=1.8m，z=-1.2m

p_B=-0.801［4.9×1.8+9.8×(-1.2)］=2.355(kN/m²)

C点：x=-0.15m，z=-1.35m

p_C=-0.801［4.9×(-0.15)+9.8×(-1.35)］=11.186(kN/m²)

D点：x=-0.15m，z=0

p_D=-0.801［4.9×(-0.15)+9.8×0］=0.589(kN/m²)

若令p_B=0，则所需加速度为

p_B=-0.801［a×1.8+9.8×(-1.2)］=0

则

a=6.533(m/s²)

【例题2.15】 图示为一升船机，整体以3m/s²的等加速度沿α=30°的倾斜轨道向上运动，试求自由表面方程及其与水平面所成的角度，并求A点的压强。

解：

选坐标系如图所示。已知加速度的方向沿斜坡向上，所以惯性力方向与加速度的方向相反。则单位质量力在三个坐标轴上的投影为

例题2.15图

由式（2.3）得

对上式积分得

p=-ρ［acosαx+(asinα+g)z］+c

下面确定积分常数c，在坐标原点，x=z=0，p=p_a，所以c=p_a，代入上式得

在自由表面上，p=p_a，由上式可得自由液面方程

下面求等压面方程。在等压面上，p=常数，由式（3）得

这是一簇平行的平面，由上式可以看出，自由表面也是等压面，在此表面上，p=p_a。它们对水平面倾斜了一个角度β，此值可以通过式（5）求解，即

可见，自由表面及其他等压面均系倾斜面。

下面求A点的压强：已知a=3m/s²，α=30°，在A点，x=-5m，z=-4m，则由式（3）得A点的绝对压强为

相对压强为

p=156.19-98=58.19(kN/m²)

水面倾斜角度为

β=arctanβ=arctan0.23=12.95°

2.5.2 等角速旋转运动

图2.18所示为盛有液体的开口圆桶，设圆桶以等转速绕其铅垂轴旋转，则由于液体的黏性作用，与容器壁面接触的液体层首先被带动而旋转，并逐渐向中心发展，使所有的液体质点都绕该轴旋转，待运动稳定后，各质点都具有相同的角速度，液面形成一个漏斗形的旋转面。将坐标系取在运动着的容器上，原点取在旋转轴与自由面的交点上，z轴垂直向上。

图2.18

作为平衡问题来处理，则作用于每一液体质点上的质量力除重力外，还要考虑惯性力，其数值等于运动物体的质量与加速度的乘积。根据达朗伯原理，将惯性力加在液体质点上，方向与加速度的方向相反。对于等速圆周运动来说，液体中任一质点A（x，y，z）处的加速度为向心加速度v²/r，则离心惯性力F为

式中：m为液体质点的质量；ω为角速度，即圆桶的转速；r为该点所在位置的半径，。

单位质量的离心力F/m在x轴、y轴和z轴的投影为

X=ω²rcosα=ω²x

Y=ω²rsinα=ω²y

Z=-g

将以上各式代入静止液体的平衡方程式（2.3）得

dp=ρ(ω²xdx+ω²ydy-gdz)

对上式积分得

因为r²=x²+y²，代入上式得

由边界条件，在原点处，x=y=z=0，p=p_a，则C=p_a，由此得

以相对压强表示，则

如p为某一常数，则等压面方程为

在自由液面，p=0，故自由液面方程为

由此可见，自由液面是一个旋转抛物面。在等速旋转时，质量力为垂直方向的-g与水平方向ω²r所合成，方向倾斜。随着r的变化，水平分力改变，垂直力不变，各点质量力倾斜角度不同，但在每一点上它都是与等压面互相垂直的。

下面讨论式（2.26）的意义：从自由液面方程（2.29）可以看出，ω²r²/（2g）表示半径为r处的水面高出xoy平面的铅直距离，而在式（2.27）中，z表示任一点的垂直坐标，该点在xoy平面以上为正，在xoy平面以下为负，故［ω²r²/（2g）-z］表示任一点在自由液面以下的深度，以h表示，则式（2.26）可以写成

p=p₀+γh

其中，p₀为液面压强，当p₀=p_a 时，相对压强为

p=γh

上式的形式与重力作用下的水静力学方程式（2.7）相同，所不同的是p不仅是z的函数，而且也是x和y的函数。

【例题2.16】 如图所示的圆桶，设直径为0.6m，高0.8m，圆桶内盛满水。当圆桶以60r/min的等角速度绕其铅垂轴旋转时，求从圆桶内溢出的水量；若是桶底中心刚刚露出水面，求其角速度。

解：

已知转速为n=60r/min，r₀=0.6/2=0.3（m），则

抛物线旋转体的高度为

例题2.16图

旋转抛物面的体积为

所以从容器中溢出的水的体积为0.0256m³。

当圆桶中心露出时，z=0.8m，即

由上式解出ω=13.2rad/s，此时转速为