2.4 重力作用下的液体平衡

2.4.1 水静力学基本方程

在工程实际中，很多的液体平衡是指液体相对于地球是静止的，这种静止为绝对静止。在这种情况下，作用于液体的质量力只有重力，取z轴铅直向上为正，则单位质量力（重力）在各坐标轴上的投影分别为X=0，Y=0，，负号表示重力的方向与z的方向相反，将它们代入式 （2.3）得

dp=ρ(Xdx+Ydy+Zdz)=-ρgdz

积分上式得

p=-ρgz+C=-γz+C

式中：C为积分常数，由边界条件决定。

如在液面上，z=z₀，p=p₀，则C=p₀+γz₀，代入上式得

p=p₀+γ(z₀-z)

式中：z₀-z是由液面到液体中任一点的深度，用h表示。

则上式可以写成

式（2.7）是重力作用下的液体平衡方程，称为水静力学方程。它表明在重力作用下静止液体中任一点的静水压强p等于液面压强p₀加上该点在液面下的深度h与液体重度γ的乘积之和。用式（2.7）可以计算静止液体中任一点的压强值。

水静力学的另一个表达式可以由上面的方程p=-γz+C得来，对该式变形为

对于静止的均质液体来说，如果取图2.6所示的液体中的任意两点1、2，而1点的垂直坐标为z₁，静水压强为p₁，2点的垂直坐标为z₂，静水压强为p₂，则上式可以写成

图2.6

式（2.9）表明，当质量力只有重力时，静止液体中任何一点的两项之和z+p/γ都相等，此式适应的条件是处于绝对静止状态下的连续均质液体，对于不连续的液体上式是不能成立的。

压强的单位表示方法如下：

（1）用单位面积上的力表示。

（2）还可用大气压强的倍数、液柱高度（如水柱高度或水银柱高度）来表示。一个标准大气压相当于76cm 高的水银柱在其底部所产生的压强，水银的重度为133280N/m³，则

一个标准大气压=133280×0.76=101293（N/m²）

又1N=1/9.8kgf，所以

一个标准大气压=101293×（1/9.8）=10331.9（kgf/m²）

工程中常采用一个大气压的值为1kgf/cm²作为大气压的计量单位，称为工程大气压（at），由于一个工程大气压p_at=9.8×10⁴N/m²，水的重度γ=9800N/m³，所以一个工程大气压相当的水柱高度为h=p_at/γ=9.8×10⁴/9800=10（m）。相当于水银柱高度为

h _汞=p_at/γ_汞=9.8×10⁴/133280=0.736（m）

【例题2.2】 已知液面压强p₀=60kN/m²，液体的重度γ=8.5kN/m³，求水深h=2m处的压强。

解：

由式（2.7）得 p=p₀+γh=60+8.5×2=77（kN/m²）

例题2.3图

【例题2.3】 在大气中有一敞口连通容器，盛了重度分别为γ₁和γ₂的两种液体，如例题2.3图所示。如果γ₁=7840N/m³，γ₂=11760N/m³，液面高差h=0.3m，求高度h₁和h₂。

解：

（1）先找等压面，由等压面的性质可知，两种液体的交界面是等压面，如图中的d—d面。

（2）在等压面上左右容器的压强分别为

p_d=p_a+γ₁h₁,p_d=p_a+γ₂h₂

p_a+γ₁h₁=p_a+γ₂h₂

由图中可以看出，h₁=h+h₂，则

γ ₁(h+h₂)=γ₂h₂

由上式解出

2.4.2 绝对压强、相对压强和真空压强

从不同的基点（即计算起点）来计算压强，压强分为绝对压强和相对压强。

图2.7

以设想没有气体存在的绝对真空为零来计算的压强，称为绝对压强；绝对压强以p_abs表示；以当地大气压强为零来计算的压强称为相对压强，以p表示。由此可见，绝对压强和相对压强是按两种不同基准（即零点）计算的压强，它们之间相差一个当地大气压强。二者的关系如图2.7所示。

由物理学知道，大气也有压强，它是地面以上高达200多公里的大气层的重量在单位面积上造成的压力。其值由托里拆利实验测定。一个标准大气压相当于高为760mm的水银柱底面所产生的压强。水银柱顶上没有任何气体，所以水银面上的压强p₀=0，一个标准大气压强p_a的数值为

p_a=p₀+γ_汞h=0+133.33×0.76=101.33（kN/m²）=10.13（N/cm²）

大气压强随高程及温度而变，不同地点的大气压强并不相同，故称为当地大气压。

相对压强与绝对压强之间的关系为

当液体中某点的绝对压强小于大气压强时，水力学中认为该点存在着真空。其真空压强p_V的大小以标准大气压强和绝对压强之差来量度，即

在水工建筑物中，水流和建筑物表面均受大气压强的作用。在计算建筑物受力时，不需考虑大气压强的作用，因此常用相对压强来表示。在今后的讨论和计算中，一般都指相对压强，若用绝对压强则加以注明。如果自由表面上的压强p₀=p_a，则

绝对压强总是正值。但是，它与大气压强比较，可以大于大气压强，也可以小于大气压强。相对压强可正可负，取决于绝对压强值是大于还是小于大气压。如果p_abs>p_a，则p>0，如果p_abs<p_a，则p<0。把相对压强的正值称为正压，负值称为负压，也称为真空。由式（2.11）知，真空压强是指液体中的绝对压强小于大气压强的部分，不是指该点的绝对压强本身，而是大气压强的不足。例如某点的真空度为0.7个大气压（7m水柱），则其绝对压强实际上就是0.3个大气压（3m水柱）。也就是说，该点相对压强的绝对值就是真空压强。若用液柱高度来表示真空压强的大小，则真空度h_V为

因为一个工程大气压相当于10m水柱高，所以完全真空时p_abs=0，则最大真空度h_V=（p_at-0）/γ=10m水柱高。

为方便计，本书的大气压强采用工程大气压强，并用p_a代替p_at，如果用标准大气压强，则加以说明。

【例题2.4】 一封闭水箱，如图所示。液面上气体压强p₀=85kN/m²，求液面下淹没深度为1m处点C的绝对压强、相对压强和真空压强。如果已知点C处的相对压强为9.8kN/m²，问C点在液面下的淹没深度为多少？

解：

由式（2.10），C点的绝对压强为

p_abs=p₀+γh=85+9.8×1=94.8(kN/m²)

例题2.4图

相对压强为

p=p_abs-p_a=94.8-98=-3.2(kN/m²)

真空压强

p_V=p_a-p_abs=98-94.8=3.2(kN/m²)

已知C点的相对压强为9.8kN/m²，求C点的淹没深度

p=p_abs-p_a=p₀+γh-p_a=85+9.8×h-98=9.8(kN/m²)

h=(9.8+98-85)/9.8=2.327(m)

例题2.5图

【例题2.5】 有一底部水平侧壁倾斜的水槽，如图所示。侧壁倾角为30°，被油淹没部分壁长L=6m，自由面上的压强p_a=98kN/m²，油的重度γ=8kN/m³，问槽底板上的压强是多少？

解：

槽底板为水平面，故为等压面，底板上各处的压强相等，底板在液面下的深度为

h=Lsin30°=6×0.5=3(m)

底板上的绝对压强为p_abs=p₀+γ_h=98+8×3=122（kN/m²）

底板上的相对压强为p=p_abs-p_a=122-98=24（kN/m²）

因为底板外侧也同样受到大气压强的作用，故底板上的实际压强只有相对压强部分。

【例题2.6】 某水库的溢洪道用平板闸门控制水流，如图所示。闸门关闭时，水库水位为70m，门顶和门底高程分别为67m和60m，求门顶和门底的静水压强。

例题2.6图

解：

（1）求门顶的静水压强：

p _门顶=γh₁=9.8×（70-67）=29.4（kN/m²）

（2）求门底的静水压强：

p _门底=γh₂=9.8×（70-60）=98（kN/m²）

【例题2.7】 某点的绝对压强p_abs=73.5kN/m²，试求其相对压强和真空压强。

解：

相对压强为 p=p_abs-p_a=73.5-98=-24.5（kN/m²）

真空压强为p_V=p_a-p_abs=98-73.5=24.5（kN/m²）

2.4.3 位置水头、压强水头和测压管水头

在重力作用下静止液体的基本方程为式（2.8），即z+p/γ=C。此式表明，在重力作用下，静止液体内各点的z+p/γ为一常数。下面对z+p/γ的意义作进一步的说明：

图2.8所示为一盛有静止液体的容器，液体的重度为γ，表面压强为p_a。在容器的侧壁上开一小孔，并接一根上端开口的细玻璃管，形成测压管。无论小孔开在侧壁或底部的哪一点上，测压管中的液面都与容器内的液面齐平，如图所示。如果取某一水平面为基准面，测压管液面到基准面的高度由z+p/γ组成，z表示该点位置到基准面的高度，p/γ表示该点压强的液柱高度，在水力学中常用“水头”代替高度，所以z又叫位置水头，p/γ叫压强水头， z+p/γ叫测压管水头。

图2.8

由图2.8中可以看出

式（2.14）说明，在连续静止的液体内各点的测压管水头线都相等。

如果容器是封闭的，且液体表面上的压强p₀大于或小于大气压强p_a，则测压管中的液面就高于或低于容器内的液面，但不同点的测压管水头线仍在同一水平面上，即各测点的测压管水头线仍为常数。

如果选择的基准面不同，则位置水头z不同，因此测压管水头线的大小与所选基准面的位置有关，而压强水头则与所选基准面的位置无关。

下面说明水静力学方程式（2.14）的物理意义和几何意义。

物理意义：

由物理学可知，把重量为G的物体从基准面移到高度z后，该物体所具有的位能为Gz=mgz，对于单位重量液体来说，位能就是Gz/G=z，所以z的物理意义是：单位重量液体从某一基准面算起所具有的位能，因为是对单位位能而言，所以称为单位位能。再讨论p/γ项。如图2.8所示的点1液体重量为G，承受的静水压强为p₁，在该压强的作用下，该处的液体即被升高一个高度h₁=p₁/γ，由此可知，作用在液体上的压强也有做功的能力，所以作用的压强亦可视为该液体的一种能力，叫压能。压能的大小为Gh₁=mgh₁，而p₁/γ=h₁=Gh₁/G，所以p/γ的物理意义是：单位重量液体所具有的压能，称为单位压能。因此，液体静力学基本方程的物理意义是：在静止液体中任一点的单位位能与单位压能之和为一常数。

几何意义：

液体静力学基本方程中的各项，从量纲来看都是长度的量纲，可以用几何高度或水头来表示它的意义。所以液体静力学基本方程的几何意义是：在静止液体中，任一点的位置水头z和压强水头p/γ之和为一常数，即测压管水头z+p/γ为常数。

2.4.4 静水压强分布图

静水压强与水深成线性关系。把某一受压面上压强随水深的这种函数关系表示成图形，该图形称为静水压强分布图。静水压强分布图的绘制原则如下。

（1）按一定比例，用线段长度代表该点静水压强的大小。

（2）用箭头表示静水压强的方向，其方向垂直指向作用面。

图2.9为一静水压强分布图，因为压强p与水深h为线性关系，故在深度方向静水压强系直线分布，所以在图中只要绘出两个点的压强即可确定此直线。图中A点在自由表面，其相对压强p_A=0，B点的淹没深度为h，其相对压强p_B=γh，用带箭头的线段EB表示p_B，连接直线AE，则AEB即表示AB面上的相对压强分布图。如果考虑当地大气压强，在A点和B点分别加上当地大气压强p_a，则得GF点，则AGFB即为AB面上的绝对压强分布图。

图2.9

在实际工程中，建筑物的迎水面和背水面均受有大气压强，其作用可互相抵消，故一般只需绘制相对压强分布图。

图2.10（a）所示为一矩形平面闸门，一侧挡水，水面为大气压强，所以只需确定闸门顶、底两点的压强值，并连以直线，即可得到该剖面的压强分布图。在A点，水深为零，p_A=0，在B点，水深为h，p_B=γh。

图2.10（b）所示为一平面闸门，两侧有水，水面均为大气压强。当水深分别为h₁和h₂时，闸门上任一铅垂剖面两侧的静水压强分布图分别为三角形ABC和DBE，因闸门两侧的静水压强方向相反，将两侧压强分布图相减而得到的梯形压强分布图AFGB即为静水压强分布图。压强方向如图2.10所示。

图2.10

【例题2.8】 如图所示为某坝体内的放水洞，在洞的进口处设有矩形平板闸门，试绘出闸门上的静水压强分布图。

解：

根据静水压强分布的特点，在A点，压强p_A=γh₁，在B点，压强p_B=γh₂，压强的方向指向闸门并与闸门板垂直。绘制的压强分布如图所示。

例题2.8图

例题2.9图

【例题2.9】 有一混凝土重力坝如图所示。试绘制挡水面上的静水压强分布图。

解：

绘制步骤如下：

（1）压强分布图中压强的方向应垂直于作用面。

（2）折线上的压强分布图要以转折点B为界分段绘制。转折点B点的压强为p_B=γh_B，但p_B对AB面和BC面的作用方向不同，对AB面而言，p_B⊥AB面，对BC面而言，p_B⊥BC面。

（3）C点的压强为p_C=γh_C，且p_C⊥BC。

挡水面上的静水压强分布图如图所示。

2.4.5 静水压强的传递规律

由式（2.7）可知，液面压强p₀如有增减，则静止液体中所有各点的压强也都随之有同样大小的改变，即作用在静止液体表面上的压强将均匀地传递到液体中所有各点而不改变其值，这就是静水压强传递规律，也称帕斯卡定律。

根据这个定律，可以制成各种水力机械，如闸门的油压启闭机、水压机、油压千斤顶等。

【例题2.10】 如图所示为水压机工作原理图。水压机由两个尺寸不同而彼此连通的圆筒以及置于筒内的一对活塞组成，筒内充满着水或油。已知大小活塞的面积分别为A₂和A₁。如果施加外力F₁于面积为A₁的小活塞上，并忽略活塞的自重和与圆筒摩擦力的影响，试求大活塞所产生的力F₂。

例题2.10图

解：

在F₁作用下小活塞A₁上产生的静水压强为

p=F₁/A₁

根据帕斯卡定律，p将不变地传递到A₂上，所以

p=F₂/A₂

由以上两式可得

图2.11

2.4.6 压强的量测

在工程或实验室中，为了测量液体中某点的压强，常用各种液柱测压计或压力表来测量该点的压强。下面介绍常用的测压计和压力表。

1.测压管

测压管实际上就是一根玻璃管，管的上端开口，与大气相通，管的下端与需要量测压强的点相连，如图2.11中的A与B所示。

如果要测量A点和B点的压强，只要将测压管与A点和B点相连，玻璃管中的液柱高度h_A和h_B即表示容器中A点和B点的压强水头，A点和B点的压强用下式计算

测压管的直径一般为10mm左右。

测压管只适应测量较小的压强，要测量较大的压强，测压管过长，应用不方便，所以经常采用U形水银测压计测量较大的压强。

2.U形水银测压计

图2.12

U形水银测压计内盛装水银，它的一端与大气相通，另一端与测点连接，如图2.12所示。如容器中A点的液体压强大于大气压强，则点A的压强为

3.压差计

有时需要测量的只是液体中两点的压强差，可用压差计（也称比压计或差压计）直接测量，压差计可分为空气压差计、油压差计和水银压差计。

图2.13所示为一种空气压差计，U形管上部充以空气，下部两端用橡皮管连接到容器中需要测量的1、2两点。如果1、2两点的压强不相等，则U形管中的液面高度不同，形成液面差Δh，因空气的重量很小，可以认为两管的液面压强相等，都是p₀，于是有

p ₁=p₀+γ(Δh+y-a)

p ₂=p₀+γy

由以上两式得

在测得Δh和a后，即可求出1、2两点的压强差。

图2.13

图2.14

当测量的压强差较小时，为了提高量测精度，可将压差计倾斜放置某一角度，如图2.14所示。用倾斜压差计量测的两点的压强差为

为了测量更小的压强差，可将图2.13所示的压差计内的空气换成重度更小的另一种液体（如油类），则按同样的方法可求得1、2两点的压强差为

式中：γ′为另一种液体的重度。

当所测量的压差较大时，可用U形水银压差计，如图2.15所示。在U形管中充以水银，根据等压面原理，断面1—1为等压面，可得

左面：p₁=p_A+γz_A+γΔh=p_A+γ（z_A+Δh）

右面：p₁=p_B+γz_B+γ_汞Δh

如果A、B两点在同一水平面上，则

图2.15

图2.16

4.真空计

真空计是测量真空值的仪器，如图2.16所示。如果容器A中液面压强小于大气压强，由于真空作用而将容器B内的水吸上一高度h_V，则液面压强p₀=p_A=p_abs-γh_V=p_a-γh_V，由此得式（2.13），即h_V=（p_a-p₀）/γ。

5.压力表和真空表

以上介绍的是液柱式测压计，优点是测量精确度较高，缺点是量测范围较小，携带不便，多在实验室中使用。

除液柱式测压计外，还有压力表。压力表是利用待测压力与金属弹性元件变形成比例的原理来测量压力的。压力表量程较大，一般用kN/m²作为压强的单位，其值为相对压强。

真空表的工作原理与压力表的相同，表盘读数单位常用N/m²表示。

【例题2.11】 如图所示为两个盛水容器，其测压管中的液面分别高于和低于容器中液面高度h=2m，试求这两种情况下的液面绝对压强p₀。

解：

（1）对于图（a），有

p ₀=p_a+γh=98+9.8×2=117.6(kN/m²)

（2）对于图（b），有

p ₀=p_a-γh=98-9.8×2=78.4(kN/m²)

【例题2.12】 有两个盛水容器如图所示，今要测两容器中同高的1、2两点的压强差，为此，将水银压差计与两容器接通，由于压强不等，使两个水银面呈高差Δh。已知水的重度为γ_w=9.8kN/m³，水银的重度为γ_汞=133.28kN/m³，Δh=0.12m，试求1、2两点的压强差Δp=p₁-p₂。

解：

由图中可以看出，N—N面为等压面。则左面

例题2.11图

例题2.12图

p_N=p₁+γh₁

右面：p_N=p₂+γh₂+γ_汞Δh

由以上两式得 p₁-p₂=γ（h₂-h₁）+γ_汞Δh

又因为Δh=h₁-h₂

所以 Δp=p₁-p₂=（γ_汞-γ）Δh=（133.28-9.8）×0.12=14.82（kN/m²）

例题2.13图

【例题2.13】 如图所示为两个容器A和B，由一倒形压差计连接。已知左边管内液体的重度为γ₁，右边管内液体的重度为γ₂，压差计中液体的重度为γ₃，试建立A和B两点间压差的计算公式。如果左管中液体的比重S₁=0.9，右管内液体的比重S₂=1，差压计中液体的比重S₃=0.8，两容器之间的高差z=0.05m，h_A=0.25m，h_B=0.4m，Δh=0.25m，试求A和B两点间的压强差。

解：

（1）建立A和B两点间压差的计算公式。由图中可以看出，N—N为等压面，左面有

（2）求A和B两点间的压强差。已知γ₁=γS₁=9.8×0.9=8.82（kN/m³），γ₂=γS₂=9.8×1=9.8（kN/m³），γ₃=γS₃=9.8×0.8=7.84（kN/m³），h_A=0.25m，z=0.05m，h_B=0.4m，Δh=0.25m，代入式（6）得