2.2 车辆模态参数识别方法

2.2.1 SVM方法

1990年，Zhang Nong和HAYAMA Shinjin提出了一种基于状态变量法的模态参数识别方法（State Variable Method，SVM），可准确识别结构系统的模态参数。一般来说，对于n自由度系统的自由振动微分方程可以用以下方程描述

式中，M、C和K分别为n×n维的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；X、和分别为n×1维的位移向量、速度向量和加速度向量。

引入状态变量，则式（2-1）改写为

其中A为2n×2n维的系统状态矩阵

式中，O为n×n维的零向量；I为n×n维的单位矩阵。

将连续微分方程（2-2）离散化得到以下差分方程

其中

式中，X（k）、X（k+1）和X（k+2）分别表示t=kΔT、（k+1）ΔT和（k+2）ΔT时刻的位移响应；ΔT表示时间间隔。A₁为离散系统的传递矩阵

为了获得离散系统的传递矩阵A₁，构造以下信号矩阵方程

其中Φ和Φ为信号矩阵，具体表达式如下

表示由噪声引起的误差矩阵。利用最小二乘方法求解式（2-8）可以得到传递矩阵A₁为

一旦获得传递矩阵A₁，利用传递矩阵与状态矩阵的关系可得

式中，z_i和P_i表示传递矩阵A₁的特征值和特征向量；s_i和Φ_i表示状态矩阵A的特征值和特征向量。则系统的无阻尼固有频率ω_ni和阻尼比ζ_i分别为

状态方程（2-2）的解可用模态矩阵和特征值表示为

其中P为模态矩阵，s_i（i=1，2，…，2n）为状态矩阵A的特征值

其中Y₀为初值。则式（2-14）可用分量形式表示为

则第j的振型P_j为

归一化后的振型为

其中P_m=max（P_1j，P_2j，…，P_nj）。

2.2.2 SSI方法

一个n自由度系统受迫振动的微分方程和系统的输出方程可以用以下方程表示

其中X、和X分别为系统的位移向量、速度向量和加速度向量；M、C和K∈R^n×n分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；B∈R^n×s为系统外部激励作用的位置矩阵；u（t）∈R^s×1为s个输入系统的外部激励；Z（t）∈R^l×1为l个输出系统的观测量；C_a、C_v和C_d∈R^l×n分别为系统的位移向量、速度向量和加速度向量的输出矩阵。引入状态变量，则振动微分方程（2-19）和输出方程（2-20）变为

其中

将式（2-21）和式（2-22）离散化，得到以下离散的状态空间方程组

其中

在实际测试过程中存在过程噪声和测量噪声的影响。过程噪声主要由模型误差和外部输入的干扰引起，而测量噪声主要由传感器精度不够和测量环境对传感器的影响造成。如果在确定型离散状态空间模型中考虑噪声的影响，可以得到确定-随机的混合型离散状态空间模型

其中w（k）∈R^n×1表示过程噪声向量；υ（k）∈R^l×1表示测量噪声向量。w（k）和υ（k）为互不相关的零均值平稳白噪声系列，且

其中E（·）表示数学期望；δ_ij为Kronecker函数，有

对于桥梁、高层建筑等大型结构的模态参数识别，一般直接利用环境激励引起的结构响应信号进行模态参数识别。在环境激励作用下，系统的输入信号u（t）难以通过测量得到，在确定-随机混合型的离散状态空间模型中可以将外部激励合并到w（k）和υ（k）中考虑，则得到以下的随机型离散状态空间模型

以随机型离散状态空间模型为例介绍随机子空间法的基本原理。利用响应信号定义Hankel矩阵为

其中H∈R^2il×j矩阵，一般来说j是一个很大的自然数。将Hankel矩阵分块表示为

式中，Z_p对应Hankel矩阵中前面i个行块元素组成的分块矩阵，表示Hankel矩阵“过去”的行空间；Z_f对应Hankel矩阵中后面i个行块元素组成的分块矩阵，表示Hankel矩阵“将来”的行空间。另外Hankel矩阵还可以按以下的不同方式进行分块。

式中，表示“过去”行空间Z_p在Hankel矩阵中多取一行元素；表示“将来”行空间Z_f在Hankel矩阵中少取一行元素。在系统的参数辨识过程中，需将“将来”行空间的信息投影到“过去”行空间的信息，得到的投影矩阵既保留了响应的“过去”信息，还能预测响应的“将来”信息。投影矩阵O_i和O_i-1分别定义为

式中，符号“†”表示矩阵的广义逆。在计算投影矩阵过程中，由于Hankel矩阵的维数大，若直接利用Hankel矩阵的数据计算投影矩阵其计算量非常大，因此通常利用QR分解方法减少其计算量。将Hankel矩阵用QR分解表示为

式中，Q矩阵满足Q^TQ=I，R为下三角矩阵。则

同理

式中，矩阵的下标[i:j,:]表示矩阵的第i个行块到第j个行块的元素组成的分块矩阵；矩阵的下标[i:j,m:n]表示矩阵的第i个行块到第j个行块，第m个列块到第n个列块的元素组成的分块矩阵。利用奇异值分解将投影矩阵O_i表示为

其中UU^T=I，VV^T=I，分别定义可观测矩阵Γ_i和状态估计向量为

则投影矩阵O_i可以用可观矩阵Γ_i和状态估计向量表示为

同理

式中，Γ_i-1表示Γ_i去掉最后一个行块元素得到的可观测矩阵。而状态估计向量和可由式（2-45）和式（2-46）求解获得，即

由状态空间方程可得

式中，Z_i|i为Hankel矩阵中由第i+1个行块的元素组成的分块矩阵；ρ_w和ρ_v为与状态估计向量无关的卡尔曼滤波残量。利用最小二乘法可以计算系统的传递矩阵A₁和输出矩阵C₁为

将传递矩阵A₁用特征值分解表示为

式中，Λ和Ψ分别为传递矩阵A₁的特征值矩阵和特征向量矩阵，则系统的无阻尼固有频率ω_ni和阻尼比ζ_i分别为

系统的振型为

如何定阶是SSI方法的关键问题。在实际应用中，由于噪声的干扰，造成SVD分解投影矩阵O_i得到的对角矩阵S的元素不存在明显的跳跃，难以通过观察对角矩阵S的跳跃点对模型进行定阶。稳定图是一个比较有效的模型定阶方法。由于系统的特征值是共轭成对出现，可假设模型的阶数n依次在最小阶数n_min和最大阶数n_max之间取偶数，可用分别计算n阶模型的可观矩阵，利用式（2-47）和式（2-48）计算状态估计量和，再由式（2-50）估计传递矩阵A₁和输出矩阵C，由传递矩阵A₁可计算n阶模型的固有频率、阻尼比和振型Ψⁿ。利用以下关系判断模态参数是否稳定

其中、和Ψ^n-2为（n-2）阶模型的固有频率、阻尼比和振型；ε₁、ε₂和ε₃分别表示频率稳定阈值、阻尼比稳定阈值和振型稳定阈值。最后以频率为横坐标，阶次为纵坐标，将所有稳定的频率绘制在稳定图上。