1.3 计算机中的数值表示

1.3.1 机器数和真值

1.机器数

一个数在计算机中的二进制表示形式，称为该数的机器数。机器数是带符号数，数的最高位存放符号，正数为0，负数为1。

如计算机字长为8位，十进制数+3转换成二进制就是00000011；如果是十进制数-3，则转换成二进制为10000011。此时的00000011和10000011就是机器数。

2.真值

因为机器数的第一位是符号位，所以其形式值不等于真正的数值。如上面的带符号数10000011，其最高位1代表负，其真正数值是-3而不是形式值131（10000011转换成十进制等于131）。所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。

例如，00000001的真值=+0000001=+1，10000001的真值=-0000001=-1

1.3.2 原码、反码、补码

在计算机中，对一个数进行存储要使用一定的编码方式。机器存储一个具体数字的编码方式包括原码、反码、补码。

1.原码

原码就是符号位加上真值的绝对值，即用第一位表示符号，其余位表示值。如8位二进制数为

[+1]_原=00000001 [-1]_原=10000001

因为第一位是符号位，所以8位二进制数的取值范围就是

[11111111, 01111111]，即[-127,127]。

原码是我们最容易理解和计算的表示方式。

2.反码

反码的表示方法：正数的反码是其本身；负数的反码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各位取反。举例如下。

[+1]=[00000001]_原=[00000001]_反 [-1]=[10000001]_原=[11111110]_反如果一个反码表示的是负数，我们无法直观地看出它的数值，通常要将其转换成原码再计算其数值。

3. 补码

补码的表示方法：正数的补码是其本身；负数的补码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各位取反，最低位加1（即在反码的基础上加1）。

[+1]=[00000001]_原=[00000001]_反=[00000001]_补

[-1]=[10000001]_原=[11111110]_反=[11111111]_补

对于一个补码表示的负数，我们也无法直观地看出其数值，通常也需要将其转换成原码再计算其数值。

1.3.3 原码、反码、补码的关系

计算机可以用3种编码方式表示一个数。对于正数，3种编码方式的结果都相同；对于负数，原码、反码和补码完全不同。

原码是可被人脑直接识别并用于计算的表示方法，为何还设计反码和补码？

在计算时，我们会根据符号位，选择对真值区域进行加减。但对于计算机，加法、减法、乘法已经是最基础的运算，需要尽量简单的设计，而让计算机辨别符号位会使计算机的基础电路设计变得十分复杂，于是有了让符号位也参与运算的方法。根据运算法则，减去一个正数等于加上一个负数，即1-1=1+(-1)=0，所以机器可以只有加法而没有减法，使计算机的运算设计更加简单。但如果用原码表示，让符号位参与计算，减法将会出错，所以计算机内部不使用原码表示一个数。为了解决原码做减法出错的问题，出现了反码。

例如计算十进制的表达式1-1=0。

1-1=1+(-1)=[00000001]_原+[10000001]_原=[00000001]_反+[11111110]_反=[11111111]_反=[10000000]_原=-0

用反码来计算减法，方案可行，但在“0”这个特殊的数值上，会出现+0和-0以及[00000000]_原和[10000000]_原两个编码。补码的出现，解决了“0”的符号以及两个编码的问题，具体如下。

1-1=1+(-1)=[00000001]_原+[10000001]_原=[00000001]_补+[11111111]_补=[00000000]_补=[00000000]_原

0用[00000000]_补表示，没有了-0的问题，而且可以用[10000000]_补表示-128。

(-1)+(-127)=[10000001]_原+[11111111]_原=[11111111]_补+[10000001]_补=[10000000]_补

-1-127的结果应该是-128，用补码方式运算后，[10000000]_补就是-128。但需注意，因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128，所以-128并没有原码和反码表示。（对-128的补码表示[1000 0000]_补算出来的原码是[00000000]_原，这是不正确的）。

使用补码不仅解决了0的符号以及存在两个编码的问题，而且还能够多表示一个最低数，这就是为什么8位二进制，使用原码或反码表示的范围为[-127, +127]，而使用补码表示的范围为[-128, 127]。编程中常用的32位int类型，可以表示的范围是[-2³¹, 2³¹-1]。