1.2 数制的转换、运算与编码

数字可以用不同的基数表示，如十进制数356 = 6 + 50 + 300 = 6×10⁰ + 5×10¹ +3×10²，356的基数为10，这是较常见的十进制。

通常，数字可以表示为(a₅ a₄ a₃ a₂ a₁ a₀ .a_-1 a_-2 a_-3)_r，其中r是数字的基数，a_i必须小于r。

式（1-1）可将给定基数的数字转换为十进制数

【例1-1】 将(27.35)₈转换为十进制数。

(27.35)₈= 7 ×8⁰ + 2 × 8 ¹+ 3 × 8^-1 + 5 × 8^-2 = 7 + 16 +0.375 +0.078125 =(23.453 125)₁₀

【例1-2】 将(1101111)₂转换为十进制数。

(1101111)₂=1×2⁰+1×2¹+1×2²+1×2³+0×2⁴+1×2⁵+1×2⁶=1+2+4+8+32+64=(111)₁₀

1.二进制与十进制的转换

（1）二进制数转换为十进制数

式（1-2）代表任意二进制数。

其中，a_i为二进制数或位（0或1），式（1-2）可以通过式（1-1）转换为十进制数为

【例1-3】 将(110111.101)₂转换为十进制数。

(110111.101)₂=1×2⁰+1×2¹+1×2²+0×2³+1×2⁴+1×2⁵+1×2^-1+0×2^-2+1×2^-3=(55.625)₁₀

或

二进制数是基数为2的数，由0和1表示。二进制数字0或1，称为比特。8位为一个字节，不同的计算机系统对字的定义不同，在8086微机系统中，4个字节为一个字。

（2）十进制整数转换为二进制数

将十进制整数转换为二进制数，需将整数部分不断地除以2（2表示二进制基数），得到一个商数和一个余数（0或1），直到被除数的商数变为0为止。第一个余数是二进制数的最低有效位。

【例1-4】 将十进制数34转换为二进制数。

因此，(34)₁₀=(100010)₂

（3）十进制小数转换为二进制数

十进制数字表示为(0.XY)₁₀，可以转换成基数为2的表示式为(0.a_-1 a_-2 a_-3…)₂。

小数乘以2，取整数部分为a_-1，分数部分继续乘以2，分离出整数部分为a_-2，持续该过程直到被乘数为零或达到所需的精度为止。

【例1-5】 将十进制数0.35转换为二进制数。

则(0.35)₁₀ = (0.01011)₂

十六进制的基数为16，具有16个码元（0～9及A～F）。表1-1为十进制数对应的二进制和十六进制等效值。

表1-1 十进制数对应的二进制和十六进制等效值

2.二进制与十六进制的转换

表1-1可用于十六进制与二进制之间的相互转换。

【例1-6】 将(001010011010)₂转换为十六进制数。

从右向左每4位为一组，通过使用表1-1，每个4位组可以转换为其十六进制等效值。

则得到的十六进制数是(29A)₁₆。

【例1-7】 将(3D5)₁₆转换为二进制数。

通过使用表1-1，二进制的结果是

得到的二进制数是(001111010101)₂。