第一章　综艺秀里的悖论

简单的概率，颠覆你的思考逻辑

在深入物理世界之前，我想先用几个简单有趣却又令人受挫的脑力激荡暖个身，慢慢带领读者入门。以下的例子与本书其余章节的共同之处在于，它们都不是真正的悖论，只要细心思考即可破解。不同于往后各章的悖论需要相关的物理基本知识，本章所探讨的只是一些逻辑方面的益智游戏而已，不需任何科学背景即可解答。其中最后一个也是最有趣的一个，称为蒙提霍尔悖论（Monty Hall Paradox），由于它特别令人困惑，我将使用较多的篇幅以数种不同方法来分析这个问题，让读者自行选择最容易接受的答案。

本章所有悖论都属于听起来有点拗口的“似非而是的悖论”与“似是而非的悖论”其中一种。

“似非而是的悖论”所带来的结论因为有违常理而与直觉相抵触，然而透过看似简单（其实却不然）的仔细逻辑推理，就能证明其结论为真。事实上，整个过程的乐趣就在于，试图找出最令人信服的证明方法——尽管感觉其中有诈的不自在感一直挥之不去。稍后将讨论到的生日悖论（Birthday Paradox）以及蒙提霍尔悖论都属于此类。

“似是而非的悖论”则是从完全合理的陈述出发，却峰回路转得出离谱的结论。与“似非而是的悖论”不同之处在于，推理过程中某些步骤无形中产生误导或谬误，所以这些荒谬的结论为伪。

透过几个演算步骤而得证，诸如“2=1”这类的数学把戏，正是“似是而非的悖论”的范例——没有任何逻辑推理或哲学辩证能够令人相信这个结论为真。有鉴于各位读者不见得像我这么热爱数学，我也不愿意用数学计算来打击大家，因此本书将不会深入这些细节。一言以蔽之，这些运算过程通常牵涉将某个数字零除的步骤，而这正是任何自重的数学家都知道要不计代价去避免的。相反地，我将专注于几个只需基本数学能力就能鉴赏玩味的问题。首先登场的是两个著名的“似是而非的悖论”：“消失的一块钱之谜”（The Riddle of the Missing Dollar）与“贝特朗箱子悖论”（Bertrand's Box Paradox）。

 

消失的一块钱之谜

这是我几年前在名为《心灵游戏》的电视猜谜节目中担任来宾时，用过的一个精采难题——当然，我并不是第一个想出这个问题的人。这个节目的内容是，每周来宾们彼此竞赛解答数学家主持人马可斯·杜·索托伊教授提出的问题。除此之外，来宾也会各自带来最喜欢的难题来挑战对手。

问题如下：

三位旅客到某家旅馆投宿。年轻的柜台接待员给他们一间有三张床的房间，收费30元。他们协议平分住宿费用，每人支付10元之后，便拿了钥匙进房间安置行李。几分钟之后，柜台接待员发现自己弄错了，旅馆这一个礼拜正好有特价促销活动，他应该只收他们25元。为了避免被旅馆经理找麻烦，他立刻从收款机中取出5块钱，并且赶紧上楼去弥补他所犯的过错。在前往旅客房间的路上，他想到5元无法由三个人平分，于是决定退给每位旅客一元，自己留下两块钱。他自认为这是个让每个人都满意的好办法。以下是我们要解决的问题：每位旅客为他们的住宿各付出9元，总计占了原本旅馆收费30元当中的27元，另外两元被接待员拿走，那么30元里的最后一元哪里去了呢？

也许聪明的读者一眼就看出这个问题的解答。不过当我第一次碰到这个问题时，当然没这么厉害啰！在继续读下去之前，我愿意让你花点时间想想看。

想出来了没？你瞧，是因为叙述上的误导才使得这个问题听起来自相矛盾。推理过程出错之处在于：将客人付的27元与接待员拿走的两元加总在一起——这样算根本毫无道理，因为总金额已经不再是30元。接待员拿走的两元要从旅客支付的27元当中扣掉，所以收款机里的总金额应该是25元才对。

 

贝特朗箱子悖论

“似是而非的悖论”的第二个例子由19世纪法国数学家约瑟夫·贝特朗提出。（他最著名的悖论并不是这个，而且比这个更需要数学专业。）

有三个箱子，每个箱子里各有两枚硬币，放置方式如下：每个箱子都隔成两半；每一半各放一枚硬币，而且盖子可以单独打开来查看里头的硬币种类（但不允许查看另一枚）。第一个箱子里放了两枚金币（代号GG），第二个箱子里放了两枚银币（代号SS），第三个箱子则有金币和银币各一枚（代号GS）。请问你选到内有金币跟银币的箱子概率有多少？答案的确很简单：三分之一。这一点都不难。接着，随机挑选一个箱子。如果打开半边的盖子发现里面是金币，这个箱子是GS箱的概率有多少？在发现一枚金币的当下，你已经知道这个箱子不可能是SS箱，排除之后只剩两种可能性：GG箱或GS箱。因此它是GS箱的概率是二分之一，对吧？

假如打开盖子出现的是银币，我们就可以排除GG箱的选项，剩下的只有SS 箱或GS箱两种可能，所以选到GS箱的机会依然是二分之一。

由于打开选定的盖子出现的不是金币就是银币，而且每种硬币各有三枚，若两者出现的概率相同，那么不论出现何种硬币，你都有一半的概率选中GS箱。也就是说，往某个箱子的其中半边瞧了一眼之后，选中GS箱的整体概率竟然从一开始的三分之一变成二分之一。可是，只不过才瞧了某个硬币一眼，怎么会使概率产生这么大的变化？如果随机选出一个箱子，打开其中一个盖子之前，你知道选出的箱子有三分之一概率是GS箱；仅仅凭着看到其中一枚硬币，究竟是怎么使得概率从三分之一突然变成二分之一的？毕竟这个动作并不会带来新的信息，你心里明白，出现的不是金币就是银币。究竟哪里出问题了呢？

 

正确答案是，不论是否查看其中一枚硬币，选到GS箱的概率一直都是三分之一，而非二分之一。首先考虑从箱子里找到一枚金币的情况：金币共三枚，姑且称他们为G1， G2和G3。假设GG箱里放的是G1和G2， G3在GS箱里。如果你打开其中一个箱盖并且发现一枚金币，那么你有三分之二的概率打开的是GG箱，因为看到的金币可能是G1或G2。这枚金币是G3的概率只有三分之一，与你选中GS箱的概率一样。

 

生日悖论

这是最著名的“似非而是的悖论”之一。不同于前两个例子，这种悖论不耍花招，没有逻辑推理上的谬误，也不使用叙述上的障眼法。我必须强调，不论读者是否相信其解答，它在数学与逻辑上都是完全正确的，并且具有一致性。这种面对问题的挫败感在某种程度上提高了破解此悖论的乐趣。

以下是生日悖论的表述：

你认为房间里至少要有多少人，才能让其中任意两人同一天生日的概率超过一半——也就是说，任意两人生日相同的概率比不同来得高？

先让我们运用直观的常识（当然稍后会证明是错的）。一年有365天，可以想象成大讲堂里有365个空座位。 100位学生进入讲堂，每个人随机选了一个座位。有些人可能想跟朋友坐在一起；有些人喜欢最后一排的隐蔽性，让他们可以在课堂中打瞌睡不被发现；较多学生则选择离讲台较近的位置。不过他们坐在哪里并不重要，因为超过三分之二的座位仍然空着。当然，没有学生会去坐已经有人的座位，而我们总觉得讲堂里有这么多座位，两位学生抢同一个位置的机会相当微小。

如果将这种常识性的思维方式应用到生日问题上，我们可能会认为，在可选的生日与座位一样多的情况下，这100位学生当中任何人跟别人同一天生日的机会也一样微小。当然，难免有少数一起过生日的死党，但我们觉得发生的可能性比不发生来得低。

如果换成一群为数366人的学生（先不管闰年），很自然地，不须多作解释就很清楚，我们可以确定至少有两个人生日在同一天。当学生人数逐渐减少，情况却开始变得有趣起来。

以下所述也许会让读者感到不可思议——事实上，房间里只需要57个人，就可以让任意两人同一天生日的概率超过99％。也就是说，只要57个人，就几乎能确定其中有两个人同一天生日！这个答案听起真是令人难以置信。若只针对问题来回答，任意两人生日相同的可能性比不同还高（也就是概率超过一半）所需的人数则远低于57。事实上，只要23个人就足够了！

多数人初次听到这个答案莫不大吃一惊，甚至在确认过解答的正确性之后依旧感到浑身不自在，这在直觉上的确太令人难以接受了。我们接着来详细探讨其中的数学，我会尽可能将它说清楚。

我们首先假定一些预设条件，尽量使问题简化：排除闰年、一年中每一天作为生日的概率都相同、房间里没有双胞胎。

许多人所犯的错误在于，他们认为这个问题是两个数字之间做比较：房间里的人数与一年中的天数。由于共有365天可作为这23人的生日，避开彼此生日的机会似乎远比撞在一起来得高。但是这种看待问题的方式却造成误导。试想，为了能让两个人的生日在同一天，我们需要的是成对的人，而非单独的个体；因此应该考虑的是不同配对方式的总数。首先从最简单的状况出发：如果只有三个人，那么总共有三种不同的配对：Ａ—Ｂ，Ａ—Ｃ，Ｂ—Ｃ。若是四个人，配对的可能性增加到六种：Ａ—Ｂ，Ａ—Ｃ，Ａ—Ｄ，Ｂ—Ｃ，Ｂ—Ｄ，Ｃ—Ｄ。当总人数达到23人时，我们发现总共有253种不同的配对方式1。到这里读者是否发现，相较于原本的答案，要相信这253种双人组合其中一组的生日刚好是365 个日期之一，是否变得简单多了呢？

计算这个概率的正确方法是：从一组配对开始，逐渐增加人数，并且观察生日相同的概率如何变化。这个方法的诀窍在于，我们直接计算的并非新加入者与别人一同过生日的概率，而是避开所有其他人生日的概率。如此一来，第二个人避开第一个人生日的概率就是364÷365，因为他可以在一年中头一个人生日以外的任何一天出生。第三人与前两人生日错开的概率是363÷365。然而别忘了前两人仍得避开同一天生日（有364÷365的机会）；在概率论里，如果我们想知道两个独立事件同时发生的概率，就得将第一个事件出现的概率乘上第二个事件的概率。因此，第二人避开第一人生日，以及第三人同时避开前两者生日的概率，就是：（364／365）×（363／365）＝ 0.9918。最后，如果以上结果是三个人生日完全错开的概率，那么其中任意两人生日相同的概率就是1－0.9918 ＝ 0.0082。在只有三个人的情况下，生日出现在同一天的机会非常微小，正如读者所预期。

接着继续进行相同的步骤——逐一增加人数，建立一串连乘的分数算出所有人错开彼此生日的概率，直到总乘积低于0.5 （也就是50％）为止。这时候就会得到任意两人生日相同概率超过50％所需的人数。我们发现，只需要22个分数连乘就可以让总乘积小于0.5，也就是23个人：

 

 

←23个分数连续相乘→

于是房间里任意两人生日在同一天的概率便为：

1－0.4927 ＝ 0.5073 ＝ 50.73%

解开这个难题需要一些概率论的知识。相较之下，下一个悖论就某些方面来说较为浅显易懂，而我认为这点更令它显得不可思议。这是我最喜欢的“似非而是的悖论”，因为它的陈述是如此简单，如此容易解释，却又难以透彻理解。

 

蒙提霍尔悖论

这个难题可追根溯源至贝特朗箱子悖论，它同时也是阐释“条件概率”的典型范例之一。这个悖论的基础是另一个较早期的问题，称为“三个囚犯问题”，由美国数学家马丁·加德纳于1959年在其《科学美国人》杂志的“数学游戏”专栏里提出。而蒙提霍尔悖论是我觉得更好、更清晰易懂的改编版本。这个难题最初是历久不衰的美国电视游戏节目《我们来做个买卖》里的一个游戏脚本，该节目是由超人气、加拿大裔的蒙地·霍尔（Monte Hall）所主持，因此被冠以此名。他在踏入综艺界之后改名叫蒙提（Monty）。

史蒂夫·谢尔文是美国统计学家，担任加州大学伯克利分校教授一职。他同时也是著名的教育家，曾因卓越的教学与对学生的优异指导而获奖。身为一名学者，他的专长是数学在医药方面的应用，特别是生物统计领域。然而他之所以举世闻名却不是归功于重要的学术成就，而是因为所撰写的一篇关于蒙提霍尔悖论的有趣文章。这篇文章发表于学术期刊《美国统计学人》 1975年2月号，只有半页篇幅。

谢尔文也许从来没有想过他的短文会带来如此大的回响，毕竟《美国统计学人》是一本专门期刊，主要读者为学术研究与教育人员。事实也是如此——足足过了15年，这个由他提出并加以解决的问题才广为人知。 1990年9月，号称发行量高达数千万份的美国周刊《大观杂志》的一位读者，向杂志里的专栏《玛丽莲答客问》提出一个问题。玛丽莲·沃斯·莎凡特负责在这个专栏回答读者提出的各种问题，包括数学益智问题、脑筋急转弯、逻辑机智问答等。莎凡特在1980年代中期因为跻身吉尼斯世界纪录中的智商纪录保持人（测验结果为185）而成名。提问的读者名叫克雷格·F. 惠塔克，他向莎凡特提出的问题基本上是谢尔文“蒙提霍尔悖论”的改编版。接下来的发展则让人始料未及。

这个问题与莎凡特的答复在《大观杂志》刊出之后，引起举国、甚至举世的注意。她的解答彻底违背直觉，却跟谢尔文原本的答案一样，完全正确。不过该杂志随即收到众多恼怒的数学家来函，迫不及待想证明她的错误。以下段落摘录自其中三封信：

身为一位专业的数学家，我对于一般大众缺乏数学技能感到非常忧心。请帮帮忙：承认你的错误，以后更小心一点。

你搞砸了，而且是在全国读者面前！看来你连当中的基本原理都没弄懂……这个国家的数学文盲已经够多了，我们不需要全世界智商最高的人为我们制造出更多。真丢脸！

在你再度回答这类的问题之前，建议你先找一本概率论教科书读一读，好吗？

我非常惊讶，在被三位以上的数学家纠正之后，你竟然还弄不清楚自己错在哪里。

也许女人看待数学的方式跟男人不同吧。

怒气冲天的人还真不少，然而随后的局面却令他们颜面无光。莎凡特在稍后发行的杂志中重新检视这个问题，她坚守立场，并为其解答提出清晰明确的解释与结论——正如读者预期一位智商185的人会做的事。整个故事最终登上《纽约时报》的头版，而争论依旧如火如荼地进行。

也许上述故事让各位读者开始觉得这个悖论甚为困难，只有天才才能破解。其实不然；有许多简单的方法能够加以解释，网络上也充斥各类讨论文章与部落格，甚至还有YouTube影片。

不论如何，暂且让揶揄与讲古在此打住，我们直接进入主题吧。我认为最好的方式乃是引述谢尔文刊登于1975年《美国统计学人》充满趣味的原文：

一个关于概率的问题以下出自《我们来做个买卖》，由蒙提·霍尔主持的著名电视秀节目。

蒙提·霍尔：这里有三个标记为A、 B、 C的盒子，其中一个里面有1975年出厂、全新的林肯·大陆汽车的钥匙，另外两个是空的。如果你选中的盒子里有钥匙，就能赢得这部汽车！

参赛者：（倒吸一口气）！

蒙提·霍尔：请挑选一个盒子。

参赛者：我选盒子B。

蒙提·霍尔：现在桌上有盒子A和C，然后这是盒子B （被参赛者紧紧抓住），汽车钥匙有可能就在这个盒子里！我出一百美元换你的盒子。

参赛者：不要，谢谢。

蒙提·霍尔：两百美元如何？

参赛者：不行！

观众：不要！

蒙提·霍尔：别忘了钥匙在你盒子里的概率是三分之一，盒子是空的概率则是三分之二。我出五百美元跟你换。

观众：不要！！

参赛者：不，我想保留这个盒子。

蒙提·霍尔：我来帮你打开桌上其中一个盒子（打开盒子A）。这盒子是空的！（观众鼓掌）。现在，车钥匙不是在盒子C、就是在你手上的盒子B里。既然只剩两个盒子，钥匙在你选的盒子里概率就变成二分之一了。我愿意出一千美元换你的盒子。

慢着！！！

蒙提的说法是正确的吗？参赛者知道桌上的盒子至少有一个是空的，他现在知道是盒子A了。这些信息是否令他选出的盒子里有钥匙的概率从三分之一变成二分之一？桌上的盒子其中一个必定是空的，蒙提是否借着透露哪个盒子是空的，帮了参赛者一把？赢得汽车的概率是二分之一还是三分之一？

参赛者：我想用我的盒子B 跟你交换桌上的盒子C。

蒙提·霍尔：这就怪了！！

提示：参赛者知道自己在做什么！

史蒂夫·谢尔文

加州大学公共卫生学院

伯克利，加州 94720

在以上的文章里，谢尔文略过了这个问题的关键（其重要性稍后就会厘清）。他没有明说的是，蒙提·霍尔知道钥匙在哪个盒子里，因此他总是能打开空的盒子。不过平心而论，他确实引述了蒙提所说的：“我来帮你打开桌上其中一个盒子。”我把这句话解释成：蒙提·霍尔完全知道他即将打开的盒子是空的。果真如此的话，那么这就是我所熟悉的问题了。稍后我们将会明白，问题的解答系建立在“蒙提·霍尔知道钥匙在哪里”的前提上，虽然这个前提看似无关紧要——毕竟对参赛者来说，这怎么可能会影响猜中的概率呢？

谢尔文不得不在1975年8月号的《美国统计学人》里特别澄清这一点，无法接受其解答的其他数学家不断批评他，正如莎凡特15年后的遭遇。他写道：

我收到许多来函，评论我在《美国统计学人》 1975年2月号《致编辑函》里，题为《一个关于概率的问题》的文章。有几位来函者认为我提供了错误的答案。我所提出答案的基本假设，乃是蒙提·霍尔知道钥匙放在哪个盒子里。

厘清这个关键之后，我们就能更仔细地探讨这个问题。接着我们来看刊登于《大观杂志》长度较短也较著名的版本。在这个版本里，三个箱子换成三道门，以下略经修改：

假如你是游戏节目的来宾，主持人提供的选项为A、 B、 C三道门。其中一道门后面有部汽车，另外两道门后面则是山羊。你挑选其中一道门，假设是A好了。接着，知道门后藏了什么的主持人打开另一道门，比如B，出现一只山羊。他问：“你想换成C门吗？”请问改变原本选择的门，是否对你较有利？

当然这个问题的前提是：参赛者喜欢汽车更甚于山羊，不过题目里并没有明说。我们假定参赛者并不是喜欢山羊的脚踏车骑士。

跟几年前谢尔文的答案一样，莎凡特的回答也认为参赛者应该要改变最初的选择，如此一来赢得汽车的机会将从三分之一倍增到三分之二。怎么可能会这样呢？这正是蒙提霍尔悖论的症结点。

当然，多数参赛者在面对这类抉择的时候，多半会怀疑其中是否藏有陷阱。既然大奖在每道门后的机会都相等，那么为什么不相信最初的直觉就好，继续坚持选择A门呢？对参赛者而言，汽车藏在A门或C门后面的概率看来当然是相等的，换或不换所选的门应该没有什么差别。

这一切实在晦涩难解并且令人困惑，可以想见为何连专业数学家都会弄错。以下提供几种解开这个诡局的方法。

 

检验问题的概率

以下所述的是最严谨、最有系统，也最无懈可击的方法，证明参赛者改变选择的门确实可以使赢得大奖的概率倍增。请记住，你原来选的是A门。蒙提·霍尔知道汽车在哪个门后面，他帮你打开另外两道门的其中一道，结果出现山羊，而且他还提供你换到C门的机会。

首先考虑继续选择A门的情形。

汽车藏在三道门之中任一道门后的概率是相同的：

● 当车子在A门后， B或C任一道门被打开：你赢了。

● 当车子在B门后， C门被打开：你继续选择A门，你输了。

● 当车子在C门后， B门被打开：你继续选择A门，你输了。

因此如果维持最初的选择，你有三分之一的概率赢得大奖。

接着考虑变更选择的情况。

汽车藏在三道门之中任一道门后的概率依旧相同：

● 当车子在A门后， B或C任一道门被打开：你输了。

● 当车子在B门后， C门被打开：由于你从A门换到B门，你赢了。

● 当车子在C门后， B门被打开：由于你从A门换到C门，你赢了。

因此变更选择之后，你有三分之二的概率赢得大奖。

 

无需数学证明：基本常识法

严格说来，以下非数学的方法并非真正的证明，只是让答案变得较令人能够接受。

假设现在不只有三道门，而是有1000扇门：其中一扇门后有一部汽车，其余999道门后面都是山羊。你随机从中选择一道门，比如第777号门。当然你可以任意选择喜欢的号码，但是不论如何，只要你不具备超能力，选中藏有汽车的门概率就是1‰。

接下来，知道汽车下落的蒙提·霍尔打开除了第238号门之外的其余998道门，里面全部都是山羊。现在，你面前有998只山羊以及两扇关着的门：你选的777号门，与尚未被打开的238号门。请问你要换，还是不换？

难道你不觉得，在那道被主持人保留、尚未开启的门后面，有令人起疑的东西——可能是一开始在随机挑选门时，主持人知道但你却无法获得的信息？别忘了，他掌握车子的下落。他看着你随机挑了一道（极）可能只有山羊的门，接着打开了另外998道藏有山羊的门。难道你不觉得非得换成仅剩的最后这道门不可？当然你会这么觉得，而且你猜得没错：几乎可以确定汽车是藏在蒙提特别保留下来的238号门后面。

改用较为数学的语言来说明：你最初的选择将门归入两个集合；集合一只有你选的门，汽车藏在里面的概率为三分之一（或者在前述较夸张的例子里，概率为1‰）。集合二包含所有其余的门，因此大奖之门落在这个集合里的概率就是三分之二（或者999‰）。集合二其中一道（或者998道）已知藏有山羊（亦即发现汽车的概率为零）的门被打开之后，这个集合里尚未打开的门只剩一道，而这道门里藏有汽车的总体概率仍旧是三分之二（或者999‰），因为它承继了车子落在这个集合里的概率。打开那些毫无价值的山羊之门，并不会改变汽车落在集合二里的概率大小。

 

先备知识扮演的角色

到这里，相信读者已经被说服了。不过万一你仍有任何挥之不去的疑问，以下提供另一个范例。我认为这个例子足以凸显具备先备知识与否的重大区别。

假设你想购买两只小猫。你打电话到附近的宠物店，老板说有两只同一胎出生的小猫在今天刚送达：一只黑猫，一只花猫。你向老板询问他们的性别，设想两种可能的回答：

（a）他告诉你：“我只检查了其中一只，是公的。”如果没有其他信息，两只小猫都是公的概率是多少？

（b）他告诉你：“我只检查了花猫，是公的。”这种情况下，两只小猫都是公的概率又是多少？

这两种状况的答案其实是不同的。虽然我们知道两者都至少有一只猫是公的，但只有在第二种情况里，我们才知道公的是哪只，而这正是改变概率大小的额外信息。以下我们来看看这个额外信息如何让概率产生变化。

首先，列出小猫性别的所有可能组合，共计四种：

 

 

接着考虑状况（a）。“至少其中一只是公的。”意味着可能是前三种组合之一：（1）两只都公的；（2）黑猫是公的，花猫是母的；（3）黑猫是母的，花猫是公的。所以两只都是公的概率是三分之一。

然而，在状况（b）里你已经得知花猫是公的，这个额外信息除了排除第四种组合之外，同时也排除第二种组合。可能的组合只剩下两种：两只都是公的；或者花猫是公的，黑猫是母的。这种情况下，两只都是公猫的概率是二分之一。

因此可知，一旦你得知哪只猫是公的，两只都是公猫的概率立刻从三分之一变成二分之一。这跟蒙提霍尔悖论碰到的情形完全如出一辙。

但是且慢，我听到一些顽固的怀疑论者问道：“在小猫的故事里，宠物店老板已经将额外的信息告诉你，好让你算出概率大小。可蒙提·霍尔并没有做出相同的举动。”这个反驳意见带领我们来到整个解说的最后一部分。谢尔文1975年在《美国统计学人》的一文以及莎凡特1990年在《大观杂志》的解答曾经困惑许多读者，如今我们终于要揭晓其中的关键。我们得最后一次回到蒙提霍尔悖论。

假设蒙提·霍尔根本不知道车子藏在哪里。这时如果他打开B门出现山羊，你的确有相同的概率在A门或C门后面找到这部汽车。为什么会这样呢？想象我们重复玩150次这个三道门的游戏。每次游戏开始前，由一位独立裁判在三道门之间随机移动汽车，身为主持人的蒙提·霍尔也不知道车子的位置。如果让你先选一道门，蒙提·霍尔接着随机打开剩下两道门其中的一道，平均而言有三分之一的概率会出现汽车；从统计的角度来看，也就是150次当中有50次会出现汽车。在这50次，游戏当然就此结束；一旦你无法赢得汽车，游戏将不再继续下去。如此一来，蒙提·霍尔打开B门出现山羊，游戏得以继续进行的次数剩下100次。每一次，汽车有二分之一的概率藏在你最初选的门里，因此没有理由改变选择。也就是说，其中的50次你会发现汽车的确出现在你选的门里，另外50次则出现在C门里。再加上车子出现在蒙提打开的门后的50次，三种不同的情况各发生50次，意味着汽车出现在三道门后的可能性是相同的。

不过，如果蒙提知道车子的下落，他绝不会打开藏有汽车的门而浪费掉这50次游戏机会。总而言之，假设你每次都选A门好了， 150次当中有50次，汽车会出现在A门里，因此如果不换门的话，你有三分之一的机会赢得大奖。其余的100次当中，有50次汽车藏在C门里，蒙提打开B门；另外50次车子在B门里，他打开C门。在这100次的所有游戏中，蒙提总是打开藏有山羊的门，使得藏在另一个门后的车子不会出现。所以如果每次都改变选择，在这150次当中你将有100次赢得汽车，整体概率正好是三分之二。

 

一试便知

莎凡特在她最后一次探讨这个悖论的专栏里，公开了1000多所学校对此问题进行实作验证的结果。几乎所有结果都显示，换门才是正确的选择。这种“一试便知”的解答方式，也是我在几年前向朋友解释这个悖论时不得不采用的方法。那时我正为BBC制作一个电视科教节目，在搭车前往拍摄地点的漫长旅途中，我向摄影师安迪·杰克逊详述这个悖论。我得承认，当时自己还没想出上述的辩证与解释，因此只能拿出一迭色卡来示范。

我挑出三张卡片，一张红色两张黑色，洗牌之后将它们正面朝下，排列在我们之间的汽车座椅上。接着我小心翼翼偷瞄每张卡片的底面，以便确认红色卡片的位置。我请安迪挑选一张他认为是红色的卡片，但不要掀开。我接着掀开其余两张卡片中我确定是黑色的那张，再让安迪决定维持或更换所选的卡片。我们只试了不到20次就向他证明，如果改变选择的卡片，选到红色卡片的概率大约是不改变的两倍。他搞不太懂为何如此，不过至少相信我是对的。

我希望安迪能读到这一章，并且终于明白其中的原因。希望各位读者也是。

闲聊到此为止——还有9个正经的悖论在等着我们呢！