第一节　一元密度函数核估计

设X为一个随机变量，其密度函数f（x）未知，设x₁，…，x_n为X的样本观测值。可从经验分布函数导出密度函数的核估计，经验分布函数为：

式（2-1）中，N是观测值的数目；I（z）为指针函数；z是条件关系式，当z为真时，I（z）＝1，当z为假时，I（z）＝0。式（2-1）中条件关系式z为x_i≤x，x_i是i点的样本观测值，当x_i≤x时，I（x_i≤x）＝1，否则取值为0。

取核函数为均匀核：

则核密度估计为：

式（2-2）中，h是带宽（或平滑参数），将核函数放宽就得到一般的核密度估计：

式（2-3）中，K是核函数。

带宽h控制密度估计的平滑程度，带宽越大，估计越平滑，但估计的偏差越大。带宽的选取在密度估计中十分重要。Silverman方法是一种基于数据的自动带宽h＝0.9kN1/5min{s，IQR/1.34}，s是标准离差；IQR为四分位距（Interquartile Range），因子k是标准带宽变换，标准带宽变换用来调整带宽，以便对于不同核函数的密度估计有大致相当的平滑。