第5讲 二次函数的图像与性质（1）

提分导练

提分点一 根据实际问题列二次函数表达式

【例1】如图5-1所示，为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住．若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym2.求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

提示：因为绿化带的BC边长为xm，所以AB或CD的边长为m.根据“绿化带的面积=长×宽”列函数关系式并整理即可．由题意，自变量x的取值最大为25m.

解答：，即y=+20x，所以y与x之间的函数关系式是y=+20x，自变量x的取值范围是0＜x≤25（m）.

【类题训练】

1．（模考·深圳）某畅销书的售价为每本30元，每星期可卖出200本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出40本．设每件商品降价x元后，每星期售出此畅销书的总销售额为y元，则y与x之间的函数关系为（ ）.

A．y=(30-x)(200+40x)

B．y=(30-x)(200+20x)

C．y=(30-x)(200-40x)

D．y=(30-x)(200-20x)

2．（期末·淄博）中国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2017年年人均收入300美元，预计2019年年人均收入将达到y美元．设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为x，那么y与x的函数关系式是__________.

3．（月考·嘉兴）如图5-2所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=24，动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，如果点P、Q同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t（s）如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．

提分点二 二次函数y=a（x-h）2+k的图像与性质

【例2】对于抛物线y=-（x+1）2+3，下列结论：

①抛物线的开口向下；

②对称轴为直线x=1；

③顶点坐标为（-1，3）；

④x＞1时，y随x的增大而减小．

其中正确结论的个数为（ ）.

A．1

B．2

C．3

D．4

提示：根据二次函数的性质对各小题分析判断．①∵a=-1＜0，∴抛物线的开口向下，正确；②对称轴为直线x=-1，故错误；③顶点坐标为（-1，3），正确；④∵x＞-1时，y随x的增大而减小，∴x＞1时，y随x的增大而减小一定正确．综上所述，结论正确的是①③④，共3个．

答案：C

【类题训练】

4．（中考·湘潭）抛物线y=2（x-3）2+1的顶点坐标是（ ）.

A．(3,1)

B．(3,-1)

C．(-3,1)

D．(-3,-1)

5．（模考·乐清）关于抛物线（x+2）2+3，下列说法正确的是（ ）.

A．对称轴是直线x=2，y有最小值是3

B．对称轴是直线x=-2，y有最大值是3

C．对称轴是直线x=2，y有最大值是3

D．对称轴是直线x=-2，y有最小值是3

6．（期末·江阴）关于二次函数y=（x-1）2+2，下列说法正确的是（ ）.

A．图像与y轴的交点坐标为（0，2）

B．图像的对称轴在y轴的左侧

C．y的最大值为2

D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大

提分点三 二次函数图像的平移

【例3】（中考·舟山）把抛物线y=x2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是__________.

提示：抛物线y=x2先向右平移2个单位得y=（x-2）2；再将抛物线y=（x-2）2向上平移3个单位得y=（x-2）2+3.

答案：y=（x-2）2+3

【类题训练】

7．将抛物线C1：y=x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线C2对应的函数

解析式是（ ）

A．y=(x-2)2-3

B．y=(x+2)2-3

C．y=(x-2)2+3

D．y=(x+2)2+3

8．将抛物线y=3（x-4）2+2向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后的抛物线的解析式是__________.

9．试分别说明将抛物线：（1）y=（x+1）2；（2）y=（x-1）2；（3）y=x2+1；（4）y=x2-1的图像通过怎样的平移得到y=x2的图像．

提分检测

1．（模考·安阳）把抛物线y=2x2-1向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得新的抛物线解析式为（ ）.

A．y=2(x+2)2+3

B．y=2(x+2)2-3

C．y=2(x-2)2+3

D．y=2(x-2)2-3

2．已知二次函数，在其图像对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则a的值为（ ）.

A．

B．

C．

D．0

3．（模考·杭州）某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg；销售单价每涨一元，月销售量就减少10kg.设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）.

A．y=(x-40)(500-10x)

B．y=(x-40)(10x-500)

C．y=(x-40)[500-10(x-50)]

D．y=(x-40)[500-10(50-x)]

4．在同一直角坐标系中，函数y=kx2-k和y=kx+k（k≠0）的图像大致是（ ）.

5．若二次函数y=（x-m）2-1，当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）.

A．m=3

B．m＞3

C．m≥3

D．m≤3

6．（期末·青岛）如图5-3所示，正方形OABC的边长为2，OA与x轴负半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2（a＜0）的图像上，则a的值为（ ）.

A．

B．

C．-2

D．

7．（模考·合肥）如图5-4所示，抛物线的顶点为P（-2，2），与y轴交于点A（0，3）.若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，-2），点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为__________.

8．把二次函数y=a（x-h）2+k的图像先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数（x+1）2-1的图像．

（1）试确定a，h，k的值；

（2）指出二次函数y=a（x-h）2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标．

9．（期中·泰安）如图5-5所示，抛物线y=x2与直线y=2x在第一象限内有一个交点A.

（1）求A点坐标；

（2）在x轴上是否存在一点P，使△AOP是以OP为底的等腰三角形？若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

高分必练

1．已知2≤|x|≤3，则函数y=（x-1）2的取值范围是（ ）.

A．1≤y≤4和9≤y≤16

B．9≤y≤16

C．4≤y≤9

D．1≤y≤9

2．已知函数y=，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）.

A．0

B．1

C．2

D．3

3．如图5-6所示，四边形ABCO为矩形，点B的坐标为（-1，2），将此矩形绕点O顺时针旋转90°得矩形DEFO，抛物线y=-x2+bx+c过B，E两点．

（1）求此抛物线的函数关系式．

（2）将矩形ABCO向左平移，并且使此矩形的中心在此抛物线上，求平移距离．

（3）将矩形DEFO向上平移距离d，并且使此抛物线的顶点在此矩形的边上，则d的值是__________.