第4讲 一元二次方程的综合应用

提分导练

提分点一 一元二次方程的解法

【例1】（期中·广州）解下列方程：

（1）2（x-3）2=8（直接开平方法）；

（2）4x2-6x-3=0（运用公式法）；

（3）（2x-3）2=5（2x-3）（运用因式分解法）；

（4）（x+8）（x+1）=-12（运用适当的方法）.

提示：由于要求非常具体，按照要求的方法求解即可：

（1）先将方程化为（x-3）2=4的形式，然后开平方即可；

（2）先正确确定a，b，c的值，然后代入公式计算；

（3）先移项，再应用提取公因式法分解因式求解；

（4）先对左边的部分进行乘法计算，然后再用因式分解法解方程．

解答：（1）（x-3）2=4，x-3=2或x-3=-2，解得x1=1或x2=5.

(2)a=4,b=-6,c=-3,b2-4ac=(-6)2-4×4×(-3)=84,

x=,

∴x1=,x2=.

（3）移项得（2x-3）2-5（2x-3）=0：因式分解得（2x-3）（2x-3-5）=0.

∴x1=,x2=4.

（4）化简得x2+9x+20=0.因式分解得（x+4）（x+5）=0.

解得x1=-4，x2=-5.

【类题训练】

1．（模考·太原）用配方法解下列方程时，配方正确的是（ ）.

A．x2-6x-5=0，可化为（x-3）2=4

B．y2-y-2018=0，可化为（y-1）2=2018

C．a2+8a+9=0，可化为（a+4）2=25

D．2x2-6x-7=0，可化为

2．（月考·济南）已知a是一元二次方程x2-3x-5=0的较小的根，则下面对a的估计正确的是（ ）.

A．-2＜a＜-1

B．2＜a＜3

C．-3＜a＜-4

D．4＜a＜5

3．（期末·济南）解方程：

(1)x2-10x+24=0;

(2)9(x-2)2-121=0;

(3)x2+8x-2=0;

(4)2(x-3)2=x(x-3);

(5)2x2-5x+1=0.

提分点二 一元二次方程的应用

【例2】（模考·北京）为满足市场的需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元．

提示：设每个粽子的定价为x元，由于每天的利润为800元，根据利润=（定价-进价）×销售量，列出方程求解即可．

解答：设每个粽子的定价为x元时，每天的利润为800元．

根据题意得

解得x1=7，x2=5.

∵售价不能超过进价的200%，∴x≤3×200%.即x≤6.∴x=5.

答：每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元．

【类题训练】

4．（中考·安徽）一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x，则x满足（ ）.

A．16(1+2x)=25

B．25(1-2x)=16

C．16(1+x)2=25

D．25(1-x)2=16

5．（模考·兰州）商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台．为了促销，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使消费者得到更多实惠，每台冰箱应降价（ ）.

A．100元

B．200元

C．300元

D．400元

6．（期末·深圳）青年旅行社为吸引游客组团去“黄果树——龙宫——织金洞”一线旅游，推出了如下收费标准（如图4-1所示）：

某单位组织员工去“黄果树——龙宫——织金洞”一线旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少名员工去“黄果树——龙宫——织金洞”一线旅游？

提分点三 一元二次方程“根的判别式”及“根与系数的关系”

【例3】（模考·北京）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足x1+x2=m2，求m的值．

提示：由根与系数的关系，可得x1+x2=2m+3，x1·x2=m2，又由x1+x2=m2，即可求得m的值．

解答：∵关于x的一元二次方程x2-（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，

∴Δ=(2m+3)2-4m2=12m+9＞0,

∴m＞-,

∵x1+x2=2m+3,x1·x2=m2,

又∵x1+x2=m2，

∴2m+3=m2,

解得m=-1或m=3，

∵m＞,

∴m=3.

【类题训练】

7．（模考·天津）已知x=2是一元二次方程x2+x+m=0的一个根，则方程的另一个根是（ ）.

A．-3

B．-6

C．0

D．-1

8．（中考·绵阳）关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是-2和1，则nm的值为（ ）.

A．-8

B．8

C．16

D．-16

9．（期末·泉州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+3x+k-3=0的两个实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）若x21+2x1+x2+k=3，试求k的值．

提分检测

1．（期末·西安）一元二次方程x2-6x-11=0配方后是（ ）.

A．(x-3)2=2

B．(x-3)2=20

C．(x+3)2=2

D．(x+3)2=20

2．（模考·天津）关于x的一元二次方程（m≠0）有两个相等的实数根，则的值为（ ）.

A．4

B．-4

C．

D．

3．若a-b+c=0，a≠0，则方程ax2+bx+c=0必有一个根是（ ）.

A．1

B．0

C．-1

D．不能确定

4．（中考·泸州）已知m，n是关于x的一元二次方程x2-2tx+t2-2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（ ）.

A．7

B．11

C．12

D．16

5．（模考·济南）已知m是关于x的方程x2-2x-7=0的一个根，则2（m2-2m）=__________.

6．（模考·天津）已知a2+2a+b2-4b+5=0，则a+b=__________.

7．（期中·青岛）小明在解方程x4-13x2+36=0时，注意到x4=（x2）2，于是引入辅助未知数t=x2，把原方程化为t2-13t+36=0，解得t=4或t=9，即x2=4或x2=9，进一步解得原方程的解为x1=2，x2=-2，x3=3，x4=-3.像这种把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，从而使问题得到简化的方法叫换元法．

请仿照上述方法解方程：x4-3x2-4=0.

8．（期末·景德镇）已知关于x的方程x2-（k+1）+1=0有两个实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且=6x1x2-15，求k的值．

9．如图4-2所示，某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相交于点O处，甲沿喀什路以4m/s的速度匀速由西向东走，乙沿着北京路以3m/s的速度由南向北走．当乙走到O点以北50m处时，甲恰好到点O处．若两人继续向前行走，求两个人相距85m时各自的位置．

高分必练

1．设方程（x-a）（x-b）-x=0的两根是c，d，则方程（x-c）（x-d）+x=0的根是（ ）.

A．a,b

B．-a,-b

C．c,d

D．-c,-d

2．（竞赛·山东）方程（x2+x-1）x+3=1的所有整数解的个数是（ ）.

A．2

B．3

C．4

D．5

3．（竞赛·四川）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（3a-1）x+2a2-1=0的两个实数根，且（3x1-x2）（x1-3x2）=-80，求实数a的所有可能值．