3.4 圆形薄板的弯曲

3.4.1 圆形薄板的弯曲曲面微分方程

求解圆形薄板的弯曲问题时,和求解圆形边界的平面问题一样,用极坐标比较方便。此时,将挠度w和横向载荷q都看作是极坐标的函数,即w=wρw),q=qρw)。进行与第2章平面问题极坐标中相同的变换,可以得出下列的导数变换式:

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应用式(3-23),薄板弹性曲面的微分方程[式(3-14)]可以变换为

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3.4.2 圆形薄板的内力表达式

为了导出用挠度表示内力的表达式,从薄板内取出一个微元,如图3-4所示。

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图3-4 圆形薄板的微元受力情况

ρ为常量的横截面上,应力分量σρτρφτρz分别合成为弯矩Mρ、扭矩Mρφ和横向剪力FSρ;在φ为常量的横截面上,应力分量σφτφρτφz分别合成为弯矩Mφ、扭矩Mφρ和横向剪力FSφ。若上述各个内力均为正号,则对应的正方向用力矢和矩矢表示,如图3-4所示。

现在,把x轴和y轴分别转到这个微分块的ρ方向和φ方向,使该微分块的φ坐标为零,则该微分块处的MρMφMρφMφρFSρFSφ分别成为MxMyMxyMyxFSxFSy。于是,利用导数的变换式(3-22)和(3-21),令φ=0,即由式(3-18)得到极坐标中薄板内力公式

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式中,Δ2w是用式(3-23)表示的。