3.2 弹性弯曲的基本方程

薄板的小挠度弯曲问题是按位移求解的，只取w=w（x，y）作为基本未知函数。下面根据空间问题的基本方程和边界条件，以及上述的三个计算假定，将其他未知函数——纵向位移u、v，主要应变分量ε_x、ε_y和γ_xy，主要应力分量σ_x、σ_y和扭应力τ_xy，次要应力分量τ_xz、τ_yz及更次要的应力分量σ_z，分别都用挠度w表示，并导出求解挠度的方程。

3.2.1 其他分量的挠度表示

1）将纵向位移u和v用w表示。第3.1节中已应用计算假定和几何方程[式（2-38）]的第四式和第五式得出式（3-1），把此式对z积分，并注意w只是x、y的函数，即得

应用计算假定式（3-3），得f₁（x，y）=0，f₂（x，y）=0。于是，纵向位移表示为

2）将主要应变分量ε_x、ε_y和γ_xy用w表示。把上式的u和v代入几何方程[式（2-38）]中的第一、第二及第六式，得到

3）将主要应力分量σ_x、σ_y和τ_xy用w表示。由薄板的物理方程[式（3-2）]求解应力分量得

把式（3-4a）代入式（3-4b），得

由于w只是x，y的函数，不随z而变，可见这三个主要应力分量都和z成正比，与材料力学中梁的弯应力相似。

4）将次要应力分量τ_xz和τ_yz用w表示。由于次要应力分量τ_xz和τ_yz引起的形变可略去不计，故相应的物理方程也已放弃。为了求出τ_xz和τ_yz，可以应用平衡微分方程[式（2-34）]的前两式，并由于不存在纵向荷载，体力分量f_x=0，f_y=0，由此得

把σ_x、σ_b和τ_xy的表达式(3-5)代人，得

式中，。

将上式对z积分，得

其中，待定函数F₁（x，y）和F₂（x，y）可以根据薄板上、下面的边界条件来求出，即

（τ_zx）_z=±δ/2=0，（τ_zy）_z=±δ/2=0

应用上述两个边界条件求得

即可得τ_zx和τ_yz的表达式

这两个切应力沿横向为抛物线分布，与材料力学中梁的切应力相似。

5）将更次要的应力分量σ_z用w表示。应用平衡微分方程[式（2-35）]的第三式，并取体力分量f_z=0，得

如果体力分量f_z≠0，则可以把薄板的单位面积内的体力和面力都归入到板上面的面力中去，一并用q表示，即

这只会对最次要的应力分量σ_z引起误差，对其他的应力分量则没有影响。这种处理方式和材料力学中对梁的处理方式相同。

注意τ_xz=τ_zx，τ_yz=τ_zy，将这两个应力分量的表达式（3-6）代入式（3-7），可得

将式（3-9）对z积分，得

其中，待定系数F₃（x，y）可以由薄板的下板面的边界条件来确定，即（σ_z）_z=δ/2=0。

将式（3-10）代入，求出F₃（x，y），再代回式（3-10），即得σ_z的表达式

3.2.2 弹性弯曲微分方程

现在来导出w的微分方程。由薄板的上板面的边界条件

（σ_z）_z=-δ/2=-q （3-12）

其中，q是薄板单位面积内的横向荷载，包括横向面力和横向体力，如式（3-9）所示。将σ_z的表达式（3-11）代入式（3-12），可得

令（称为薄板的弯曲刚度），则式（3-13）化为

DΔ⁴w=q （3-14）

式（3-14）称为薄板的弹性曲面微分方程或挠曲面微分方程。

现在对以上的分析作进一步说明：①如果w=w（x，y）满足DΔ⁴w=q，则等价于满足薄板的6个几何方程、3个物理方程、3个平衡微分方程及板的上下面边界条件，故称DΔ⁴w=q为薄板弯曲问题的基本方程。在求解时只需选择w=w（x，y）满足DΔ⁴w=q及板边的边界条件即可。②如果体力分量不为零，则将薄板单位面积内的体力归入薄板上板面的面力中。③应力分量很难精确满足板边边界条件，常用圣维南静力等效边界条件，因此必须确定薄板横截面上的内力。