3.2.1　基本概念

连续体的一切复杂行为，都可归结为由最简单的微元行为构成。反映微元属性的基本规律称为本构关系，亦即本构方程^[39]。橡胶材料的本构关系通常是指其应力-应变关系。

不同于其他弹性固体，橡胶材料表现出明显的非线性高弹性。其非线性表现为：大变形所导致的几何非线性，以及由于材料本身所引发的物理非线性。由于橡胶材料的本构非线性，其本构关系一般由应变能函数（W）表示，而不是简单的应力-应变关系。针对W的研究主要有以下两种途径：一是基于连续介质力学的唯象理论；二是基于分子链微观结构及构象熵改变的统计理论。

其中，唯象理论的研究大致可分为三部分。第一，以应变不变量（I）为研究基础，建立W与I的函数，即W=（I₁，I₂，I₃）。典型的代表有：Neo-Hookean应变能函数^[40]、Mooney-Rivlin应变能函数^[41]、Yeoh应变能函数^[42]等。第二，以拉伸比λ为研究基础，建立W与λ的函数，即W=（λ₁，λ₂，λ₃）。典型的代表有：Ogden应变能函数^[43]、Valanis-Landel应变能函数^[44]。第三，混合型模型，即混合上述两种典型的W所得到，如：Gent + Ogden应变能函数^[45]。

而统计理论的研究亦可分为三部分。第一，基于Gaussian统计理论的模型，满足如下假定：①交联点由4个有效链组成，且交联点是无规分布的；②交联点间的链段为Gaussian链，末端距符合无规分布；③由Gaussian链组成的各向同性网络的构象总数为各网链构象数目的乘积；④交联点固定在它们的平衡位置上，当橡胶试样变形时，交联点随之发生仿射变形。典型的代表有Neo-Hookean应变能函数（小变形条件）。第二，基于非Gaussian统计理论的模型，典型的代表有：James-Guth 3链应变能函数^[46]、Flory 4链应变能函数^[47]、Arrude-Boyce 8链应变能函数^[48]。第三，混合型模型，典型的代表有：Flory-Erman + Arrude-Boyce应变能函数^[49]、James-Guth + Arrude-Boyce应变能函数^[50]。

对于各向同性材料，第一、第二、第三应变不变量如下：

　　（3.3a）

　　（3.3b）

　　（3.3c）

式中，λ表示拉伸比，下标1、2、3代表三个方向。橡胶材料通常认为是不可压缩材料，即I₃=1，此时Cauchy应力σ可表示为^[51]：

　　（3.4）

式中，p表示静水压力，取决于边界条件；B表示左Cauchy-Green变形张量。

为了准确模拟橡胶制品在不同工况下的应力-应变行为，需要考虑的外部加载方式应包括单轴拉伸、平面拉伸（纯剪切）、双轴（或等双轴）拉伸等加载方式，因而由式（3.4）可得到不同拉伸状态下的σ-λ的关系式。

①单轴拉伸：

　　（3.5）

② 平面拉伸（纯剪切）：

　　（3.6）

③双轴拉伸：

　　（3.7a）

　　（3.7b）

④等双轴拉伸：

　　（3.8）

单轴拉伸、等双轴拉伸以及平面拉伸的测试夹具分别见图3.23（a）～（c），单轴拉伸、等双轴拉伸以及平面拉伸的测试样条在加载前后的变形情况分别见图3.23（d）～（f）。图3.24是炭黑填充天然橡胶在三种加载条件下的应力-应变曲线。下面简要地介绍橡胶材料的典型本构模型，包括唯象理论模型和分子统计理论模型。