第4章　弯曲应力

4.1　复习笔记

一、弯曲的概念和梁的计算简图

1弯曲的概念

（1）弯曲

等直杆在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于杆轴线的横向外力或外力偶的作用时，杆的轴线将变成曲线，这种变形称为弯曲。

受力特征：外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线。

变形特征：轴线由直线变形为曲线。

（2）对称弯曲

若梁上所有的横向力或力偶均作用在纵对称面内，梁变形后的轴线必定是在该纵对称面内的平面曲线，这种弯曲称为对称弯曲。

（3）纯弯曲

梁在对称弯曲时，若梁在某段内各横截面上的剪力为零，弯矩为常量，则该段梁的弯曲称为纯弯曲。

（4）横力弯曲

梁在横力作用下的变形是弯曲与剪切的组合，称为横力弯曲。

（5）非对称弯曲

若梁不具有纵对称面，或者梁虽具有纵对称面但横向力或力偶不作用在纵对称面内，挠曲线与梁的纵对称面不一致，这种弯曲称为非对称弯曲。

2梁的计算简图

根据支座对梁在荷载作用平面的约束情况，支座通常简化为三种基本形式：固定端、固定铰支座、可动铰支座，分别如图4-1（a）、（b）、（c）所示，其相应的间化计算简图分别对应如4-1（d）、（e）、（f）所示。

简化支座，得到其作用在梁上的约束反力，便得到梁的计算简图。

图4-1

二、梁的内力和内力图

1内力

（1）剪力

剪力：沿截面切向方向的内力，用F_S表示，并规定使微段有顺时针转动趋势的剪力为正值，反之为负值。

（2）弯矩

弯矩：作用面垂直于横截面的内力偶矩，用M表示，并规定使微段的弯曲向下凸的弯矩为正值，反之为负值。

2剪力图与弯矩图的绘制

（1）列方程作梁的剪力图和弯矩图

①作图步骤

a．求各支座反力；

b．确定坐标原点，分段列出剪力方程和弯矩方程；

c．计算控制点的剪力和弯矩值，标注在图上；

d．根据各段的剪力方程和弯矩方程做剪力图和弯矩图，并说明剪力和弯矩的最大值，标明正负。

②绘图时应注意：剪力为正值时画在上侧，负值画在下侧；弯矩为正值时画在受拉侧，即下侧。

（2）利用弯矩、剪力和荷载集度间的关系作梁的剪力图和弯矩图

①弯矩M（x）、剪力F_S（x）和荷载集度q（x）间的微分关系为：

dM（x）/dx＝F_S（x），dF_S（x）/dx＝q（x），d2M（x）/dx2＝q（x）

②在较为典型的荷载下，弯矩图和剪力图的规律如表4-1中所示。

表4-1

（3）按叠加原理作梁的剪力图和弯矩图

①叠加原理

当所求参数（内力、应力或位移）与梁上荷载为线性关系时，由几项荷载共同作用时所引起的某一参数，就等于每项荷载单独作用时所引起的该参数值的叠加。

②作图方法

a．分别作出各项荷载单独作用下的剪力图和弯矩图；

b．将对应坐标处的剪力值和弯矩值叠加，说明剪力和弯矩的最大值，并标明正负。

三、平面刚架和曲杆的内力图

平面刚架：由在同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连接组成的结构。

轴力图和剪力图：内力的符号规定同梁的符号规定，内力可画在轴线任一侧，通常正值画在外侧，注明正负号；

弯矩图：画在各杆的受拉侧，不注明正负号。

曲杆：横截面内力的符号规定及其内力图的画法与刚架相同。

四、梁的强度计算

1正应力强度计算

（1）纯弯曲时梁横截面上的正应力

首先对于纯弯曲的梁作出以下基本假设：

①平面假设：梁受力纯弯曲后，原来的横截面仍保持为平面，并绕垂直于纵对称面的某一轴旋转，且仍垂直于梁变形后的轴线；

②各点处的纵向线段均处于单轴应力状态。

基于以上假设，可得到：

①横截面上任点的纵向线应变ε与该点至中性轴的距离y成正比，即ε＝y/ρ

②满足胡克定律σ＝Eε，则联立上式有：σ＝Eε＝E（y/ρ）

最后联立静力学推得的公式1/ρ＝M/（EI_Z）可得横截面上任一点正应力计算公式：σ＝My/I_Z。横截面上最大正应力计算公式：σ_max＝My_max/I_Z＝M/W_Z

式中，y为应力点到中性轴的距离；I_Z为横截面对中性轴的惯性矩；W_Z为弯曲截面系数。

对于矩形截面：W_Z＝I_Z/（h/2）＝（bh3/12）/（h/2）＝bh2/6

对于圆形截面：W_Z＝I_Z/（d/2）＝（πd4/64）/（d/2）＝πd3/32

（2）正应力强度条件

σ_max＝M_max/W≤[σ]

2切应力强度计算

横力弯曲的梁横截面上既有正应力，又有切应力。

（1）矩形截面梁

首先对梁作出以下假设：

①横截面上各点处的切应力均与侧边平行；

②横截面上距中性轴等远各点处的切应力大小相等。

在此假设的基础上，推导得矩形截面等直梁在对称弯曲时横截面上任一点处的切应力计算公式：τ＝F_SS_Z*/（I_Zb）

式中，F_S为横截面上的剪力；S_Z*为横截面过该点平行于中性轴的横线以外的面积对中性轴的静矩；I_Z为横截面对中性轴的惯性矩；b为横截面宽度。

切应力沿截面高度按二次抛物线规律变化，最大切应力位于中性轴处，其大小为：

τ_max＝（3/2）×（F_S/A）

（2）工字形截面梁

工字形截面梁腹板上任一处的切应力τ＝F_SS_Z*/（I_Zd），式中，d为腹板厚度。

腹板范围内，切应力沿截面高度按二次抛物线规律变化，最大切应力位于中性轴处，其大小为：τ_max＝F_SS*_Z，max/（I_Zd）

式中，S*_Z，max为中性轴一侧的面积对中性轴的静矩。

（3）切应力强度条件

最大切应力位于最大剪力所在截面中性轴处，该点处于纯剪切应力状态，其强度条件

τ_max＝F_S，maxS*_Z，max/（I_Zb）≤[τ]

式中，[τ]为材料横力弯曲时的许用切应力。

（4）关于强度条件的讨论

①横力弯曲情况下，梁的横截面上作用有正应力和切应力，两者强度条件应同时保证；

②一般情况下，按正应力强度条件进行校核，下列情况除外：

a．梁的最大弯矩较小，最大剪力很大；

b．焊接或铆接的组合截面钢梁，横截面腹板厚度与梁高之比小于型钢截面的相应比值；

c．横力弯曲时，木材在其顺纹方向的剪切强度。

③计算位置不同，采用的强度条件也不一样，如表4-2所示。

表4-2

五、梁的合理设计

按强度要求设计梁时，主要是依据梁的正应力强度条件。工程常用以下措施提高梁的强度：

1合理配置梁的荷载和支座

（1）将荷载通过辅梁传递到梁上，降低最大弯矩；

（2）将简支梁支座内移，降低最大弯矩。

2合理选取截面形状

（1）使横截面面积分布在距中性轴较远的地方，增大弯曲截面系数与面积的比值；

（2）塑性材料截面以中性轴为对称轴，如工字形、矩形、圆形和环形截面；

（3）脆性材料截面宜采用对中性轴不对称的截面，并将翼缘部分置于受拉侧，如T形截面；

（4）木材截面多采用矩形截面；

（5）截面合理性对比：环形截面比圆形截面合理，矩形截面立放比扁放合理，矩形截面比圆形截面合理，工字形截面、槽型截面比矩形截面合理。

3合理设计梁的外形

（1）等强度梁：横截面上的最大正应力都相等，并均达到材料的许用应力的梁。

（2）采用变截面梁：在弯矩较大处加大截面。