五、对当关系和对偶关系

(一)直言命题对当关系

【思考2-21】 1.所有产品都合格。

如果上述断定为真,试确定以下各断定的真假:

A.所有产品都不合格。

B.有产品合格。

C.有产品不合格。

【解析】 A和C假;B真。

2.有产品不合格。

如果上述断定为真,试确定以下各断定的真假:

A.所有产品都合格。

B.所有产品都不合格。

C.有产品合格。

【解析】 A假;B和C的真假不能确定。

以上所思考的,就是所谓的对当关系。一个对相关知识并不熟悉的人,通过日常思考,完全可以得到正确答案;但熟悉相关知识,有利于正确、迅速地找到答案。

不难发现,所谓对当关系,就是具有相同主谓项的以下四种形式命题之间的真假关系:

所有S都是P。

所有S都不是P。

有的S是P。

有的S不是P。

其中,“所有”称为全称量词;“有的(有些)”称为特称量词。包含全称量词的命题称为全称命题,包含特称量词的命题称为特称命题。直言命题就是具有这四种形式的命题,依次分别称为全称肯定、全称否定、特称肯定和特称否定。

注意以下两点:

第一,关于特称量词“有的”(“有些”)。在日常表达中,当断定“有的S是P”时,通常包含“有的S不是P”的意思。但作为逻辑上的特称命题,当我们断定“有的S是P”,并不包含“有的S不是P”的意思,而仅仅断定:存在S是P,或者说有S是P,至于量的多少则没有断定,可多可少,至少有一,也可以是全体。因此,特称命题也称为存在命题。例如,事实上所有的中国人都是炎黄子孙,相应于这个事实,全称命题“所有的中国人都是炎黄子孙”是真的,特称命题“有些中国人是炎黄子孙”也是真的。MBA试题中的量词“有的”(“有些”)取的是上述逻辑上的规范含义,而不是日常表达中可能的不规范含义。

第二,关于日常语言中直言命题的规范分析。在日常语言中,直言命题大都不是以标准形式表达的,即有时省略了量项或联项,有时使用了不规范的量项或联项。因此,需要对日常语言中不规范表达的直言命题进行规范化整理和分析。这点对综合能力逻辑应试颇具重要性,因为试题所涉及的直言命题很多是不规范表达的。

【思考2-22】 对以下直言命题进行规范化整理:

(1)没有产品合格。

(2)产品不都合格。

(3)没有产品不合格。

(4)产品不都不合格。

【解析】 上述四个命题的规范化整理依次为:

(1)所有产品都不合格。

(2)有的产品不合格。

(3)所有产品都合格。

(4)有的产品合格。

具有相同主谓项的直言命题称为同一素材的。不同素材的直言命题之间一般来说没有直接的真假关系。例如,已知“所有的肝炎都是传染的”真,不能推知“有些癌症不是传染的”的真假,因为这两个命题的素材不同。但同一素材的命题之间就存在直接的真假关系。例如,如果“所有的癌症都不是传染的”真,则“有的癌症是传染的”就一定假。

同一素材的直言命题之间的真假关系,称为对当关系。可用如图2-1所示的方形图来刻画对当关系。这个方形图称为逻辑方阵。

图2-1 对当关系

对当关系刻画存在于同一素材的四个直言命题之间的四种逻辑关系:矛盾关系、反对关系、下反对关系和从属关系。

矛盾关系存在于全称肯定命题和特称否定命题,以及全称否定命题和特称肯定命题之间。具有矛盾关系的两个命题,不能同真,也不能同假。具有矛盾关系的两个命题,由其中一个真,可推出另一个假;由其中一个假,可推出另一个真。

反对关系存在于全称肯定命题和全称否定命题之间。具有反对关系的两个命题,不能同真,但可以同假。具有反对关系的两个命题,由其中一个真,可推出另一个假;由其中一个假,不能推出另一个的真假。

下反对关系存在于特称肯定命题和特称否定命题之间。具有下反对关系的两个命题,可以同真,但不能同假。具有下反对关系的两个命题,由其中一个假,可推出另一个真;由其中一个真,不能推出另一个的真假。

从属关系存在于全称肯定命题(A)和特称肯定命题(I),以及全称否定命题和特称否定命题之间。从属关系就是“则”所表达的条件关系:如果A真,则I真;如果I假,则A假;如果A假,则I不能确定真假;如果I真,则A不能确定真假。类似的关系也存在于全称否定命题和特称否定命题之间。

根据对当关系,由一个直言命题的真假,可推断出同一素材其他命题的真假情况(这种真假情况包括三种:真、假或真假不能确定)。在作此推断时,只需运用矛盾关系和从属关系;反对关系和下反对关系对于进行对当关系推理不是必要的。从应试角度,下反对关系可以就此忽略不计;反对关系在识别“不当两不可”、“非黑即白”谬误时有用,MBA试题涉及对这类谬误的识别,后面要讨论。

依据矛盾关系进行推理非常直观;依据从属关系,可运用下面四句口诀:

上真则下真,下假则上假。

上假则下不定,下真则上不定。

具有从属关系的两个命题,一个是全称,一个是特称。在逻辑方阵中,全称在上,特称在其正下方。口诀中的“上”、“下”就是这个意思。这四句口诀,实际就是“则”的推理规则。

因此,和应试相关,上述逻辑方阵可简化为如图2-2所示:

图2-2 对当关系逻辑方阵(简约式)

【思考2-23】 已知“所有的公民都要守法”真,求同一素材其他命题的真假。

【解析】 由条件,已知全称肯定命题真。

依据矛盾关系,由全称肯定真可推知特称否定假,即“有公民不要守法”假。

依据从属关系,由特称否定假可推知全称否定假(下假则上假),即“所有公民都不要守法”假。

依据矛盾关系,由全称否定假可推知特称肯定真,即“有公民要守法”真。

【例2-33】 这幢楼的住户中,发现有外来人口未到街道办事处登记。

如果这一断定是真的,则在下述三个断定中不能确定真假的是:

Ⅰ.这幢楼中有外来人口居住。

Ⅱ.这幢楼中所有的外来人口都已到街道办事处登记。

Ⅲ.这幢楼中有的外来人口已到街道办事处登记。

A.Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。

B.只有Ⅰ和Ⅱ。

C.只有Ⅲ。

D.只有Ⅱ。

E.Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ都能确定真假。

【解析】 题干断定“有外来人口未到街道办事处登记”,因此,这幢楼中有外来人口居住,即Ⅰ为真。

根据直言命题的对当关系,“有外来人口未到街道办事处登记”和“这幢楼中所有的外来人口都已到街道办事处登记”是矛盾关系,由前者真可推知后者假,即Ⅱ为假。Ⅱ和Ⅲ是从属关系,由Ⅱ假,不能确定Ⅲ的真假(上假则下不定)。答案是C。

有一点要附加说明:对当关系的成立,是以直言命题的主项非空(即主项所断定的对象是存在的)为条件。如果主项是空概念,即它所断定的对象不存在,那么,对当关系就不普遍成立。例如,所有的永动机造价都很高,这是全称肯定命题,有的永动机造价不高,这是特称否定命题,根据矛盾关系,它们必有一真一假。我们很难设想,其中哪个命题是真的,因为永动机是不可能存在的。

【思考2-24】 甲班班长考试及格了。

如果上述断定为真,求以下命题的真假情况;如果上述断定为假,求以下命题的真假情况。

(1)甲班同学考试都及格了。

(2)甲班同学考试都没及格。

(3)有的甲班同学考试及格了。

(4)有的甲班同学考试没及格。

【解析】 由“班长考试及格”真,得“有的甲班同学考试及格了”真。根据对当关系,得“甲班同学考试都没及格”假;“甲班同学考试都及格了”和“有的甲班同学考试没及格”真假不定。

由“班长考试及格”假,得“班长考试没及格”真,得“有的甲班同学考试没及格”真。根据对当关系,得“甲班同学考试都及格”假;“甲班同学考试都没及格”和“有的甲班同学考试及格”真假不定。

【例2-34】 在某次税务检查后,四个工商管理人员有如下结论:

甲:所有个体户都没纳税。

乙:服装个体户陈老板没纳税。

丙:有个体户纳了税。

丁:有个体户没纳税。

如果四人中只有一人断定属实,则以下哪项是真的?

A.甲断定属实,陈老板没有纳税。

B.丙断定属实,陈老板纳了税。

C.丙断定属实,但陈老板没纳税。

D.丁断定属实,但陈老板纳了税。

E.依据题干条件推不出确定结论。

【解析】 甲的断定是全称否定,丙的断定是特称肯定,互相矛盾,必有一真一假。由条件,四人中只有一人的断定属实,因此,乙和丁的断定都不属实。由乙的断定为假,可推知“陈老板纳了税”;丁的断定是特称否定,由特称否定假,根据矛盾关系,可推断全称肯定真,由全称肯定真,根据从属关系,可推断特称肯定真,即丙断定属实。因此,可得结论“丙断定属实,陈老板纳了税”。答案是B。

(二)模态对当关系

“必然”、“可能”称为模态算子。包含模态算子的命题,称为模态命题。例如,“明天可能下雨”和“犯罪必然受到法律制裁”都是模态命题。

在日常语言中,“必然”有时表达为“一定”,“可能”有时表达为“也许”。

类似于逻辑方阵,对于任意命题A,必然A、必然非A、可能A和可能非A这四个命题的真假关系,可用图2-3表示,这一图形称为模态方阵。

图2-3 模态方阵

考虑到与应试解题的相关性,只要记住矛盾关系和反对关系就可以了。相应的从属关系和下反对关系都是成立的,但与应试解题无关,忽略不计。

必然A和可能非A互相矛盾;必然非A和可能A互相矛盾。记住以下等值式:

不必然A=可能非A

不必然非A=可能A

不可能A=必然非A

不可能非A=必然A

必然A和必然非A互相反对,即不能同真,但可以同假。

(三)算子、量词的对偶和否定

“且”和“或”称为真值算子;“必然”和“可能”称为模态算子;真值算子和模态算子统称算子。量词分为全称量词“所有”和特称(存在)量词“有些(有的)”。

否定“且”,得到肯定“或”;否定“或”,得到肯定“且”。

否定“必然”,得到肯定“可能”;否定“可能”,得到肯定“必然”。

否定“所有”,得到肯定“有的”;否定“有的”,得到肯定“所有”。

“且”与“或”,“必然”与“可能”,“所有”与“有些”,这三对互称为“对偶”,即否定其中一个,得到肯定另一个。记住以下的对应:

如果一个命题中连续出现多个算子或量词,对其否定所得到的结果可简捷地连续运算。这种运算就是对连续出现的量词或算子依次进行否定,得出其“对偶”,同时将否定词后移到恰当位置。

请结合试题细心地理解上面这段话,这将大大减低相关类型试题的主观难度。

【例2-35】 不一定所有的花都结果。

如果上述断定为真,则以下哪项必定为真?

A.可能所有的花都不结果。

B.可能有的花不结果。

C.可能有的花结果。

D.必然有的花结果。

E.必然有的花不结果。

【解析】

注意题干和正确答案的对偶词的对应:

答案是B。

【例2-36】 不可能所有商品既价廉又物美。

以下哪项最准确地表达了上述断定的意思?

A.可能有的商品价廉但物不美。

B.可能所有商品都不能既价廉又物美。

C.必然有的商品价廉但物不美。

D.必然有的商品物美但价不廉。

E.必然有的商品价不廉或物不美。

【解析】 

注意题干和正确答案的对偶词的对应:

答案是E。

【例2-37】 美国前总统林肯说,你可能在某个时刻欺骗所有的人,你也可能在所有的时刻欺骗某个人,但你不可能在所有的时刻欺骗所有的人。

如果林肯的上述断定成立,则以下哪项一定成立?

A.总有某个时刻所有的人你都必然骗不了。

B.林肯可能在任何时候都不受骗。

C.有的人在任何时候你都必然骗不了。

D.总有人在某个时刻必然不受你骗。

E.必然有某个时刻你骗不了所有人。

【解析】 

注意题干和正确答案的对偶词的对应:

答案是D。

【例2-38】 一方面确保法律面前人人平等,同时又允许有人触犯法律而不受制裁,这是不可能的。

以下哪项最符合题干的断定?

A.或者允许有人凌驾于法律之上,或者任何人触犯法律都要受到制裁,这是必然的。

B.任何人触犯法律都要受到制裁,这是必然的。

C.有人凌驾于法律之上,触犯法律而不受制裁,这是可能的。

D.如果不允许有人触犯法律可以不受制裁,那么法律面前人人平等是可能的。

E.一方面允许有人凌驾于法律之上,同时声称任何人触犯法律都要受到制裁,这是可能的。

【解析】 题干断定:

“¬人人平等”即“允许有人凌驾于法律之上”;“¬有人犯法不究”即“任何人触犯法律都要受到制裁”。答案是A。

【例2-39】 所有错误决策都不可能不付出代价,但有的错误决策可能不造成严重后果。

如果上述断定为真,则以下哪项一定为真?

A.有的正确决策也可能付出代价,但所有的正确决策都不可能造成严重后果。

B.有的错误决策必然要付出代价,但所有的错误决策都不一定造成严重后果。

C.所有的正确决策都不可能付出代价,但有的正确决策也可能造成严重后果。

D.有的错误决策必然要付出代价,但所有的错误决策都可能不造成严重后果。

E.所有错误决策都必然要付出代价,但有的错误决策不一定造成严重后果。

【解析】 注意题干和正确答案的对偶词的对应:

答案是E。

注意:

所有错误决策都不可能不付出代价≠不可能所有错误决策都不付出代价

所有错误决策都不可能不付出代价=所有错误决策都必然付出代价

不可能所有错误决策都不付出代价=必然有的错误要付出代价

【例2-40】 *某公司规定,在一个月内,除非每个工作日都出勤,否则任何员工都不可能既获得当月绩效工资,又获得奖励工资。

以下哪项与上述规定的意思最为接近?

A.在一个月内,任何员工如果所有工作日不缺勤,必然既获得当月绩效工资,又获得奖励工资。

B.在一个月内,任何员工如果所有工作日不缺勤,都有可能既获得当月绩效工资,又获得奖励工资。

C.在一个月内,任何员工如果有某个工作日缺勤,仍有可能获得当月绩效工资,或者获得奖励工资。

D.在一个月内,任何员工如果有某个工作日缺勤,必然或者得不了当月绩效工资,或者得不了奖励工资。

E.在一个月内,任何员工如果有工作日缺勤,必然既得不了当月绩效工资,又得不了奖励工资。

【解析】

答案是D。

(四)综合样题

【例2-41】 已知“基本粒子不都可分”真,则据此不能确定真假的命题是:

Ⅰ.所有的基本粒子都可分。

Ⅱ.所有的基本粒子都不可分。

Ⅲ.有的基本粒子可分。

Ⅳ.有的基本粒子不可分。

A.只有Ⅰ和Ⅳ。

B.只有Ⅱ和Ⅲ。

C.只有Ⅲ。

D.Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ。

E.Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ都能确定真假。

【解析】 题干“基本粒子不都可分”的规范形式是“有的基本粒子不可分”,同Ⅳ,是特称否定命题。Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别是全称肯定、全称否定、特称肯定命题。由特称否定命题真,只能推出全称肯定命题假,不能推出全称否定和特称肯定命题的真假。答案是B。

【例2-42】 *小东在玩“勇士大战”游戏,进入第二关时,界面出现四个选项。第一个是“选择任意选项都需要支付游戏币”,第二个选项是“选择本项后可以得到额外游戏奖励”,第三个选项是“选择本项游戏后游戏不会进行下去”,第四个选项是“选择某个选项不需要支付游戏币”。

如果四个选项中的陈述只有一句为真,则以下哪项一定为真?

A.选择任意选项都需要支付游戏币。

B.选择任意选项都不需要支付游戏币。

C.选择任意选项都不能得到额外游戏奖励。

D.选择第二个选项后可以得到额外游戏奖励。

E.选择第三个选项后游戏能继续进行下去。

【解析】 第一个选项和第四个选项互相矛盾,必有一真。因此第二和第三个选项为假。由第三个选项假可得:选择第三个选项后游戏能继续进行下去。答案是E。

【例2-43】 北方人不都爱吃面食,但南方人都不爱吃面食。

如果已知上述第一个断定真,第二个断定假,则以下哪项据此不能确定真假?

Ⅰ.北方人都爱吃面食,有的南方人也爱吃面食。

Ⅱ.有的北方人爱吃面食,有的南方人不爱吃面食。

Ⅲ.北方人都不爱吃面食,南方人都爱吃面食。

A.只有Ⅰ。

B.只有Ⅱ。

C.只有Ⅲ。

D.只有Ⅱ和Ⅲ。

E.Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。

【解析】 “北方人不都爱吃面食”等同于“有的北方人不爱吃面食”。由“有的北方人不爱吃面食”真,可推出“北方人都爱吃面食”假,不能确定“有的北方人爱吃面食”与“北方人都不爱吃面食”的真或假。

由“南方人都不爱吃面食”假,可推出“有的南方人爱吃面食”真,不能确定“有的南方人不爱吃面食”与“南方人都爱吃面食”的真或假。

因此在复选项中,Ⅰ能确定真假,Ⅱ和Ⅲ不能确定真假。答案是D。

【例2-44】 世界上不可能有某种原则适用于所有不同的国度。

以下哪项与上述断定的含义最为接近?

A.有某种原则可能不适用于世界上所有不同的国度。

B.有某种原则必然不适用于世界上所有不同的国度。

C.任何原则都必然有它适用的国度。

D.任何原则都必然有它不适用的国度。

E.任何原则都可能有它不适用的国度。

【解析】

注意题干和正确答案的对偶词的对应:

答案是D。

【例2-45】 林园小区有住户家中发现了白蚁。除非小区中有住户家中发现白蚁,否则任何小区都不能免费领取高效杀蚁灵。静园小区可以免费领取高效杀蚁灵。

如果上述断定都真,则以下哪项据此不能断定真假?

Ⅰ.林园小区有的住户家中没有发现白蚁。

Ⅱ.林园小区能免费领取高效杀蚁灵。

Ⅲ.静园小区的住户家中都发现了白蚁。

A.只有Ⅰ和Ⅲ。

B.只有Ⅰ和Ⅱ。

C.只有Ⅱ和Ⅲ。

D.Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。

E.Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ都能断定真假。

【解析】 题干作了如下三个断定:

断定一:林园有住户发现白蚁。

断定二:¬有住户发现白蚁→¬可领取杀蚁灵

=可领取杀蚁灵→有住户发现白蚁

断定三:静园可领取杀蚁灵。

和选项Ⅰ相关的是断定一。由断定一真,不能断定选项Ⅰ的真假,这是根据对当关系。

和选项Ⅱ相关的是断定一和断定二。但由这两个断定的真,不能断定选项Ⅱ的真假。这是根据“→”的推理规则。

和选项Ⅲ相关的是断定二和断定三。由这两个断定的真,可推出“静园小区有住户家中发现白蚁”真,但由“静园小区有住户家中发现白蚁”真,不能确定选项Ⅲ的真假,这是根据对当关系。答案是D。

【例2-46】 甲说:“我班所有同学都已申请了贷款。”

乙说:“如果班长申请了贷款,那么学习委员就没申请。”

丙说:“班长申请了贷款。”

丁说:“我班有人没有申请贷款。”

已知四人中只有一人说假话,则可推出以下哪项结论?

A.甲说假话,班长没申请。

B.乙说假话,学习委员没申请。

C.丙说假话,班长没申请。

D.丁说假话,学习委员申请了。

E.甲说假话,学习委员没申请。

【解析】 甲的断定是全称肯定命题,丁的断定是特称否定命题,互相矛盾,必有一假。因此,乙和丙说的是真话。可得:班长申请了贷款;学习委员没申请。因此,甲说的是假话。答案是E。

【例2-47】 某旅游团去商店购买纪念品。已知:

Ⅰ.有人买了蒙古刀。

Ⅱ.有人没有买蒙古刀。

Ⅲ.该团的张先生和王女士都买了蒙古刀。

如果以上三句话中只有一句为真,则以下哪项肯定为真?

A.张先生和王女士都没有买蒙古刀。

B.张先生买了蒙古刀,但王女士没有买蒙古刀。

C.该旅游团的李先生买了蒙古刀。

D.张先生和王女士都买了蒙古刀。

E.以上断定都不一定为真。

【解析】 Ⅲ不可能真,否则Ⅰ和Ⅲ都真,违反条件。

因此有:¬(张买刀∧王买刀)=¬张买刀∨¬王买刀

可得:Ⅱ真。

因此:Ⅰ假。

可得“所有人都没买刀”。

因此有“张先生和王女士都没有买蒙古刀”。答案是A。