1.2 国内外研究概况

对基于仿真的结构优化方法的研究涉及结构优化和基于仿真的优化两个方面。

1.2.1 结构优化研究概况

结构优化的研究内容涉及子结构法、结构灵敏度计算、等效静态载荷法、谱元法及结构动态响应优化。

1）子结构法

结构优化设计是建立在精确的结构数学模型基础上的，而对于大型复杂结构，其动态响应还是以试验结果为准。对振动试验计算机仿真的研究难度很大，其核心问题是如何得到准确的振动响应。振动响应计算比静力计算、振动特性计算等难度都大得多。当前迫切需要提高大型复杂结构动态响应的计算精度与计算效率，子结构法是最合适的选择。

子结构法充分利用各个子系统的动态特性，以简便的计算过程获得可靠的原系统动力特性参数或动态响应，它是解决大型复杂结构动力分析的有效计算方法。根据采用的边界条件不同，子结构法可分为四大类［4］：约束子结构法［5］、自由子结构法［6］、混合子结构法［7］和载荷子结构法［8］。在20世纪60年代初，Hurty［9］首先提出模态综合法的概念，并建立约束模态综合法的基本框架，半个多世纪以来，模态综合法取得了很大的进展，其方法已定性化并已成为结构动态分析的一种常规方法。2000年，Craig［5］在Hurty的基础上进行了改进，形成约束子结构法。固定界面模态综合法是指在子结构的全部界面上附加约束，该方法在子结构的对接界面坐标中，不再区分静定约束坐标和赘余约束坐标，这使得固定界面模态综合法得到了广泛应用。自由界面子结构模态综合法是指以子结构的自由界面保留主模态集为其中一个子集，切断界面上的连接，将整体系统划分为空间中毫无关联的若干个子结构，然后利用相邻部件之间的界面位移协调及界面力的平衡条件，将之前完全释放的连接界面连接成一个整体。由于自由界面子结构模态综合法比较符合当前动态测试水平的要求，当需要通过试验来校核解析模型的可靠性时，这种方法很有吸引力。自由界面子结构模态综合法不仅计算精度优于固定界面子结构模态综合法，而且不受子结构界面坐标数目的限制，但是该方法复杂。混合界面子结构模态综合法是为了克服上述两种方法的缺点提出的。载荷子结构法改善了低阶模态的精度，但是随着模态数量的增加，其精度也将下降。以上述方法为基础还发展了很多其他方法，并得到了广泛应用［10］［11］。

子结构法是一种通过对求解模型分块处理来降低仿真计算求解时间的高级有限元分析方法，只要分块合理并建立模型的子结构数据库，便能极大地提升求解效率。

张焰等人［12］将子结构法用于对汽车车架的降噪分析，求解效率提升了94%。高鹏飞等人［13］应用ANSYS前处理模块对活塞内冷油腔进行分离，使用子结构法中超级单元的思路对活塞的机械应力及温度分布进行分析，通过与传统计算方案对比，验证了子结构法在活塞结构强度校核及温度分布方面应用的高效性及准确性。高鹏飞等人［14］为了提升活塞结构优化设计的求解效率，首次将子结构法引入结构的优化设计中，以某增压柴油机活塞为研究对象，研究结果显示，其优化迭代收敛时间减少了74.14%。在实际问题中，常常需要对模型的某些局部特征进行优化设计，为了克服传统意义上建模和优化效率低、参数化信息易丢失等缺点，刘波等人［15］充分运用三维CAD软件和CAE软件的优点，以Pro/ENGINEER软件和ANSYS自身的脚本语言APDL为平台进行模型参数化建立，并提出了三种面向局部特征优化的参数化设计方法。李芸等人［16］将子结构法运用到大底盘双塔连体结构中，通过对其进行结构静力学分析及模态分析，充分展现了子结构法在大型复杂模型仿真计算应用中的优势。柴国栋等人［17］应用ANSYS中的子结构模块对电子设备箱进行模态分析，并寻求提升整体结构刚度的方法。张明明等人［18］将子结构法运用到柴油机曲轴的有限元仿真分析中，通过对曲轴进行子结构划分及子结构数据库建立，组合出柴油机曲轴的子结构有限元模型，对其进行结构静力学分析及模态分析，并与传统有限元算法进行对比，发现两种计算方法的误差不超过工程上的误差允许范围，再一次证明了子结构法在结构有限元仿真计算领域的可行性。丁阳等人［19］将子结构法引入钢框架结构抗倒塌性能的评估中，通过对两个五层钢框架结构的抗倒塌评估可以证明该思路的高效性及准确性。丁晓红等人［20］在对汽车座椅骨架进行拓扑优化设计时引入了子结构的思想，通过逐步逼近的方法得到了座椅骨架的最优结构，缩小了该座椅骨架的体积。张盛等人［21］通过对比多重多级子结构法与模态综合法在结构模态分析计算中的精度，证明多重多级子结构法更加高效准确，在结构的高阶频率计算方面表现良好。张帆等人［22］在对客车车身进行拓扑优化的过程中引入子结构法，将不参与优化的部分设计成一个子结构，并通过适当的方式与待优化部分进行节点连接，缩减了整体计算模型的矩阵阶数，提升了车身拓扑优化设计的效率。李志刚等人［23］将高架铁路浮桥进行子结构划分，重组计算后也证明了子结构法的高效性。笔者对模型采用基于梯度的序列二次规划法进行求解，以某柴油机活塞连续结构为例进行分析优化，并从收敛性和高效性方面与传统优化方法进行比较，证明该方法的优越性［24］。

另外，笔者研究了多领域仿真优化中SQP算法的并行处理与调度策略，提出了基于多领域仿真的SQP算法并行优化问题中的抽象调度模型，即等式约束离散变量优化模型，并对算法理论的可行性做了深入探讨；采用机群系统构建了并行仿真优化环境，在自主研发的多领域统一建模与仿真平台MWorks下实现并行优化模块［25］。

大型复杂结构动力学分析需要对拥有大量自由度的模型进行计算，在高频激励力作用下，要求计算步长非常小，导致计算耗时指数级增加。为了提高计算效率，可在保证一定精度的情况下，用少自由度模型代替多自由度模型，即模型缩减。所谓模型缩减，是通过一定的变换，将对总体结构动力学分析影响较小的次自由度，用对总体结构动力学分析影响较大的少量自由度表示，以达到减小计算规模的目的，其中少量自由度就是PDOFs。然而如何从庞大的自由度中选择PDOFs，目前在结构动力学领域仍属极具挑战的问题。

不过目前学术界提出了一些选择PDOFs的原则，最具代表性的有：①将结构振动方向定为PDOFs；②在质量或转动惯量相对较大而刚度相对较小的位置选择PDOFs；③在施加力或非零位移的位置选择PDOFs，这些原则仅仅是指导思想，具体选择PDOFs时，随意性较大。PDOFs的位置和数目直接影响模态分析的精度。Jeong等人［26］提出了一种阻尼系统基于自由度能量分布比率的PDOFs选择方法，为了估计结构的能量分布，采用双边Lanczos算法得到里兹向量，利用获得的里兹向量计算能量分布矩阵，将DOFs对应的最低的瑞利商作为PDOFs。Kim等人［27］提出了一种用于特征问题缩减的自由度分析选择方法，该方法根据结构系统模态自由度相关的能量进行选择，将能量分布矩阵加权行的值作为选择PDOFs的有效准则。Cho等人［28］提出了一种单元级的能量估计方法，构建了一个小规模的有限元模型，通过里兹向量来计算每个单元的能量，将该能量值排序，并把小的能量值作为PDOFs。

2）结构灵敏度计算

在结构优化中，灵敏度计算需要非常多的资源，因此有很多关于灵敏度计算效率的研究。灵敏度计算有三种方法，即有限差分法、基于离散方程的分析法和基于连续方程的分析法。其中，基于离散方程的分析法又分为分析法和半分析法，而基于连续方程的分析法基本上是完全分析法。分析法又包括直接差分法和伴随变量法。

在有限差分法中，中心差分法是最常用的一种，其中，目标函数和约束函数的灵敏度可表示为

式中，b为设计变量向量，ξ为特征值，z为节点位移向量。

当然，除了中心差分法，还有向前差分法和向后差分法，但中心差分法精度最高。有限差分法处理简单，而且可以采用现有仿真软件，通过将仿真模型看作一个黑箱函数来获得。但这种方法非常耗资源，特别是当需要反复进行有限元分析时。

当仿真代码计算耗费时间很少时，有限差分法是最好的灵敏度计算方法。然而，对于工程问题，仿真一般都采用商业有限元软件，此时分析法更适用。基于离散方程的分析法可以表示为

在式（1.2）中，最难计算的是，尤其是的计算很耗时。计算有两种方法，即直接差分法和伴随变量法。后者引入一个伴随方程，此时有

在优化过程中，伴随变量法需要求解的次数和被激活的约束个数相等。而直接差分法的求解次数和设计变量的个数相等。因此，评判两者的有效性需要具体问题具体分析。

在分析法中，质量矩阵和刚度矩阵的差分计算是最困难的。商业软件中对质量矩阵和刚度矩阵的计算通常采用基于有限元的有限差分法，然而其精度依赖于扰动尺寸的大小，特别是在大型复杂结构形状优化中，更是如此。基于连续方程的分析法是从积分公式开始，表示为

式中，，计算δz至关重要。基于连续方程的分析法同样也分为直接差分法和伴随变量法两种。

由于半解析灵敏度分析（SAM）法结合了分析法的精度和有限差分法的高效性，而且适合在商业软件中应用，因此该方法一直是研究热点。1973年，Zienkiewicz和Campbell［29］提出了半解析灵敏度分析法。之后Barthelemy等人［30］和Pauli［31］在研究中发现，半解析灵敏度分析法在某些应用中出现了不精确的现象。为了解决这个问题，Olhoff等人［32］提出中间差分方案来求解刚度矩阵的微分。1993年，Cheng和Olhoff［33］研究发现了半解析灵敏度分析法存在不精确现象的真正原因，即当单元中存在刚体运动时，就会表现出不可靠的精度，其本质是刚体运动与截断误差直接相关。从这个原因出发，Keulen和Boer［34］提出了精细的半解析灵敏度分析（RSAM）法，它基于精确的刚体模态差分来消除由刚体模态导致的灵敏度误差。然而，当扰动尺寸比较大时，RSAM法也不能获得足够的精度。因此，在半解析法中，需要考虑高阶项，在高阶项的扩展中逆矩阵可以通过Neumann级数展开［35］，同时对基于模态分解的RSAM也进行了一定研究，并描述了其在非线性结构分析中的应用。Cho和Kim［36］结合模态分解及Neumann级数展开研究了RSAM法。

3）等效静态载荷法

等效静态载荷法是将在等效静态载荷作用下的结构位移场与在动态载荷作用下某一时刻的位移场等效［37］，研究人员在前期研究中将等效静态载荷的概念进行了扩展：等效静态载荷不仅要代替动态载荷作用下产生的位移场，而且要代替体积应变能，也就是说其代替效果包含位移场和体积应变能。在等效载荷思想的驱动下，演化出两类方法：①基于时间关键点的等效静态载荷的结构动态响应优化；②基于所有结构动态分析时间步或设计者指定时间细分点结构等效静态载荷的结构动态响应优化。后者考虑了所有可能，将结构动态分析的每一步或设计者指定时间细分点的每一点都等效为一组静态载荷。对于过小的载荷步来说，该方法耗时太长，而对于稍大的载荷步来说，结构动态响应分析的相对精确性会受到一定影响。当然，如果有足够好的计算环境，这个问题影响不大。如果采用设计者指定的时间细分点，虽然不存在精度问题，但存在如何细分等问题。无论哪种方式，当考虑所有的时间点时，都存在庞大的约束条件和载荷状态，这给优化算法带来了极大挑战。笔者研究了如何高效识别关键时间点［38］，在关键点时刻，通过体积应变能等效将动态载荷更加合理地转化为静态载荷［39］，然后应用SQP多初始点方法求解，使其较好地收敛。然而，在该研究中没有考虑载荷位置矢量，即没有考虑等效静态载荷作用位置，只是将等效静态载荷作用在动态载荷作用的位置或凭经验应该加载荷的位置，这无疑存在一定的随机性。并且等效静态载荷作用的位置不同，再加上其取值空间的不确定性，所需计算时间与获得的结果自然不同。而且求解等效静态载荷的本质是一个优化问题，这样以等效静态载荷作为设计变量的优化需要确定其取值空间，这又存在一定的随机性，这些随机性会导致结果具有不确定性，而且求解等效静态载荷很耗时。针对结构动态分析的复杂性和等效静态载荷转化的不确定性，笔者提出基于模态叠加的所有节点等效静态载荷法，并将其应用到动态响应优化中，对124杆桁架结构进行动态响应尺寸优化和对18杆桁架结构进行尺寸与形状混合优化设计的结果表明，该方法是可行的和有效的［40］。针对结构动态响应优化中动态分析的复杂性与高耗时问题，笔者提出了基于全局动态应力解空间谱单元插值的关键时间点识别方法，找到了结构动态响应下最危险的时刻。具体来说，首先，利用模态叠加法，获得结构的模态应力分布，并计算全局动态应力解空间；然后，利用谱单元离散动态应力绝对极大值点曲线，采用Lagrange插值并调用区域细分全局优化求解器，找到全局动态应力的极大值与极小值，即得到关键时间点［41］。

4）谱元法

谱元法（Spectral Element Method，SEM）基于弹性力学方程弱形式基础，在有限单元上进行谱展开，该方法具备有限元方法适应任意复杂介质模型的韧性和谱方法的精度，又称为高阶有限元方法或谱方法的域分解。

Patera于1984年提出谱元法［42］，并应用于流体动力学，其将有限元方法的处理边界和结构的灵活性与谱方法的快速收敛性结合起来。在相同精度的情况下，谱元法采用了较少的单元，减小了计算开销。谱元法包括空间谱元法、时间谱元法和空间-时间谱元法。空间谱元法利用区域嵌入技术，将实际问题中复杂的几何区域嵌入规则的矩形区域中，构造适当的谱元空间（相当于有限元方法的有限元空间），解决了谱方法对区域的要求［43］。时间谱元法则在有限元空间的基础上构造谱时间单元，然后在每个单元内进行插值，最后求解线性方程组。空间-时间谱元法是在一个谱单元内，将空间或时间离散为与GLL多项式零点或Chebyshev多项式零点相对应的网格点，在这些点上进行Lagrange插值［44］。从理论上来说，在一定点数上插值，当这些点是对应的正交多项式的零点时，获得的插值精度最高［45］。

关于谱元法的许多工作都取得了一定的进展。谱元法广泛应用于可压流体和不可压流体的数值模拟［46］。Pathria［47］采用谱元法解决了非光滑域的椭圆问题。Hesthaven［48］提出了使用开边界条件区域分解的谱方法。M.H.Kurdi［44］将时间谱元法用于常微分方程的整体求解，笔者［45］在M.H.Kurdi工作的基础上，将时间谱元法用于结构动态响应仿真。波的传播［49］为了扩展谱元法的适应性，针对承受冲击载荷的结构动态响应问题，从谱单元离散方案出发并根据冲击载荷的特点，以冲击载荷最大值点为中心将谱单元尺寸按一定比例等比例向两侧扩大，实现单元尺寸与载荷特征相适应。在此基础上，将动力学方程转化为一阶线性微分方程组，通过Bubnov-Galerkin法获得离散线性方程组并采用高斯消元法求解。将其与等距谱元法进行比较，可证明该方法的可行性和有效性［50］。笔者研究了用Chebyshev时间谱元法求解任意载荷作用下的振动问题，从Bubnov-Galerkin法出发，在第二类Chebyshev正交多项式极点处重心Lagrange插值来构造节点基函数并分析其特性，推导了任意载荷作用下振动问题的Galerkin谱元离散方案，利用最小二乘法求解线性方程组；以线性载荷、三角载荷、半正弦波载荷作用下的振动问题及正弦载荷作用下的悬臂梁振动问题为例，验证了该方法的可行性，并与配点法进行比较，进一步说明了该方法的高精度性和可靠性［51］。笔者还研究了用Chebyshev时间谱元法求解非线性振动问题，从Bubnov-Galerkin法出发，在第二类Chebyshev正交多项式极点处重心Lagrange插值来构造节点基函数并分析其特性，推导了非线性振动问题的Galerkin谱元离散方案，利用Newton-Raphson法求解非线性方程组；对于非线性单摆，还需要将二分法和重心Lagrange插值结合来求解角频率；以Duffing型非线性振动和非线性单摆振动问题为例，表明了该方法的可行性和高精度［52］。针对结构动态响应方程自由度很大，而谱元法是大自由度的矩阵与整体时间矩阵张量的乘积，求解起来非常耗内存和时间的问题，笔者提出了逐步时间谱元法。将仿真时间划分为很小的时间段，在每个时间段内划分单元，并在每个单元中采用谱展开近似，这样处理具有有限元处理复杂结构及边界的灵活性、谱方法的高精度及快速收敛、逐步划分仿真时间的高效性等特点［53］。针对传统结构动态响应优化方法的不足，笔者提出了元模型混合自适应优化与时间谱元法相结合的方法，从Bubnov-Galerkin法出发，深入探讨时间域内的离散动态响应，将整体结构动力学方程转化成代数方程组，精确、高效地求解动态响应；依据优化问题的特点，采用自适应策略选择对应的元模型进行优化；在优化过程中利用均匀网格获取有潜力点的数量，并将局部优化与多元模型混合自适应方法融合，使得优化结果更可靠。为了处理与时间相关的约束，笔者提出将关键点及其相邻Gauss-Lobatto-Legendre点组成集合的关键点集方法。但不论是精确性还是效率，元模型混合自适应优化与时间谱元法相结合的方法都更优于关键点集方法［54］。

谱元法的精度既可以通过增加每个单元上谱方法的自由度实现，也可以通过增加单元的数目来实现，最好的情形是每个单元上的自由度可以自由调节而不会相互制约，这样的谱元法才具有足够的灵活性。

一般地，采用时间谱元法求解结构动力学方程是不合适的，原因在于：如果离散的单元过多，则解线性方程组的过程费时并影响其应用；如果离散的单元过少，则动态响应不够准确，难以满足工程要求。另外，由于结构有限元离散后，自由度一般非常大，而时间谱元法求解结构动力学方程需要矩阵求逆运算，因此工程应用困难。解决此问题的方法是采用时间分段求解，并且在每一段中采用逐元技术［55］，然而，这样也不能从根本上解决其工程应用问题。在工程结构动力学分析中，结构单元数比较多，逐元技术每一单元的矩阵求逆运算也阻碍了它的工程应用。

5）结构动态响应优化

20世纪60年代，Niordson［56］提出了结构动态特性优化的概念并进行了相应的研究，从此拉开了结构动态优化——结构动态特性优化的序幕。早期的结构动态特性优化方法是分布参数结构优化方法，属于解析法，由于该方法中偏微分方程求解困难，因此只适用于一些简单的结构，对于大型复杂结构无能为力。随后，准则法和数学规划法得以发展，目前这部分内容已经比较成熟。

在结构设计中，精确获得外部载荷非常关键，但是在多数状况下困难重重，因此，一般先设置某个静态载荷进行静态优化设计。从严格意义上来说，结构所受载荷都是动态的。动态因子法可以将动态优化问题转化为静态优化问题，可是这样处理往往会造成结构过设计或欠设计，所以结构动态优化直接采用动态载荷更为合理［57］。

Wang等人［58］应用数学规划方法对动态载荷作用下的平面正交钢框架结构进行了优化设计，在优化时以结构固有频率不小于一定值、最大动位移和动应力不大于一定值为约束条件，以结构总质量为优化目标，但没有考虑结构阻尼。另外，其研究发现，结构参数的可行域在对其进行动态响应优化设计时一般是不连续的。秦健健等人［59］针对某柴油机连杆质量过大的问题，采用基于ANSYS的有限元结构仿真分析方法，利用APDL语言建立了柴油机连杆的有限元模型，在有限元分析的基础上，利用ISIGHT集成优化软件结合多岛遗传算法对连杆杆身进行优化设计，从而使杆身的质量降低了6.02%。Lin等人［60］使用单元重构法和结构形状渐进算法，对同时具有静态约束和动态约束的结构尺寸和节点坐标进行了有效的优化设计。Pantelides等人［61］针对其在优化时初始设计点为非可行点，使用一般优化方法不一定能收敛于全局最优解的缺点，将MISA算法（改进的模拟退火法）应用于同时考虑结构动位移和动应力约束的结构动力优化问题，并将MISA算法与一般优化方法进行综合比较，验证了MISA算法的优势。Min等人［62］利用均匀化和直接积分方法对冲击载荷作用下的薄板结构进行拓扑优化设计，此项工作具有一定的前瞻性和开创性。Du等人［63］与以往考虑固有频率和动响应位移的动力优化不同，他们主要考虑如何降低结构的声辐射强度，在分析中忽略结构与声传播媒介的耦合作用，在简谐激励力的作用下，计算分析其结构参数的灵敏度，在此基础上成功进行了振动结构的拓扑优化。

概括起来，结构动态响应优化设计分为三个研究方向：①与时间相关约束的处理；②灵敏度分析；③近似。笔者所在课题组对①和③两个方向进行研究，提出基于GLL点集的处理与时间相关约束的方法［45］［63］［64］。该方法采用满足精度要求的较少谱单元求解运动微分方程，在每个单元内，对其高次Lagrange插值函数进行一维搜索找到单元绝对值极值点，将所有单元响应绝对最大值及其相邻的2个GLL点作为约束，将最大值附近的其他一些点包含其中，构成GLL点集约束。构件在动态载荷作用下产生的位移非常小或仅仅考虑某一方向的位移时，其几何形状或尺寸或多或少都会发生变化，这时构件内部每个单元体都会因动态载荷作用引起形状的相对改变，笔者所在课题组将动态载荷变化和体积应变对应起来，提出了等效体积应变静态载荷法［65］，推导了以静态载荷作用的体积应变和动态载荷变化的函数关系，实现等效体积应变。

1.2.2 基于仿真的优化研究概况

仿真优化迭代过程中需要调用仿真程序来计算目标函数和约束函数的值。响应面方法是提高仿真优化效率的有效途径。响应面（Response Surface）是指输出响应变量Y与一组输入变量（x1，x2，…，xn）之间的函数关系。通常，响应面反映的是某个计算密集的复杂原模型（如多领域仿真模型、FEA模型、CFD模型等）的近似模型。因此，响应面又称为代理模型（Surrogate）或元模型（Meta-model），即模型的模型。

响应面方法（Response Surface Method，RSM）是指通过构造原模型的响应面来解决原模型的设计或分析等问题的近似方法。据报道［66］，福特汽车公司进行一次汽车碰撞模型的仿真分析需要36～160小时。要实现该模型两个变量的设计优化，假设平均需要50次迭代寻优，而每次迭代需要进行一次仿真计算，则获得该优化问题的解需要75天至11个月。同样，要实现FEA模型或CFD模型的设计优化可能需要更长的时间。这在实践中几乎是不可接受的。因此，在过去的20年中，响应面方法应运而生，而且得到了快速发展。该方法能够减少优化迭代过程中原模型的仿真次数，而且响应面都是基于采样点数据构造的，而采样点估值计算都是彼此独立的（传统的优化迭代过程是序列估值的），可以方便地通过并行计算来获得，因此，该方法可以大大提高复杂分析模型的设计优化效率。

根据文献［［67］，［68］］，RSM的作用包括以下4个方面：

（1）模型近似：这是RSM的基本功能。建立一个复杂原模型在其全局定义域内的响应面近似模型，可以利用该近似模型实现新未知设计点的快速估值。

（2）设计空间探索：基于建立的响应面模型可以帮助工程师或设计人员进行参数试验、灵敏度分析，以及响应变量与输入参数之间的函数关系可视化，从而帮助工程师更好地理解原模型的特性。

（3）优化问题的准确表达：基于对响应面模型的设计空间探索，特别是灵敏度分析，可以帮助设计人员构造更加准确的设计优化问题。例如，可以从设计变量集合中剔除那些非敏感的参数，从而减少设计变量的维数。根据参数试验也可以缩减搜索区间，从而减少采样区间，进而减少优化迭代次数。同样地，通过分析，一个多目标设计优化的问题可能简化成单目标优化问题；而是一个简单的单目标设计优化问题，通过设计空间探索，可能需要建立多目标设计优化问题才能解决。

（4）优化方法的支持：这是目前RSM的主要应用领域。利用建立的响应面模型可以辅助完成各种涉及原模型仿真的设计优化问题，如全局优化、多领域仿真优化、多目标优化、多学科设计优化及概率设计优化，包括可靠性优化、稳健优化等。

响应面方法中的一个重要环节是构造响应面模型。响应面模型种类较多，分别适合不同的需求，常用的有多项式回归（Polynomial Regression Surrogate，PRS，通常称为RSM模型）、Kriging插值模型、径向基函数（Radial Basis Functions，RBF）模型、支持向量回归（Support Vector Regression，SVR）模型、神经网络（Neural Network，NN）模型，以及基于RBF和NN混合的RBNN模型；还有基于样条的多元自适应回归样条（Multivariate Adaptive Regression Spline，MARS）模型、BMARS（B样条MARS）模型和NURBs模型，还有归纳学习（Inductive Learning）模型、最小插值多项式（Least Interpolating Polynomial，LIP）模型等。

要构造一个响应面模型，第一步是在设计空间内采样，形成设计点集S；再进行仿真计算（也称“昂贵”计算，Expensive Calculation）获得响应数据集Y；最后根据不同的算法由S和Y构造不同的响应面模型。试验设计方法提供了各种采样策略，主要包括两大类：边缘分布型和全空间分布型（Space Filling）。边缘分布型也称经典采样方法，利用该方法采样，其采样点主要分布在设计域的边界附近，典型的边缘分布型采样方法有：全因子/部分因子试验（Full/Fractional Factorial Design）、中心复合试验（Center Composite Design，CCD）、Box-Behnken等，还有Taguchi、D-Optimal、Plackett-Burman等方法。全空间分布型是指采样点布满整个设计域，该类型的采样方法有：简单网格、拉丁超立方设计（Latin Hypercube Design）、正交表（Orthogonal Array），还有随机采样、一致设计（Uniform Design）、混杂网络（Scrambled Nets）、蒙特卡罗仿真和Hammersley序列设计等。

一般地，通过一次采样构造一个响应面模型是不合适的，原因在于：如果采样点过多，则构造过程费时且可能影响使用；如果采样点过少，则构造的响应面模型不够准确，难以满足应用需求。另外，由于原模型的性态未知，难以确定合适的采样方法。解决此问题的方法是基于序列自适应采样来构造序列响应面模型。序列自适应采样的主要思想是根据近似值与真实值之间的误差来确定采样点的疏密。序列探索试验设计（Sequential Exploratory Experiment Design，SEED）［69］方法是此类试验设计方法的代表，i-Sight软件中使用模拟退火算法来进行自适应采样。

在使用响应面方法解决实际工程问题时，须综合考虑如下5个方面的因素：

（1）响应面的精确度。毫无疑问，响应面模型的精确度是近似的基本要求。

（2）原模型的仿真估值次数，即构造响应面模型所需的总采样点数目。由于每次估算的计算费用较高，需要限制原模型的仿真次数。在相同精度下，原模型仿真估值次数越少，则该响应面模型构造效率越高。

（3）构建和优化响应面的时间。如前所述，响应面模型的构造往往是一个逐步精细的过程，序列自适应采样构造逐步精细的响应面模型是目前响应面方法的一个研究热点，特别是在采样点逐步增多的情况下，如何快速更新响应面模型以实现其增量构造算法是各种响应面方法值得探索的课题。

（4）响应面模型占用的存储空间。显然，响应面模型本身所占的内存空间越大，则构造过程越慢，利用其进行估值也越慢。因此，在同等情况下，响应面模型本身所含的信息越少，也即所占的内存空间越小越好。

（5）利用响应面模型对给定点估值的速度。建立响应面模型的最终目的是使用其进行估值，而且通常这个估值过程被称为“便宜计算”（Cheap Calculation），因此，在应用如优化迭代过程中被大量执行。可见，如果对给定点的估值速度太慢，就会使理想的“便宜计算”变得不“便宜”。