第三节 切 割 体
在物体上经常出现平面与平面立体表面相交或与回转体表面相交的情况。交线是平面与立体表面的共有线。绘图时，为了清楚地表达物体的形状，必须正确地画出其交线的投影。平面与立体表面的交线在一般情况下是不能直接画出来的，因此必须先设法求出属于交线上的若干个点，然后把这些点连接起来。
当平面切割立体时，与立体表面所形成的交线称为截交线；切割立体的平面称为截平面；因截平面的截切在立体表面上被截交线围成的平面称为截断面。
一、平面切割平面立体
平面立体被截切产生的截交线是由直线组成的平面多边形。多边形的边是立体表面与截平面的交线，而多边形的顶点则是立体棱线与截平面的交点。截交线既在立体表面上，又在截平面上，所以它是立体表面和截平面的共有线，截交线上的每一点都是它们的共有点。因此，求截交线实际上是求截平面与平面立体棱线的交点，或求截平面与平面立体表面的交线。
（1）截交线的性质 平面立体被平面截切时，立体表面形状的不同和截平面相对于立体的位置不同， 所形成截交线的形状也不同，但任何截交线均具有以下两个性质：
①封闭性——截交线是封闭的平面多边形；
②共有性——截交线是截平面与立体表面的共有线。
（2）画截交线的一般方法
①空间分析。分析截平面与立体的相对位置，确定截交线的形状；分析截平面与投影面的相对位置，确定截交线的投影特征。
②画投影图。求出平面立体上被截断的各棱线与截平面的交点，然后顺次连接各点成封闭的平面图形。求各棱线与截平面的交点的方法叫做棱线法。
1.平面切割棱柱
【例3-6】 如图3-17（a）所示，已知正五棱柱被正垂面截切掉左上方的一块，被切割掉的部分用双点画线表示，完成立体被截切后的三面投影。
图3-17 平面切割正五棱柱的三视图
解：
（1）分析 由图可知，正五棱柱被正垂面截切，截交线的正面投影积聚为一条直线。水平投影除顶面上的截交线外，其余各段截交线都积聚在正五边形上。
（2）作图步骤 画出正五棱柱轮廓线的侧面投影，由截交线的正面投影可得截平面的各个顶点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ的正面投影1'、2'、3'、4'、5'，在水平面和侧面相应的棱线上求得Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ的水平投影1、2、3、4、5，侧面投影1″、2″、3″、4″、5″，依水平投影的顺序连接侧面投影各交点，可得截交线的投影。正五棱柱轮廓线的侧面投影被截去的部分用双点画线表示。
（3）判别可见性 俯视图、左视图上截交线的投影均为可见，在左视图中右后棱线的投影不可见，应画成虚线。作图步骤如图3-17（b）所示。
2.平面切割棱锥
【例3-7】 如图3-18（a）所示，已知正三棱锥被正垂面截切，求截切后的水平投影和侧面投影。
图3-18 平面切割正三棱锥的三视图
解：
（1）分析 截平面为正垂面，截交线的正面投影积聚为直线。截平面与三条棱线相交，从正面可以直接找出交点，交点的另外两面投影必在各棱线的同面投影上。
（2）作图步骤 在正面投影中相应的棱线上求出截平面与棱线的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影1'、2'、3'，在侧面相应的棱线上求得Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的侧面投影1″、2″、3″，根据点的投影规律，可以作出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的水平投影1、2、3，判断可见性后，依次连接各点的同面投影，即得截交线的三面投影。作图步骤如图3-18（b）所示。
二、平面切割回转体
平面与回转体相交，截交线通常是一条封闭的平面曲线。截交线的形状与回转体的几何性质及其与截平面的相对位置有关。
（1）截交线的性质 平面切割回转体产生的截交线有如下性质：
①截交线是截平面和回转体表面的共有线，截交线上有点是它们的共有点；
②截交线是封闭的平面图形；
③截交线的形状，取决于回转体的几何性质及截平面对回转体轴线的相对位置。
（2）求截平面的方法和步骤 截交线上有一些能确定其形状和范围的特殊点，包括转向轮廓线上的点（可见与不可见的分界点）和极限位置点（最高、最低、最左、最右、最前、最后点）等，其他的点为一般点。求截交线时，通常先作出这些特殊点，然后按需要再求作若干一般点，最后依次光滑连接各点的同面投影，并判别可见性。当截平面为特殊位置平面时，截交线的投影就积聚在截平面具有积聚性的同面投影上，可利用在回转体表面上取点的方法求作截交线。
具体步骤如下：
①分析回转体的几何性质、截平面与投影面的相对位置、截平面与回转体轴线的相对位置，初步判断截交线的形状及其投影；
②求出截交线上的点，首先找特殊点，然后按需要再补充若干一般点；
③补全轮廓线，光滑地连接各点并判别可见性，求得截交线的投影。
1.平面切割圆柱体
平面与圆柱体相交，截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置。平面截切圆柱体截交线的形式有三种，见表3-1。
表3-1 平面与圆柱体相交
【例3-8】 如图3-19（a）、（b）所示，已知斜切圆柱体的水平投影和侧面投影，求作其正面投影。
解：
（1）分析 圆柱的轴线是铅垂线，截平面为侧垂面，斜切圆柱体的截交线为椭圆。
截交线的侧面投影积聚为直线，水平投影积聚在圆周上，正面投影为椭圆。
（2）作图步骤
①求特殊点。截交线最前素线上的点Ⅰ和最后素线上的点Ⅲ 分别是截交线的最低点和最高点。截交线最右点Ⅱ和最左点Ⅳ分别是最右素线和最左素线与截平面的交点。作出点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的侧面投影1″、2″、3″、4″，根据从属关系求出点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的水平投影1、2、3、4和正面投影1'、2'、3'、4'。如图3-19（c）所示。
②求一般点。从侧面投影上选取点A、B、C、D的侧面投影a″、b″、c″、d″，然后根据俯、左视图宽相等，前后对应的原则，求得点A、B、C、D的水平投影a、b、c、d，根据点的投影规律，求出点A、B、C、D的正面投影a'、b'、c'、d'。如图3-19（d）所示。
③按截交线的顺序，光滑地连接各点的正面投影。正面投影的轮廓线画到2、4为止，并与椭圆相切，如图3-19（e）所示。
图3-19 斜切圆柱体的截交线
【例3-9】 如图3-20（a）所示，已知带切口圆柱体的正面投影和水平投影，求作其侧面投影。
解：
（1）分析 圆柱体上部被四个截平面截切，下部被三个截平面截切，为左右对称的图形。其中竖直的四个面是平行于圆柱轴线的侧平面，它们与圆柱面的截交线为两条铅垂线，与顶面的截交线为正垂线。其余三个截平面是垂直与圆柱轴线的水平面，它们与圆柱面的截交线为圆弧。侧平面与水平面间产生的交线均为正垂线。
（2）作图步骤 在正面和水平面上找出点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ的正面投影和水平投影1'、2'、3'、4'、5'、6'、7' 和1、2、3、4、5、6、7，根据点的投影规律作出点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ的侧面投影1″、2″、3″、4″、5″、6″、7″，按顺序依次连接各点，如图3-20（b）所示。
（3）判别可见性 圆柱下部截平面交线的侧面投影为不可见，应画成虚线。擦去不必要的图线，校核加深，如图3-20（c）所示。
图3-20 带切口圆柱体的投影
【例3-10】 如图3-21（a）所示，已知圆柱体被三个平面截切后的正面和侧面投影，求其水平投影。
解：
（1）分析 圆柱的轴线是侧垂线，截断体分别被侧平面、正垂面、水平面截切圆柱体而成。侧平面与圆柱轴线相垂直，截交线为圆弧，其正面投影、水平投影均为直线，侧面投影为圆弧。正垂面与圆柱轴线相倾斜，截交线为部分椭圆，正面投影为直线，侧面投影与圆重合，水平投影为椭圆弧。水平面与圆柱轴线相平行，截交线为矩形，水平投影为矩形，正面投影、侧面投影均为直线。
（2）作图步骤
①求特殊点。侧平面截切圆柱所形成截交圆弧的最高点Ⅰ和前后两端点Ⅱ、Ⅲ的侧面投影1″、2″、3″和正面投影1'、2'、3' 可直接求出，并根据两面投影求出其水平投影1、2、3。Ⅱ、Ⅲ点也是部分椭圆的两个端点，另外两个端点Ⅳ、Ⅴ正面投影4'、5' 和侧面投影4″、5″可直接求出，并根据两面投影求出其水平投影4、5。点Ⅵ、Ⅶ是部分椭圆短轴的端点，也是截交线的最前点和最后点。其正面投影6'、7' 和侧面投影6″、7″可直接求出，根据两面投影求出其水平投影6、7。水平面与圆柱的截交线是矩形，点Ⅳ、Ⅴ是矩形截交线的两个端点，另外两个端点Ⅷ、Ⅸ的正面和侧面的投影也可以直接求出，并根据两面投影求出水平投影，如图3-21（b）所示。
②求一般点。圆弧和矩形的截交线不需要一般点。在截交线的椭圆部分选A、B、C、D四点，可直接求出其正面和侧面的投影a'、b'、c'、d' 和a″、b″、c″、d″，并根据其两面投影求出水平投影a、b、c、d，如图3-21（c）所示。
（3） 用光滑的曲线连接各点的水平面投影，并补全轮廓线。水平投影转向轮廓线画到6、7为止，并与椭圆相切，如图3-21（d）所示。
图3-21 截切圆柱体的投影
2.平面切割圆锥体
根据截平面与圆锥体的截切位置和与轴线倾角的不同，截交线有五种不同的情况，见表3-2。
表3-2 平面与圆锥的交线
【例3-11】 如图3-22（a）所示，已知圆锥体的正面投影和部分水平面投影，补全平面截切圆锥体的水平投影和侧面投影。
解：
（1）分析 圆锥体的轴线为铅垂线，截平面与圆锥轴线的倾角大于圆锥母线与轴线的夹角，所以截交线为椭圆。由于截平面是正垂面，截交线的正面投影为直线，水平投影和侧面投影均为椭圆。
（2）作图步骤
①求特殊点。截交线的最低点Ⅰ和最高点Ⅱ，是椭圆长轴的两个端点，它们的正面投影1'、2' 可以直接求出，水平投影1、2和侧面投影1″、2″按点从属于线的关系求出。截交线的最前点Ⅴ和最后点Ⅵ，是椭圆短轴的两个端点，它们的正面投影为1'2'的中点，利用“纬圆法”可以求出它们的水平投影5、6和侧面投影5″、6″。圆锥体最前、最后素线与正面投影的交点3'、4' 可以直接求出，水平投影3、4和侧面投影3″、4″可按点从属于线的关系求出，如图3-22（b）所示。
②求一般点。在正面投影中，选择适当的位置作截平面上的点a'、b'，利用“辅助纬圆法”可以求出它们的水平投影a、b和侧面投影a″、b″，如图3-22（c）所示。
③用光滑的曲线连接各点同面投影，求出截断体的水平投影和侧面投影，并补全轮廓线，侧面投影轮廓线画到3″、4″，并与椭圆相切，如图3-22（d）所示。
图3-22 斜切圆锥体的截交线
【例3-12】 如图3-23（a）所示，已知圆锥体的侧面投影和部分正面投影，补全平面截切圆锥体的水平投影和正面投影。
解：
（1）分析 截平面为不过锥顶而平行于圆锥轴线的正平面，截交线为双曲线，其侧面和水平投影积聚为直线，正面投影为双曲线。
（2）作图步骤
①求特殊点。在侧面投影上找出截平面与圆锥最前素线的交点1″及双曲线与圆锥底面的交点2″、3″，由它们的侧面投影可以直接求出其水平投影1、2、3和正面投影1'、2'、3'， 如图3-23（b）所示。
②求一般点。在侧面投影中取一般点a″、b″，利用“纬圆法”可以求出它们的水平投影a、b和正面投影a'、b'，如图3-23（c）所示。
③用光滑的曲线连接各点的同面投影，求出截交线的水平和正面投影， 如图3-23（d）所示。
图3-23 被截切圆锥体的截交线
3.平面切割球体
平面与圆球相交，不论截平面处于什么位置，其截交线都是圆。当截平面平行于某一投影面时，截交线在该投影面上的投影为圆，在另外两个投影面上的投影积聚为直线。当截平面垂直于某一投影面时，截交线在该投影面上的投影积聚为直线，在另外两个投影面上的投影为椭圆。
【例3-13】 如图3-24（a）所示，已知圆球体被截切后的正面投影，求作其水平投影。
解：
（1）分析 截平面为正垂面，截交线的正面投影积聚为直线，水平投影为椭圆。
（2）作图步骤 截交线的最低点Ⅰ和最高点Ⅱ是截交线的最左点和最右点，也是截交线水平投影椭圆短轴的两个端点，水平投影1、2在正平面大圆的水平投影上。1' 2' 的中点3' （4'）是截交线水平投影椭圆长轴两个端点的正面投影，其水平投影3、4可利用“辅助纬圆法”求出。Ⅴ、Ⅵ为截平面与圆球侧平面大圆的交点，其水平投影5、6可利用“辅助纬圆法”求出。Ⅶ、Ⅷ为截平面与圆球水平大圆的交点，可直接作出其水平投影，如图3-24（b）所示。
用光滑的曲线连接各点的同面投影，得到截交线的水平投影，补全外形轮廓线，其轮廓线大圆画到7、8两点为止，如图3-24（c）所示。
此题由于特殊点较为匀称的出现在了图形上，可不作一般点。
图3-24 斜切圆球的截交线
【例3-14】 如图3-25（a）所示，已知带通槽半球的侧面投影，完成其水平投影和正面投影。
解：
（1）分析 半球被三个平面截切，分别为一个水平面和两个正平面。正平面与球面的截交线为一段圆弧，正面投影反映实形，与水平截平面的交线为侧垂线。水平截平面与球面的截交线为两段圆弧，水平投影反映实形，截交线圆弧的半径可以根据截平面位置来确定。
（2）作图步骤 正平面截切圆球所形成截交圆弧的最高点Ⅰ和前后两端点Ⅱ、Ⅲ的侧面投影1″、2″、3″可直接求出，利用“辅助纬圆法”和点的投影特性可以求出其水平投影1、2、3和正面投影1'、2'、3'。水平截平面的最前和最后点Ⅳ、Ⅴ的侧面投影4″、5″可直接求出，根据点的投影特性可以求出其水平投影4、5和正面投影4'、5'，如图3-25（b）所示。
由于此图形前后对称，所以只作出图形的后半部分就可得出整个图形的三面投影。正面投影中2' 3' 线不可见，球的轮廓大圆只画到4'、5' 处，如图3-25（c）所示。
图3-25 带通槽半球的三面投影