3.5 平面四杆机构的解析法设计
连杆机构的设计方法有图解法、解析法和试验法。解析法是按照给定的参数和机构类型,建立参数方程,并根据已知参数对方程式求解,从而确定机构的尺寸参数的方法。本节主要介绍解析法的设计方法。
3.5.1 按给定连杆位置设计四杆机构
图3.53所示铰链四杆机构,在机架上建立固定坐标系xOy。已知连杆平面上任意两点M、N,分别在该坐标系中的位置坐标为Mi(xMi,yMi)、Ni(xNi,yNi)(i=1,2,…,n)。又以M为原点在连杆上建立动坐标系x′My′。
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图3.53 给定连杆位置解析法设计
设B、C两点在动坐标系中的位置坐标分别为B(x′B,y′B)、C(x′C,y′C),在固定坐标系中与Mi、Ni相对应的位置坐标分别为Bi(xBi,yBi)、Ci(xCi,yCi),则B、C两点分别在动坐标系与固定坐标系的变换关系为
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![](https://epubservercos.yuewen.com/9A0BCB/13467201403429606/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-F59_4.jpg?sign=1734455543-YjptMEjQQZ9dyZiY5CGKhxnky1hSu8oZ-0-24e1b9114deb993937d9d7724a533a49)
式(3-45)和式(3-46)中φi为x轴正向至x′轴正向沿逆时针方向的夹角,且φi的表达式为
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若固定铰链中心A、D在固定坐标系中的位置坐标为A(xA,yA)、D(xD,yD),在机构运动过程中两连架杆长度保持不变,可得
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![](https://epubservercos.yuewen.com/9A0BCB/13467201403429606/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-F60_3.jpg?sign=1734455543-vrgoytviWyNv69Bs9VYbJhoXKjaCdE7H-0-1137045193f803b0e3b6f4d091080697)
将式(3-45)代入式(3-48)并整理,得
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式中
![](https://epubservercos.yuewen.com/9A0BCB/13467201403429606/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-T60_5.jpg?sign=1734455543-QuGBSEEYBSj7BH2ykRLhC0nTb5bCb689-0-a787ffcff4c60ff6fe6c5ecbc526059d)
![](https://epubservercos.yuewen.com/9A0BCB/13467201403429606/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-F60_6.jpg?sign=1734455543-eiYuOaXFghjpzcEIjMC52AxZnzsZhZPl-0-7578bad001e5c3b3bd52a4950f36b968)
![](https://epubservercos.yuewen.com/9A0BCB/13467201403429606/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-F60_7.jpg?sign=1734455543-MMIucSF4Qqv46nQNLpcUjycm3Y2nxtUs-0-a12812c8b4a32c9b02299a05e3bfeb91)
当A、D位置没有给定时,式(3-50)含有4个未知量x′B和y′B、xA和yA,共有n—1个方程,其有解的条件为n≤5,即四杆机构最多能精确实现连杆的5个给定位置。当n<5时,可预先选定机构参数以获得唯一解。求出x′B、y′B,xA、yA,x′C、y′C,xD、yD未知量后,利用上述关系即可求得连杆、机架及两连架杆的长度。
当A、D位置预先给定,则四杆机构最多可精确实现连杆的三个预期位置。
3.5.2 按给定行程速比系数K设计四杆机构
若给定曲柄摇杆机构中摇杆CD的长度c、摆角ψ以及行程速比系数K,试设计此机构。
由行程速比系数K算出极位夹角θ并作外接圆η,如图3.54所示。圆η的半径为
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![](https://epubservercos.yuewen.com/9A0BCB/13467201403429606/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P60_9.jpg?sign=1734455543-6xp0XwjNZJC5hlhqIXWFM75Gs3572DIw-0-9d54c00aa75d985bfd79e0cb22f83598)
图3.54 曲柄滑块机构
固定铰链中心A在圆η的两段圆弧上有无穷多个解,但不能选在劣弧段上,否则机构将不满足运动连续性要求。若再给定某些附加条件,则A点的位置就受到限制。不同的附加条件对应的各构件长度的求解方法也不相同。
如图3.54所示,若以β=∠AC1C2表示A点在圆η上的位置,并引入符号系数δ,即
(1)当时,δ=+1;
(2)当时,δ=—1。
对于θ<90°,设曲柄AB的长度为a、连杆BC的长度为b,AD的长度为d,OD的长度为g,则有
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由图可知,曲柄与连杆拉直共线和重叠共线的两个位置为和
,则
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![](https://epubservercos.yuewen.com/9A0BCB/13467201403429606/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-F61_3.jpg?sign=1734455543-dXpiOAjbDU5zJePLauDCEt5yjkBPYP0G-0-1fd19654722c7abb6e52350c47f034bd)
![](https://epubservercos.yuewen.com/9A0BCB/13467201403429606/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-F61_4.jpg?sign=1734455543-5BiUjtyNKVB9lf0i4N5LunCjC7iqgWUc-0-fbacb83f513e06cd06ba6f3d67a09597)
![](https://epubservercos.yuewen.com/9A0BCB/13467201403429606/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-F61_5.jpg?sign=1734455543-xUo6L5xA88yPNVmYUGoXtJhZOqmvp2TK-0-3b844cc5d3693765054d5e4c74771f17)
![](https://epubservercos.yuewen.com/9A0BCB/13467201403429606/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-F61_6.jpg?sign=1734455543-xptFm9d7r3prceGXKbfYhvRMdHba6Bab-0-145a286d52ac6440e6e7ef148ef6a943)
若附加条件为给定机架AD的长度d,则由式(3-60)可求得角β,将其代入式(3-58)和式(3-59)可求得曲柄AB和连杆BC的长度a和b。又若附加条件为给定最小传动角γmin,则有
![](https://epubservercos.yuewen.com/9A0BCB/13467201403429606/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-F61_7.jpg?sign=1734455543-VZEI91ApkDIWXTvN3uiTls7CYrPZKQk9-0-f452c7d7380e0f5b45ce9f3b5a2d7235)
将式(3-58)~式(3-60)代入式(3-61),得未知量仅为β的方程:
![](https://epubservercos.yuewen.com/9A0BCB/13467201403429606/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-F61_8.jpg?sign=1734455543-NyDVN8vwRGXkXx3BEvQrHlaNcDLIDn00-0-6560b5b15343b4dd75630ea7ed1ac05d)
采用数值方法求解式(3-62),便可确定最小传动角为给定值时的β及A点的位置。将β值代入式(3-58)~式(3-60),即可求得a、b、d。
3.5.3 给定两连架杆的对应位置设计四杆机构
1.铰链四杆机构
如图3.55所示的铰链四杆机构中,已知两连架杆AB和DC沿逆时针方向的对应角为φ1i和ψ1i(i=1,2,…,n),要求确定各构件的长度a、b、c、d。
![](https://epubservercos.yuewen.com/9A0BCB/13467201403429606/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P61_9.jpg?sign=1734455543-nVmVwFG33ewwOr37vw3WeRQOi53uEJMH-0-599b8600f3cad0aeaa2b19e44d3e38fa)
图3.55 给定两连架杆的对应位置解析法设计
以A为原点、机架AD为x轴建立直角坐标系xAy,ABCD构成封闭向量多边形,封闭向量方程为
![](https://epubservercos.yuewen.com/9A0BCB/13467201403429606/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-F61_10.jpg?sign=1734455543-4klO7hmcFDFolCOnlTliVs3el11yUeqB-0-ab26cde03ae11052e8f1b4dda7763b07)
向量方程向x轴和y轴投影,则两连架杆AB和CD相对于x轴的位置角之间有如下关系:
![](https://epubservercos.yuewen.com/9A0BCB/13467201403429606/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-F62_1.jpg?sign=1734455543-hau2ggcfh65byYNZ9yy0MswMujmXshV2-0-5c18a7b244539cb1564361e4fc1e6e41)
两连架杆角位移的对应关系只与各构件的相对长度有关,因此以杆AB的长度为基准,并设
![](https://epubservercos.yuewen.com/9A0BCB/13467201403429606/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-F62_2.jpg?sign=1734455543-q68OCg26bN1CpLmg7ch3A8YnsNIIVuBo-0-1e36711ee4120c77dbecfef8bca91ca8)
将式(3-65)代入式(3-64),得
![](https://epubservercos.yuewen.com/9A0BCB/13467201403429606/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-F62_3.jpg?sign=1734455543-UT8FKkVO8C8MlgWJq8PuapXIVVHhvlwd-0-acb559e7936dfaad8503358d9c67c808)
将式(3-66)中的两式等号两边平方后相加并整理得
![](https://epubservercos.yuewen.com/9A0BCB/13467201403429606/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-F62_4.jpg?sign=1734455543-lQDeXSmViQzhMiquJ3jEAfQ0g0eVAb9M-0-0cf7737481c3c32a3b147a6604f4ad63)
式中:
![](https://epubservercos.yuewen.com/9A0BCB/13467201403429606/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-F62_5.jpg?sign=1734455543-9DawDpFepVJE4RHNp4H1Z2Q59QODPz2n-0-820f6cf4dd667eafc39620488ba72190)
若两连架杆AB和DC第一位置线相对于x轴的夹角分别记为φ1和ψ1,则两连架杆第i个位置相对于x轴的夹角分别为φ1+φ1i和ψ1+ψ1i。将式(3-67)分别用于两连架杆的第1和第i位置,则有
![](https://epubservercos.yuewen.com/9A0BCB/13467201403429606/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-F62_6.jpg?sign=1734455543-DYEnYr2KhN3WlTc6hZScDiyBmLHS6Vf3-0-e4c629302bd22353e351d53747fc45fd)
式(3-69)中含有P0、P1、P2、φ1、ψ1 5个未知量,共有n个方程,其有解的条件为n<5,即铰链四杆机构最多能精确实现两连架杆的4组对应角位移,即两连架杆5组对应角位置。
若φ1和ψ1预先给定,则铰链四杆机构最多能精确实现两连架杆的两组对应角位移,此时式(3-67)可写为
![](https://epubservercos.yuewen.com/9A0BCB/13467201403429606/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-F62_7.jpg?sign=1734455543-evn7uGaL4ietLA8GtT1XIjS3UtUFQ1V6-0-a15f8d6202e8ea9f019b6c75d9dec0f7)
由式(3-70)中的三个线性方程组可解出P0、P1和P2,并将P0、P1和P2的值代入式(3-67),即得各构件的相对长度m、n、p,再根据实际需要选定构件AB的长度a后,其他构件的长度b、c、d即可确定。
2.曲柄滑块机构
图3.56所示的曲柄滑块机构中,已知曲柄与滑块的三个对应位置φ1、xC1,φ2、xC2,φ3、xC3,试设计此曲柄滑块机构。
![](https://epubservercos.yuewen.com/9A0BCB/13467201403429606/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P62_8.jpg?sign=1734455543-piXGmgzmNTMQvO1DIRH0D5pmFbAANh3k-0-d0b68c2a96f216b2beb468878a604e45)
图3.56 解析法设计曲柄滑块机构
设曲柄AB、连杆BC的长度分别为a、b,偏距为e。建立坐标系xAy。各构件长度在坐标轴x、y上投影得
![](https://epubservercos.yuewen.com/9A0BCB/13467201403429606/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-F63_1.jpg?sign=1734455543-uMkxzAT10shQ7tKzgQCMYtCzpiqQgNZ4-0-b7bcd0f261c9a043ec243615badfa422)
化简式(3-71)得
![](https://epubservercos.yuewen.com/9A0BCB/13467201403429606/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-F63_2.jpg?sign=1734455543-S7QZGYhYurN18v8j5b2wM2WMFx5fSDMF-0-c7c9908e0ed56d2003e35c202dda5048)
令
![](https://epubservercos.yuewen.com/9A0BCB/13467201403429606/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-F63_3.jpg?sign=1734455543-gWmBKbh7HoMTeIVfV5nohPKQFte6Tg3a-0-81fff26a60f305049141826b44f5aca2)
则式(3-72)可写成
![](https://epubservercos.yuewen.com/9A0BCB/13467201403429606/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-F63_4.jpg?sign=1734455543-WKZP3Nq7BLfe2m1GE6ts6VQEWeeTs5N8-0-36534efd1fd3fc30b495dc37abc5f364)
将曲柄与滑块的三个对应位置φ1、xC1,φ2、xC2,φ3、xC3,代入式(3-74),得
![](https://epubservercos.yuewen.com/9A0BCB/13467201403429606/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-F63_5.jpg?sign=1734455543-YgZt8cIgr2KUwBOv1tDApuvfmS2WpmRQ-0-87dc2d8ec0d3b6f167b06ae24d679d7f)
解此方程式,求解出R1、R2、R3,再由式(3-73)即可确定曲柄AB的长度a、连杆BC的长度b、偏距e,分别如下:
![](https://epubservercos.yuewen.com/9A0BCB/13467201403429606/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-F63_6.jpg?sign=1734455543-K2HfKk0la4arI0rWsid1EEpWg8bfDuLh-0-36369f77545a17e17c2e9704fb104b5b)