有投票悖论吗？

这篇笔记的目的是要说明，阿罗的证明并不适用于常规存在的民主，因为其中有一个隐藏的假设。当我说这个假设被隐藏了时，我并不是说阿罗本人隐藏了这个假设，尽管他可能不会欣赏这一假设的重要性。然而，在根据阿罗定理发展出的详述文献中，这个假设一向被忽视了。制度的规则将许多选择限制为两种备选项。在不做这种限制的地方，选票交易或策略投票是正常的。阿罗定理只适用于没有这些交易的地方，而且因此，正如我们所知，这个定理对于民主肯定没有什么实际上的重要性。

这个被遗忘了的假设是，民主国家中的人们确实或应该根据他们的基本偏好进行投票。阿罗在他的导言中专门用两段文字来说明这一假设。这两段文字并不完全明确，我把这两段抄录出来，而不是只抄录几句话。对我的论点最重要的部分用黑体字表示。

本项分析的一些限制条件

上面已经说明，本项研究仅限于集体社会选择的形式方面。没有讨论的方面可以方便地表述为game方面，尤其是由于这个词有着双重的意义。首先，没有考虑把决策作为一种玩乐形式的愉悦感。没有必要强调想在诸如经济和政治这两种行为上玩游戏并想获胜的愿望具有的明显重要性。这类考虑是真实的，而且应该在确定社会选择机制时予以考虑，这一点无可置疑，但是它已超出了本项研究的范围。

“game”的另一重意义，是由冯·诺伊曼和摩根施特恩提请经济学家注意的。广而言之，这里的关键在于，一旦建立起一种由个人爱好确定社会选择的机制，个人就都会发现，从一种理性的观点来看，这种机制有利于用他们的行动来歪曲他们的爱好，要么是因为这类歪曲可以直接带来好处，要么更常见的是，由于另一个人的境遇将由第一个人的歪曲陈述而得到极大改善，以致他可以用这样一种方式补偿第一个人，使他们两人都比假如每个人都真正直接按自己的爱好行事时得到改善。因此，在根据多数票表决的选举制度中，众所周知，真正喜爱少数派候选人的个人，经常会对不太讨厌的多数派候选人投赞成票，而不是“弃票”（throw away his vote）。即便是在有可能建立一种方法可以将个人爱好总合成社会偏好模式的情况下，也还是会有设计游戏规则的问题，所以，即使这些个人是在理性行事，他们也会表达自己的真实爱好。这个问题与建立公平分配博弈（games of fair division）的问题有关，这种博弈中的规则是这样的：每个人，在理性参与的情况下，将成功地得到预先指派的公平份额；在有两个人平等分配的情况下，这个博弈就是大家非常熟悉的那种：其中一个参与者把所有物品分成两份，由第二个参与者来优先选择他喜欢哪一份。

我们注意到，阿罗特别排除了选票交易，并且将他的证明严格限定在大家都是按个人爱好来投票的情况。对于任何非常关注立法机构运行情况的人而言，获得多数支持的大多数措施显然不是由于立法机构中一般人员都喜爱这些措施，而是因为这些人被买通了。在美国、英国、欧洲大陆或日本的农业项目，都是这种情况绝妙的例子，因为这些项目肯定只受到代表中一小部分少数人的喜爱。其他人都是被买通的。

作为《同意的计算》一书的合作者，我自然而然地常常想到，这种选票交易是件好事。有些人会不同意。但是，我和吉姆*不会说，这个结果是完美无缺的。我在其他地方遇到过大量的困难。这种选票交易是对任何立法机构通过的一揽子法案的重要支持。请注意，我说的是“一揽子”，而不是“所有”，关于这一点，我们不久还会回来讨论。关于选举的讨论也将推后几页进行。

然而，这一点稍有些复杂。图1的上半部分表明的是出现在许多初级教科书中的标准非传递性图表，是三位选民的偏好。下半部分表明的是，当2先生付给1先生100美元使他投票选B的情形。我们假定2先生确实偏好B－100胜于C和A，而1先生偏好B+100胜于A和C。用阿罗的话说，他们都没有按他们的偏好投票。

最先读过本文的一些读者说，实际上，他们在这里都是按他们的偏好投票的。显然，这是对英语的完美使用，但这并非阿罗的语义。这些人说的是，最初在第一栏和第二栏中的“B”已经被删除了，因此这个矩阵已不再是那个表示循环的矩阵了。

再重复说一遍，这并不是阿罗使用这个词的语义。无论如何，这不影响推理。用他们的说法，就必须改变原来的陈述，说成不是这些人通过讨价还价后没按他们的偏好进行投票，而是讨价还价的谈判以消灭了循环的方式改变了他们偏好。但是考虑到在现实世界中这类谈判发生的频度，这也会意味着，几乎没有立法的循环。

博尔达（Borda）方法的例子中使用的另一种标准的教科书图表，则反过来，用不相关的备选项来说明。图2中的上半部分就是复制的这个图形。在图2的下半部分，我们再一次表示了选票交易的结果，其中一位选民收集了贿金。这个下半部分并没有表现出对无关备选项的依赖。请注意，从某种意义上说，这有点不合理。博尔达表决方法要求你写下你的全部偏好表，而我在这里只改变了偏好表中的一点。但是，我并不认为我们需要把这种方法进一步复杂化。

再说一遍，如果读者愿意，他可以放弃阿罗对“偏好”一词的用法，而使用另一种同样合理的意义进行表述。他可以说，他们现在是根据他们的偏好在进行投票表决，而在3、4、5栏中的B应该被取消。再说一遍，这只造成了语言表述上的不同。谈判把一个表明依赖于不相关备选项的矩阵转变成了一个不依赖不相关备选项的矩阵。再说一遍，阿罗定理不适用于这种情况。

这提出了“阿罗是否不适当地限制了他自己的证据”的问题。人们可以争辩说，下半部分中的偏好是相关偏好。可以想见，它们能够按照导致非传递性或依赖于不相关备选项的方式进行排列。正如我们将在下面看到的，这不大可能包括偏好可比性的假定。

但是，应该说，在许多情况下选民确实是按他们的偏好来投票的。在相当长的时期内，在美国国会的许多次会议中，拨款过程受挫，导致的结果却是在正式财政年度结束后，国会通过有巨额赤字的拨款以覆盖整个预算，只要投票表示“同意或不同意”就行了。而我猜测，国会中的大多数人其实喜欢这种整体的预算，而不喜欢一无所获，因此他们会满足阿罗“他们按偏好投票”的定义。

然而，在这个事例中，只有两个备选项；因此，它们落到了证据的外面。大多数债券发行请示书也是同样的情况，其实，大多数任何类型的全民公决，以及那些只有两位候选人或只有两位重要候选人的选举，都是同样的情况。

例如，图森市的一项筑路债券发行失败了，人们认为其必然失败的原因是，没有给图森市东南部的选民任何东西。市政委员会现在重新在办这件事，把修筑该市东南部的道路一并考虑，并召开一系列全市百姓参与的当地会议，以保证每个人都高兴。这样，建立联盟的事不用投票表决的方法也得以完成了。还将有对整个筑路计划的一次“同意或不同意”投票。严格来说，这避开了阿罗定理，因为只有两种选择。

但是，可能有人会说，这些现实世界的例子实际上包含了两种以上的备选项。无论是国会还是图森市的选民投了“不同意”票，都是因为他们懂得，这会导致新的谈判，而后，谈判结果还将服从进一步的投票表决。如果是这样，那么这次投票就是策略性的，而且没有满足上面引用的阿罗的条件。

当有两个以上的备选项时，结果可能就要依靠不相关的备选项了。1912年，共和党分裂了，塔夫脱和罗斯福都与威尔逊竞选总统。看来相当肯定的是，他们俩人中无论哪一个单独竞选总统，都能打败威尔逊。林肯在1860年的竞选是另一个例子。民主党分裂了，他一人与三位候选人竞选总统。如果这三人中有两人，或者三人都单独竞选的话，谁都有可能击败林肯。在这两个事例中，如果选票没有被三位或四位候选人分散，结果都可能已经改变。选择威尔逊还是罗斯福，取决于塔夫脱（可怜的第三人）是否参选的决定。当然，总统候选人也提出精心准备相互吹捧的政纲。

只要是只有两个备选项，阿罗定理就没有问题。那么，“阿罗是否不适当地限制了他的证据”这个问题——就成了：在政治交易或策略性投票表决的情况下，阿罗定理是否成立的问题。换言之，该定理是否，正如阿罗所说，只适用于真正的偏好没有被提出的贿赂、交易或策略性花招改变的情况，还是说，它适用于更广的范围？

这一点是重要的，因为，尽管在仅有的两个备选项之间确实有许多选票，但几乎在所有情况下，都有一个精心设计的政治过程把多个备选项筛选至两个备选项。毕竟，各种议会规则都要设计成在最后一轮投票时把多个备选项筛选到只剩两个的情况。必须考虑到，整个过程不只有最后一轮投票。

利用简单的现金贿赂（如图1和图2中所示）并不是很真实的，只是简化条件来做推理。“最有价值”的结果，如果通过竞拍过程来获得，会相当容易地选出。在现实世界的立法机构中，交易可以在很大程度上达到同样的结果。由于政治交易的计算是比较困难的，必须预计到国会议员一方和其他从政人士会出错。当然，市场也是不完善的，因此谈判结果也可能不是最优的。我们都对市场过程的不完善习以为常了，而且可以肯定的是，政治市场甚至比非常差的经济市场还要不完善得多。但这是与阿罗所提出的问题完全不同的另一个问题。

在一个零和博弈中，如果几个备选项全都有同样的“值”，那么，在它们之间的选择或许有可能落入阿罗式的问题，这是事实，但可以肯定地说，那是一种极为罕见的状况。因此，“阿罗问题将只同极为罕见的特殊状况有关”的看法就会成立。这个问题是有趣的智力问题，但是，就像希腊人花了那么多时间研究的角的三等分问题一样，它没有实际的重要性。

请注意，这并不是说民主的工作已经尽善尽美。只要读过我的大部分著作，任何人都会了解，我不那样认为。我所说的是，由阿罗教授创造的这个复杂定理，与我们看到的现实世界中的民主没有直接关系。在现实世界中实行民主是困难的，但并不难在由一般不可能性定理引起的那些问题。