1.1 复数及其运算

1.1.1 复数的概念及其表示法

复数在实际中有广泛的应用，如电路分析中复电流和复电压都是用复数表示的.另外，为了进行开方运算也需要引入复数，如，中i称为虚数单位，满足i2=-1.

众所周知，任意一个复数z可以利用虚数单位i来表示.即

设x和y为任意实数，则称z=x+iy为复数.其中x和y分别称为复数z的实部（realpart）和虚部（imaginarypart），分别记为

x=Re（z），y=Im（z）. （1-1-1）

又记，称它为复数z=x+iy的共轭复数.如复数z=1+2i，其共轭复数为，且有，.

当x=0时，z=iy为纯虚数；当y=0时，有z=x+i0为实数x，简记为z=x，于是复数是实数概念的推广.

由于复数z=x+iy由一对有序实数（x，y）所唯一确定，它与xOy平面上的点（x，y）是一一对应的，也与坐标原点到点（x，y）的向量是一一对应的，因此在平面上可用上述点和向量来表示复数z=x+iy（图1-1），并且在几何上称该复数z为点z或向量z，称表示复数的xOy平面为复平面，当复平面上的点记为z=x+iy时，又简称该复平面为z平面.其中x轴上的点表示的是实数，称x轴为实轴；y轴上的点表示的是纯虚数，称y轴为虚轴.显然当z=0时，它为零向量；当y≠0时，点和z关于实轴对称.

另外，称复向量z的模r为复数z的模或绝对值记为|z|=r；并且当z≠0时，我们把以正实轴为始边，以复向量z为终边的转动角看作向量z与正实轴的夹角φ，称为复数z的辐角（argument），记为Arg（z）=φ，于是有

注意 z=0的辐角不确定，Arg（0）无意义.当z≠0时，由于其辐角φ增加2π的整数倍、其终边不变，因此Arg（z）是多值的.可是满足足条件-π＜Arg（z）≤π的辐角值是唯一的，称该值为其辐角的主值，记为arg（z）.于是有

-π＜arg（z）≤π （1-1-3）

Arg（z）=arg（z）+2kπ（k=0，±1，±2，…） （1-1-3a）

并且当z=x+iy≠0时有

又当Re（z）=x＞0时有

arg（z）=arctg（y/x） （1-1-3c）

复数z=x+iy是复数的代数表达式.当z≠0时，由式（1-1-2）和Euler公式：eiφ=cosφ+isinφ，可分别写出其三角式和指数式，即

z=|z|（cosφ+isinφ），z=|z|eiφ （1-1-4）

其中eiφ=cosφ+isinφ的模为1，称它为单位复数.

【例1-1】 计算z=1-i的模和辐角及其三角式.

解 显然且arg（z）=-π/4，于是由式（1-1-3a）得

Arg（z）=-π/4+2kπ（k=0，±1，±2，…），

其三角式为

两个复数相等的概念是非常重要的，我们定义为：

定义 设zk=xk+iyk（k=1，2）.若x1=x2且y1=y2，则称z1=z2.可表示为

z1=z2⇔x1=x2且y1=y2. （1-1-5）

显然有

z=0⇔|z|=0 （1-1-5a）

z1=z2≠0⇔|z1|=|z2|且arg（z1）=arg（z2） （1-1-5b）

注意 两个不都是实数的复数不能比较其大小.记号“⇔”是“等价于”之意，今后不再重述.

1.1.2△ 复数的代数运算

1.复数的四则运算

复数的四则运算定义可叙述为：

设zk=xk+iyk（k=1，2），则定义

z1±z2=（x1±x2）+i（y1±y2），

z1z2=（x1x2-y1y2）+i（x1y2+x2y1），

另外，复数可以看作是复向量，当z1≠0且z2≠0又二者不平行时，在复平面上，其和与差可以按照平行四边形法则，或三角形法则来表示.即：

复向量z1+z2是以复向量z1和z2为邻边的平行四边形的对角线向量，它的起点为z=0，其终点z1+z2可以看作将点z1沿向量z2的方向平移|z2|的距离所得到的点[见图1-2中（a）].

复向量z2-z1是从点z1到z2的向量，|z1-z2|为点z1与z2之间的距离[见图1-2中（b）].

由图1-2可以看出，对任意复数z1和z2有

|z1+z2|≤|z1|+|z2|，||z1|-|z2||≤|z1-z2| （1-1-6）

对于非零复数zk=rk（cosφk+isinφk）（k=1，2），利用三角函数的和、差角公式，读者自己可以验证z1z2和z1/z2的三角式分别为

并且对z1=z2=z=r（cosφ+isinφ）和任意自然数n有

zn=rn[cos（nφ）+isin（nφ）]

由此可以看出，对于非零复数有

|z1z2|=|z1||z2|，|z1/z2|=|z1|/|z2|，

Arg（z1z2）=Arg（z1）+Arg（z2）， （1-1-7）

Arg（z1/z2）=Arg（z1）-Arg（z2）， （1-1-7a）

Arg（zn）=narg（z）+2kπ（k=0，±1，±2，…）

对z=cosφ+isinφ，计算zn可得DeMoivre公式：

（cosφ+isinφ）n=cos（nφ）+isin（nφ） （1-1-8）

其中n=1，2，3….

注意 式（1-1-7）和式（1-1-7a）两边是多值的，它们成立是指等式两边辐角值的集合相等，其中右端辐角的和（差）运算是指Arg（z1）的每个值可以加上（减去）Arg（z2）的任意一个值.另外，由于两个主值辐角的和或差可能超出主值的范围，因此这两个等式对于辐角的主值而言，不一定成立.

2.复数的n次方根

设有非零复数z=reiφ，若存在复数w使z=wn，则称w为复数z的n次方根，记为.

为了求出其方根w，可设w=ρeiθ.于是由定义得

（ρeiθ）n=ρneinθ=reiφ

它等价于ρn=r，且nθ=φ+2kπ（k=0，±1，±2，…），即

所求方根可表示为

其中k=0，1，…，n-1.显然wk+n=wk（k=0，±1，±2，…），wk只有n个不同的值.由此可以看出：

非零复数z的n次方根只有n个不同值，它们均匀分布在以坐标原点为中心，以为半径的圆周上，它们是该圆周的内接正n边形的n个顶点.

【例1-2】 计算（-1+i）10.

解 由三角式得

【例1-3】 求的4个根.

解 由三角式-4=4（cosπ+isinπ），利用求n次方根公式（1-1-9）得

取k=0，1，2和3，可得其4个根为

1.1.3＊ 扩充复平面与复球面

为了建立扩充复平面的概念，需要引入复数的另一种几何表示，用球面上的点来表示复数.

作一个中心在点（0，0，R）与复平面相切于点z=0的球面（图1-3）.其中点N和S分别称为该球面的北极和南极.

为了用该球面上的点来表示复数，需要建立复平面的点z与该球面上点之间的一一对应关系.于是过点N和z作直线，它与该球面的另一个交点是唯一的，记为P.这样就建立了复平面上的有限点z与球面上点P（P≠N）的一一对应.另外，当点z在复平面上沿任何方向趋向无穷远时，即|z|→∞，对应球面上的点P都趋向北极点N，因此为了使点N对应复平面上的唯一一个点，应当把复平面的各个方向上趋向无穷远的极限点看作一个点.且称这个点为复平面上的无穷远点，记它和它所对应的复数为∞.显然复数∞的模为+∞，其辐角是不确定的，即无意义.在数学上，称包含点∞的复平面为扩充复平面；又称不包含点∞的复平面为有限复平面，或简称为复平面.今后无特殊声明，复平面都指有限复平面，复数z都指有限复数.

以上我们建立了扩充复平面上的点与球面上点的一一对应关系，不仅可以用球面上的P（P≠N）来表示它所对应的任一个有限复数z，而且扩充复平面的无穷远点所对应的复数∞也可用球面的北极点N明显地表示了出来.称上述球面为复球面或Riemann球面.

另外不难看出，作为有限复数z的极限复数∞，对应点z→∞的方向是任意的，它与有限复数a的四则运算应当作如下规定：

（1）对a≠0有a·∞=∞·a=∞·∞=∞，

（2）a/∞=0，∞/a=∞，

（3）a±∞=∞±a=∞，

（4）∞±∞，0·∞，∞/∞都无意义.