1.2 秃头悖论——精确逻辑无法破解的千古之谜
在某些公认正确的背景知识下，可以合乎逻辑地构造出两个既相互矛盾又可以相互推出的命题，称为逻辑悖论。古代学者特别是古希腊人已经发现了许多悖论，最著名的如说谎者悖论、芝诺悖论、鳄鱼悖论等。他们围绕这些悖论的智力角逐，对逻辑学的形成发展起了很大推动作用。逻辑史上许多著名事件都与悖论的发现、讨论和解决有关。上述逻辑精确化过程也是研究逻辑悖论的过程。其中，康托悖论和罗素悖论的提出、讨论，以及围绕古老的说谎者悖论的讨论，在这场逻辑精确化运动中发挥了至关重要的作用。
但是，即使仅仅局限于悖论研究，精确化也未必是万能的。一些古老的悖论，最著名的是古希腊麦加拉派发现的秃头悖论，就无法通过逻辑精确化来解决。我们用现代语言把它表述为：向阳红是一个满头乌发的小伙子，掉了一根头发后他还是满头乌发的小伙子，如此一根接一根地掉下去，最后就会得出“一发皆无的向阳红还是一个满头乌发的小伙子”这一荒谬结论。
秃头悖论还可以做反向表述。“没有一根头发的人是秃头”无疑是真命题，记作A0。“比秃头多一根头发的人还是秃头”，记作B，显然也是真命题。我们利用这两个真命题连续地进行以下推理：
其中，n可取任何自然数。据统计，正常人的头发根数约100万。取n＝100万，这个推理最后得到的结论即命题An，意指“长有100万根头发的人仍是秃头”；或者用非精确化的日常语言讲，满头秀发者为秃头。这显然太荒谬了。
麦加拉派还提出同一类型的另外一个悖论，即谷（沙）堆悖论。打谷场上有个小山似的谷堆，包含多少粒谷子难计其数，但总是一个有限数。拿去一粒谷子，它还是一个谷堆；再拿去一粒，它仍然是一个谷堆。如果一粒接一粒不断地拿下去，直到打谷场上一粒谷子都没有了，逻辑上还得说它是一个谷堆。这难道不是荒谬绝伦的吗？
有人或许觉得，麦加拉派抓住的不过是个别孤立现象，不足挂齿。但实际上，这种悖论在现实生活中随处可见，简直可以说不计其数，一抓一大把。例如：
身高悖论：“身高两米的人是高个子”，“比高个子低一毫米的人还是高个子”，用这两个真命题连续进行推理，将得到“土行孙是高个子”[1]的假命题。反过来说，以两个真命题“身高不足半米的人是矮个子”和“比矮个子高一毫米的人还是矮个子”为前提，可以推出假命题“姚明是矮个子”。小巨人成了矮个子，世界上还有几个人不是矮个子呢？
年龄悖论：“七十岁的人是老年人”，“比老年人晚生一天的人还是老年人”，是两个真命题；以它们为前提，可以得出“婴儿是老年人”的假命题。
朋友悖论：以真命题“刚刚结识的朋友是新朋友”和“新朋友在一秒钟以后还是新朋友”为前提，可以逻辑地推出假命题“新朋友在十年之后还是新朋友”。
有人可能认为，这些悖论所涉及的都是生活琐事，既无科学意义，亦无学术价值，更不会影响工程技术应用，逻辑学完全可以置之不理。对于古代人或许可以这样说，在科技和学术高度发达的今天则不可作如是观。哲学地看，一切普遍存在的东西都具有科学意义，迟早会成为科学研究的对象；有科学意义的东西一般都可能找到实际应用，至少有锻炼智力的功能。秃头悖论的变种既然如此普遍，逻辑学就不能永远弃之不顾。何况它绝不仅仅存在于生活琐事中，在科学技术和学术文化领域同样不胜枚举。请看以下两个例子。
频率悖论：“ω＝16赫兹是低频”为一真命题（人耳能够听到的声音在16～20 000赫兹范围内），“比低频高1赫兹的还是低频”也不失为一个真命题。如此不断推论下去，就会得出“ω＝20 000赫兹仍是低频”这个完全不能接受的错误命题。它等于说，一切频段都属于低频，中频和高频是没有意义的概念。反过来，也可以说一切频段都是高频。这是无线电科学和工程技术不能同意的。
时代悖论：孔夫子无疑是古代人，比他晚生一天的人当然也是古代人。以这两个显然为真的命题为前提，可以逻辑地推定今天（2019年10月1日）尚在产房嗷嗷待哺的婴儿也是古代人。或者说，古代就是现代，现代就是古代。
前一悖论属于自然科学和工程技术范畴，后一悖论属于人文社会科学范畴，都是秃头悖论的变种，深具理论和学术意义。读者朋友大概早已注意到，在西方发达国家学术理论界近乎取得话语霸权的后现代主义思潮，已大张旗鼓地进入中国，影响着中国学人的思想走向。这些后现代主义学者把人类社会的发展演进划分为前现代、现代和后现代三大时代或形态，热烈地讴歌“后现代转向”，鼓吹建立所谓后现代科学、后现代理论、后现代文化、后现代艺术，归根结底是要建立后现代社会。如果秃头悖论不解决，人们便可以说：现代就是后现代，后现代就是现代，或者前现代即后现代，后现代即前现代。如此随心所欲，学术研究还有什么科学性可言呢！
聪明过人的古希腊智者们始终未能破解秃头悖论，或许可以归咎于那时的科学文化水平太低，加上它们没有实际价值，只可当作逻辑学家书桌上摆设的玩具，不必认真对待。但在逻辑精确化运动获得极大成功之后，在人类有能力登上月球、评说夸克、重组基因的现时代，逻辑学仍然不能破解秃头悖论之谜，不能不说是对人类智慧的嘲弄。即使它们真的没有任何实用价值，为了维护人类智慧的尊严，逻辑学似乎也不能继续置之不理。
问题出在哪里？我们来仔细检查一下推理（1﹒1）。两个前提都是真命题，每一次推理在逻辑上都符合规则，因而推理操作不会改变结论的真值。但随着推理步骤增多，你就逐渐感到结论的真实性有问题，推理步骤越多，结论的真实性就越小，在不知不觉中你就从真理走向荒谬。然而，毛病究竟出在哪一步，人们却找不到。同样是古希腊提出的逻辑难题，为什么说谎者悖论引起逻辑学界那么大的兴趣，而秃头悖论却无人过问？这不能不令人深感困惑。
精确性要靠定量化描述来保证，把定量化描述用于秃头悖论，要求确定一个作为分界线的头发根数k，n＝k时为秃头，n＝k＋1时为非秃头。如此划分界定，精确倒是精确了，却极不合理，一发之差足以区分秃与非秃，这样一个数k根本就不存在。这就告诉人们，并非一切逻辑难题都属于数量化、精确化不够的问题，逻辑的正确性和有效性并非总是同精确性和严格性联系在一起的。秃头悖论便属于这种问题，它不存在可以精确描述的分界线，找不到精确化的切入点，没有精确化方法的用武之地；相反，它的逻辑困难有可能是对精确性和严格性的过分要求造成的，解决它需要新的逻辑思想。
罗素在90多年前已经认识到这一点。他指出：“秃头是一个模糊概念；有一些人肯定是秃子，有一些人肯定不是秃子，而处于这两者之间的一些人，说他们必须要么是秃子，要么不是，这是不对的。”[2]就是说，有些逻辑问题，包括秃头悖论，需要从精确性的反面——模糊性去考察，另辟蹊径。
辩证法教导人们，一切事物都具有两重性：有优点必有缺点，有缺点必有优点；有得必有失，有失必有得。如果相信这一点，就应该做出以下评估：精确性也具有两重性，精确化既带来逻辑学的巨大进步，也不可避免会给逻辑学发展带来某些局限或弊端。逻辑学要继续发展，就不能“一条道走到黑”，应当在精确化之外寻找新路子，重新认识模糊性。
注释
[1]土行孙是神话小说《封神榜》中的人物，侏儒式的身高，但身怀绝技，尤善土遁法。
[2]伯特兰·罗素．论模糊性．杨清，吴涌涛，译．模糊系统与数学，1990，4 （1）．