博雷尔定律：概率足够小的事件不会发生

埃米尔·博雷尔（Emile Borel）是法国著名数学家，生于1871年。他是概率论（所谓的测度理论）的先驱，一些数学研究对象和概念都以他的名字命名，如博雷尔测度、博雷尔集、博雷尔-坎泰利引理（Borel-Cantelli lemma）和海涅-博雷尔定理（Heine-Borel theorem）等。1943年，他撰写了一本概率论科普书，书名为《概率与日常生活》（Les probabilites et la vie），后被译为英文出版。他在这本书里介绍了概率的一些性质和应用，还介绍了单一机会定理，即现在所称的博雷尔定律（Borel’ s Law）。该定律说：“概率足够小的事件永远不会发生。”

显然，非概率原理与博雷尔定律是相互矛盾的。非概率原理认为，小概率事件会发生，而博雷尔定律认为，小概率事件不会发生。这该如何解释呢？

看到博雷尔定律时，你的第一反应很可能和我的一样：这肯定是在胡说八道。你可能会认为（我也是如此）小概率事件当然会发生，只是发生得不那么频繁罢了。这正是概率的意义所在，尤其是小概率。但是，当我深入研读博雷尔的著作时，我才发现他笔下的概率有更加微妙的含义。

为了阐明自己的观点，博雷尔举了一个经典的例子：猴子随意敲击打字机1的键盘，碰巧创作出了莎士比亚全集。他写道：“尽管这类事件发生的可能性无法得到合理的论证，但由于其发生的概率极小，以至于任何理智的人都会毫不犹豫地认为它是不可能发生的。当有人声称看到了这类事件发生时，我们也会认为他是在欺骗我们，或者他自己受到了欺骗。”

可以看出，博雷尔是从人类角度考虑“极小概率”的，他的意思是：从人类的角度来看，事件发生的概率极小，以至于认为它发生是不合理的，因此应该把这类事件视为不可能发生的事件。事实上，在阐述了单一机会定理（即概率极小的事件永远不会发生，博雷尔本人是这样解释的）后，他补充说：“或者，至少在所有情况下，我们的行为方式都表明，这样的事件不可能发生。”

他进一步指出：“对于每一个居住在巴黎的人来说，每一天在外奔波时死于交通事故的概率大约是百万分之一。如果一个人为了避免如此低的风险而放弃了所有的外出活动，大门不出二门不迈，或者让家人这么做的话，他会被视为疯子。”

其他思想家也表达过类似的观点。例如，17世纪60年代，让·达朗贝尔（Jean d’Alembert）曾提出过这一问题：经过长期观察后，我们能否发现事件发生和不发生的概率相等？在博雷尔提出单一机会定理一个世纪之前，即1843年，安东尼-奥古斯丁·古诺（Antoine-Augustin Cournot）在其所著的《机会与概率的理论解释》（Exposition de la theorie des Opportunities et des Probabilities）一书中讨论了理想圆锥体以其顶点做倒立平衡的实际概率和理论概率。与“理论上的确定性”（physical certainty）相对应的“实际的确定性”（practical certainty）就此与古诺联系在了一起。“概率很小的事件不会发生是一种实际的确定性”，这一观点有时被称为古诺法则。后来，在20世纪30年代，哲学家卡尔·波普尔（Karl Popper）在《科学发现的逻辑》（the Logic of Scientific Discovery）一书中写道：“必须忽视极度的不可能性……这一规则符合科学客观性的要求。”

鉴于其他著名的思想家也表达过类似的观点，我们可能会提出这一问题：为什么这一观点是以博雷尔的名字命名。答案可能就在于斯蒂格勒（Stigler）所说的命名定律（law of eponymy）。根据这一定律，“没有一条科学定律是以其最初的发现者命名的”。他还补充说：“包括这条。”

博雷尔定律与我们在几何课上所学的点、线和面有相似之处。我们知道，它们都是抽象的数学概念，在现实世界中并不存在，我们为了便于思考和了解真实的世界而简化了它们。同理，尽管小概率事件发生的概率实际上不为零，但我们对待它们就好像它们发生的概率为零一样，因为在实际的环境中，概率足够小的事件永远不会发生。这就是博雷尔定律的含义。

博雷尔还写道：“我们必须了解这一点：单一机会定理除了具有数学确定性外还具有另一种确定性，这种确定性就跟我们接受一个历史人物、一个位于对跖点的城市、路易十四或墨尔本的存在一样；它甚至可以与我们认为外部世界存在的确定性相媲美。”

博雷尔接着给出了一些确认事件永不发生的“足够小”的概率尺度，下面列出的就是他给出的尺度标准（稍有修改）。为便于理解，我针对每种标准举了相应的例子。

从人类的角度来看，可忽略不计的概率值约小于百万分之一。打扑克牌时出现同花顺的概率约为1/650000，几乎是百万分之一的两倍。一年有3000多万秒，因此，按博雷尔的这个尺度来计算，我和你在同一秒钟内选择做同一件事情的概率可被忽略不计。

从地球的角度来看，可忽略不计的概率值小于1/1015（不了解这个数学符号含义的读者可参阅附录1）。地球的表面积约为5.5×1015平方英尺（约4.95×1014平方米），因此，你和我随机选中同一平方英尺地块（忽略掉一些细节问题，例如有许多平方英尺的地块位于海洋中）的概率几乎可以忽略不计。玩桥牌时，一名玩家获得同一花色所有桥牌的概率约为1/（4×1010），远高于从地球的角度来看可以忽略不计的概率值。

从宇宙的角度来看，可忽略不计的概率值小于1/1050。地球大约由1050个原子组成，因此你和我从整个地球中各自选中同一个原子的可能性微乎其微。更何况，整个宇宙中“只”有1023颗恒星。

从超宇宙的角度来看，可忽略不计的概率值小于1/101000000000。由于宇宙中亚原子重子粒子的数量估计为1080个，我很难举出概率如此小的恰当例子。

参考博雷尔提出的概率尺度，我们就知道了什么时候应该把某些事件视为不可能发生的事件。但非概率原理告诉我们，不大可能发生的事件，甚至是博雷尔所描述的那种几乎不可能发生的事件，仍在持续发生着。也就是说，这样的事件不仅有可能发生，而且还会一而再再而三地发生。当然，这两个法则不可能都是对的：要么这些事件不大可能发生，以至于我们永远看不到它们发生；要么它们很有可能发生，以至于我们一次又一次地看到它们发生。

我们可以通过层层分析不可能性的含义来解决这一明显的矛盾。我们可以把非概率原理视为一颗洋葱，把它不同的组成部分视作洋葱的各层表皮，每剥开一层，其含义就更明晰一分。非概率原理的不同组成部分，包括必然法则（the law of inevitability）、巨数法则（the law of truly large numbers）、够近法则（the law of near enough）、选择法则（the law of selection）和概率杠杆法则（the law of probability lever），都阐明了博雷尔定律和非概率原理如何同时发挥效力。

非概率原理的某些组成部分影响深远，另一些则不然。例如，在确认疾病集中爆发是污染物引起的还是只是偶然因素导致的时，巨数法则发挥了至关重要的作用。接下来要说的这个例子与朝鲜前领导人金正日有关，从表面上看它不大可能发生，但它却实实在在地发生了，你会觉得很不可思议。2011年12月19日，《美国新闻与世界报道》（U.S. News & World Report）称：“1994年，金正日第一次打高尔夫球时就征服了约6400米的平壤高尔夫球场：他打出了令人难以置信的成绩——低于标准杆38杆，在朝鲜这座唯一的高尔夫球场上，他最差的成绩是小鸟球。在现场17名保镖的见证下，他打出了11个一杆进洞球。”

看到这个例子时你是什么反应呢？正如我所说，非概率原理的某些部分简单易懂，但另一些部分却深刻玄奥，需要我们费一番功夫进行探究。

1 一种早期的机械文字处理器，其键盘与金属小锤相连接，敲击键盘时，小锤子会击打浸了墨水的色带，从而在纸上留下字母印记。