走进虚拟世界——“拉普拉斯妖”随笔之三

有一个能思考会想象的脑袋，

就一定会构造出形形色色的虚拟世界来。

一、两类虚拟的世界

在人们生活的世界里，自然界山崩、地裂等若干现象会带给人们灾难与恐惧；社会里的喧闹、枪声等多种声音又会带给人们烦恼与惊恐。人们常常为了摆脱、超越乃至探索这样的世界，需要祈求、寻找各种帮助，其中之一就是构造各种虚拟的场所。随着社会的发展，这类场所越来越多，形形色色，但大致可分为两类。

一类是与人的灵魂相关的。

例如，由于人们对天象的无知和对生死的困厄，宗教构造了神仙与妖魔活动的世界，用天壤之别的两处情景来告诫人们如何才能脱离苦海进入天堂。又如，由于人们对人世间掠夺与罪恶的痛恨，思想家构造了乌托邦式的社会，让人们有了追求理想国度的目标。再如，由于文人对官场的厌恶，“陶渊明”们走进了桃花源，仅300多字的《桃花源记》，勾画出了一个没有竞逐角斗、淳朴安宁的虚拟世界；现今的互联网又为这一代的地球居民构造了一个更大、更广，可以让人们离开现实的另一个虚拟世界。

另一类是与人的心智相关的。

例如，人们从实物的形状抽象出来的几何学，最早是由柏拉图（约前360年）用直线、圆周和平面构造的图形世界，后来是由欧几里得构造的几何世界。在这个世界里没有任何可以让人们感觉到的具体物件，只是可以通过人的智力去理解它们与真实世界的联系。然而，正因为有了这种联系，反倒让人们能更好地去完成对真实世界的探究。

这两类世界虽然是虚幻的，但与真实世界联系着，是真实世界的一种延伸和映射，是真实世界抽象的图形或晃动的影子。

哈密顿为我们构造了一个力学世界，属于后一类，与人们的心智相连，类似于数学中的几何世界。在这个世界里，哈密顿研究真实世界里物体的运动，描述了它们运动的情况，绘制了宇宙运动的近似图景，为“拉普拉斯妖”的登台表演提供了更有说服力的理由。

具体地说，哈密顿为我们构造的是一个多维空间的虚拟世界。因此，在了解这个世界之前，我们还得先了解一下什么是空间的“维”，进而了解与这个世界里的相关概念，然后才能了解哈密顿在这个虚拟世界里的工作究竟是怎么回事，进而理解其工作的意义。

二、空间的维度

应该说“维”对于我们的日常生活并不重要，因为古人并不知道这个概念，照旧生活着，许多人完全不知道“维”是什么，也生活得很好。文明的进步使这个概念逐渐地走进人们的视野，尤其是到了20世纪初，随着物理学、数学中关于空间理论的发展，“维”这一概念越发被人们所重视。

“维”，是指时、空某个独立的方向，通常用坐标轴来表示。

这里的“维”，是指能表述、区别空间不同的存在形式的概念。线是一维的，面是二维的，我们日常所说的有长、宽、高的空间，是指空间的三个独立的方向，是三维的。这里的维数，也称作维度。

下面做具体说明。

一维空间，就是一条线。

此线可直、可曲，但没有宽和高，只有长与短。

这是一个什么样的空间呢？我们可以想象有一种理想的生物能生活在这个世界里，它们的生存状态就可以让我们来较好地理解这是一个什么样的空间。这些生物的躯体只能是一条线，它们如果有视觉，也只能看到前面极细极窄的一条线，看不到左右、上下，更看不到身后，这些生物的运动也只能或是前行或是后退的平移，当然也不能调头或错位，因为如果一调头，一错位，就要做左右、上下的挪动，而在这个世界里没有这样的空间，因此是无法实现的。

在这个世界里出现了一个奇异现象，这些生物在这一维空间位置的前后次序是早就由“老天”决定了的，是永远也无法改变的一种“天定”的宿命。

二维空间，就是一个面。

此面可以是平直的，像无限展开的平整的桌面；也可以是弯曲的，像无限延伸的一张扭曲的报纸。这是什么样的空间呢？为了更好地理解这样的空间，也可设想一种理想的生物生活在这样的空间里，它们只能是始终熨贴在面内像一片薄纸那样的扁片形生物，只可以在面内四处平移爬行，但不能有离开这个面的上下运动，当然也不能翻身，因为翻身需要上下空间，所以不可能实现。

现在有一种被称作维工程的空间技术，即制作了准低维的新物质结构，如在理想晶格的晶体表面上生长出理想的晶体，亦称生长面，在此面内的电子被限制在只有约10-5毫米厚的面内运动，这些电子“感觉”到的世界就可当作二维的；还有使电子处在细细的晶体生长线上，或让电子局限在聚合物碳链上，这些电子“感觉”到的世界也可以当作一维的。

我们生活的空间是三维的。

在这个空间中的任何物体，如果没有阻挡，总可以沿着前后、左右、上下三个独立的方向（或者说沿三个互相垂直的坐标轴）运动。我们还可以用一个生活中经常发生的事情，来说明我们生活的空间“维”的性质。比如，你要与一个朋友在某车站见面，你可以告诉他用四个数描述的信息：前两个数来确定车站的平面位置，第三个数来确定楼层，第四个数是时间。前三个数说明我们生活的世界为什么是三维的道理。

高维度的空间中可以包含低维度的空间，因此在三维空间中可以存在二维的面和一维的线。一个几何点的空间是零维的。人们还没有发现四维空间，它只是在数学、物理等领域里被运用。人们能感觉到的这个世界上发生的一切事情都是在三维空间中发生的。

为什么我们的空间会是三维的呢？如果要从根本上回答这个问题，这也许又是一个需要去考虑的关于宇宙本质的事，物理学目前可能还无法给予回答。然而物理学可以从自身研究中来提出某种看法，对我们这个世界为什么是三维的提出一种猜测。

德国大哲学家康德在沉思牛顿的万有引力定律时，提出了定律中的引力与距离的关系是与我们空间的维数相关的猜想。他认为空间若是n维的，引力将与距离的（n-1）次方成反比。那么，如果引力与距离的立方成反比，则我们生活的空间就是四维的；作为一个逆向的逻辑推理，因为引力与距离的平方成反比，所以我们的空间是三维的。这也是人类第一次提出了一个定律的形式与空间的维度相关的想法。当然，他也无法回答“为什么引力与距离的（n-1）次方成反比”。

三、维度趣谈

生活在高维度中的居民有一种视觉上的优越性，可以看到生活在低维度中的居民的“生活情景”；反之，生活在低维度中的居民无论如何也看不到生活在高维度中的居民的“生活情景”。这种视觉优势绝对是单向的。高维居民看到低维居民的生活是那样的困窘和无奈，在他们看来很简单的事在低维空间的居民却是永远也无法完成的。

不同维度的世界存在的差异，从而引出了许多匪夷所思的趣事。

在一个二维世界中，一条坚固的闭合曲线，就可将这个世界分作内部和外部不能联系的两个部分，因为此曲线坚固，内外两部分居民不能相互穿越，也没有翻越曲线障碍的维度。这两部分居民只能像《老子》中所写的那样：“鸡犬之声相闻，民至老死不相往来。”

当然这里的“居民”和“鸡犬”也只能是扁片形的生物，它们的声音也只能是在扁面的空间内传播。这些生物如果带有扁平管状消化系统，那么，它们“吃饭”和“排泄”的“入口”与“出口”就只能是一个“口”，否则，一旦出现了两个“口”，就必然会使这种生物的扁片肢体分离为两部分，这种生物也就不能在这个世界里存在了。

一条在二维世界中的无限蜿蜒的曲线总是会相交的，而在三维世界中这条曲线可以缠绕而不必相交。然而，三维世界的事与二维世界的事相比，并不都变得复杂，有些事反而会变得简单些。在二维平面中可以有无限多种正多边形，而在三维空间中却只有五种正多面体。

一条在一维空间（相当于在一根细丝上）向前移动的生物想要调个头是不可能的。然而，只要把它拿到二维空间里，旋转180°，再放回它原来生活的一维空间，就完成了调头。同样在二维空间中（如在桌面上），一个带有右手螺旋的铁丝圈，怎么运动也不可能变成左手螺旋的；但是若把这个铁丝圈拿到三维空间（从桌面上提起来），翻一个身，再放回二维空间，这个铁丝圈就变成左手螺旋的了。看来在低维空间不能实现的事情，可以把它拿到高维空间中，进行恰当的简单操作，再放回原来的空间，就可以实现。显然这种在高维空间的操作，生活在低维空间的居民是无论如何都做不到，也看不见的。

同理，一只三维空间的右手手套，拿到四维空间，进行恰当的操作，再拿回三维空间，就会变成左手手套。在乒乓球队里由于参加双打比赛常常会缺少左撇子的运动员，若把一个右撇子的队员放到四维空间中，进行恰当的操作，再回到球队，估计他就可能变成一名左撇子的队员。据说世界上曾出现过心脏靠右的人，这种人只要到四维世界中，进行一个操作（绝非医疗手术），再回到三维世界，心脏位置就会与正常人的一样了。

在微观世界的弱相互作用可导致中子的衰变，这种衰变会分解为质子、电子和中微子，在人们进行的全部实验中，发现的这些中微子都是“左撇子”（逆时针旋转前进）。这种单一的手性，除非它以光速前进，否则，只要有观察者跑到它的前面，再回头看，粒子的手性当然就会变成“右撇子”了。然而它的质量还不为零（虽然非常小，只有质子质量的千亿分之一），也就是说，它还不具有光速，但实验中观察到的中微子都是“左撇子”。

这一奇特的现象使物理学家感到非常惊奇，著名物理学家泡利为此留下了这样一句话：“我无法相信上帝竟然是个软弱的左撇子。”他这句话的意思不是说上帝是“左撇子”，只是他在“弱”相互作用中，造出的中微子都是“左撇子”。当然，如果存在四维空间，让这样的一个中微子到这个空间进行一番操作，再回到三维世界，那么就会出现许多物理学家都在苦苦期盼的“右撇子”中微子了。

1877年，英国伦敦有一位名叫亨利·斯莱德的人，自称能进入四维空间进行种种操作，从而完成在三维空间看来无法完成的事情。比如，把两个完好的木环无须将环掰开就能把它们套在一起；将一右旋的蜗牛壳变成左旋的蜗牛壳；移出封闭在瓶子里的药丸而无须打开瓶盖；等等。

我们可以想得出来，一个二维的扁平智能生物，由于生存空间的限制，不存在走进三维空间的通道。同样的道理，即使存在四维空间，我们也是无法走进去的，不是无法找到这个通道，而是根本就不存在这个通道。因此，斯莱德的话只能是骗人的鬼话，最终法院判定他犯有欺骗罪。

四维空间对于我们人类来说的确是一个神秘的地方。我们熟悉三维空间的物体在二维面上投影是一个扁片的影子。通过类比我们可以想象四维空间的物体在三维空间的投影是个什么样子。用一个点光源照射三维空间的立方体，看它在二维面上的投影，这像对应四只角连起来的“回”字。那么四维空间的“立方体”在三维空间的类似于上面的投影，有人得到的结果是：是一个立方体里套一个立方体，再把对应的顶点连起来，这是一个24个面、32条棱、16个顶点的奇图形。同样，一个四维空间的“球”在三维空间的投影是两个互相贯穿外表面连在一起的怪图形。至于四维空间中的“立方体”和“球”究竟是个什么样子，人们更是很难想象出来。

四维空间中的“立方体”“球”这种最简单的几何图形，它们在我们熟悉的三维空间的投影就使我们费足了脑力，看来要想象四维空间一般物体的样子，如一只碗或一条狗，可能是谁都难想得出来了。难怪《科学美国人》杂志，要在1909年为谁能通俗地解说四维空间里的事物提供500美元的奖金悬赏了。

常听人说，人类的想象力可以是无限的，什么都可以想得出来。看来要对这种说法打一个问号了。在我的文章中，已有两类问题使人类的思维遭遇了障碍：

一类是像“在宇宙中为什么会存在哈密顿原理”“我们生活的空间为什么会是三维的”等问题，我们的经验、智力不够，没有能力来回答这些问题，这类问题可能会阶段性地划定人类智能的边界。

另一类是对高维空间中物的形体描述，我们会随着维度的增加，越来越说不清楚。也可能随着科技的发展，人们借助于工具，可以对更高维的物像进行描述，但总会在某一高维空间前停顿下来，显得我们的智力仍然不够，没有力量来回答这类问题。这就像人类跑百米的速度总有一个极限值一样，这类问题又划定了人类智力的极限。

四、哈密顿构造的高维空间

在宗教文化和文学作品中，出现的虚拟世界可以是朦胧、神奇和虚幻的，人们的想象力可以在这里遨游，而科学理论中出现的虚拟世界则是清晰和严格的，人们的思想只能在分布着法则和逻辑的空间里行走。

哈密顿为我们构建的就是有法则和逻辑的世界。我们走进这个世界，就会看到整个物质世界要遵从的规则与秩序，在这里能启迪我们的智慧，让我们看到了描述自然界的新方法。应当说，有机会能到这个世界一游，对我们的智力无疑是一次考验与挑战。

那么，就让我们一起到这个世界里去漫步吧。

为了让这次漫步轻松而愉快，让我们从这个虚拟世界的入口处开始，细细地讲解。

假定有A、B两个粒子都做一维的运动，粒子A沿x轴，粒子B沿y轴，且x轴与y轴互相垂直。我们可以在x轴、y轴构成的平面上找到一个点P，使P点在x轴、y轴上的投影点，始终与A、B两粒子的位置相重合。这样，A、B两粒子的一维运动就构成了P点的二维运动，或者说P点的二维运动对应着A、B两粒子的一维运动。

这一做法是把空间的维数扩大了一倍（从1到2），把研究的对象缩小了一半（由2到1）。同理，三维空间一个点可以对应3个粒子沿3条互相垂直轴上的运动，推而广之，在n维空间中的一个点，当然也能代表n个粒子的一维运动。

如果上述粒子不是沿直线运动的，而是在三维空间中运动的。那么，我们只要把坐标的数目扩大3倍，上述做法仍然能成立。6维空间中的一个点的运动就可以用来代表2个在三维空间中运动的粒子；同理，9维、12维、3n维空间中的一个点就能分别代表3个、4个、n个粒子在三维空间中的运动了。

总之，多维空间中的一个点的运动，同样可以代表在三维空间中许多点的运动。

我们已经知道，哈密顿为了更好地研究多粒子系统，在方程中把描述粒子运动状态的变量扩大了一倍，把位置变量扩大为位置和动量两个变量，因此用哈密顿建立的空间来研究系统的运动，空间维数还得再扩大一倍。

我们仍从沿直线运动的粒子A开始讨论，建立一个相互垂直的x（对应A的位置）轴和px（对应A的动量）轴，构成一个二维的空间，这种由坐标和动量构成的空间称为相空间。显然，在x和px平面上的一个点，可以用来表示粒子A在某一时刻的位置和动量值，如果这个粒子在三维空间中运动，显然它的相空间就是3个位置坐标和3个动量坐标构成的6维相空间。若有两个粒子在三维空间中运动，则12维相空间中的一个点，可以对应2个粒子在它们各自的相空间中的运动。同理，6n维空间（3n维是坐标，3n维是动量）中的一个点，就能代表n个粒子在各自对应的6维相空间中的运动。

我们可以把这种扩大具体化，来满足我们用这种方法研究一个巨粒子系统的需求。我们知道1mol的分子数约为1023个，若有一个包含了1023个分子的系统，那么这个系统的相空间就是6×1023维；宇宙系统中的原子数约为1080个，把每一个原子都当作一个粒子，则描述宇宙系统的相空间的维数就是6×1080维。尽管这样的相空间要具体地想象出来是不可能的，当然也绝对不可能画出来，然而对于高维相空间中一个点的运动就能代表一个系统中大量粒子的运动，这一方法所表述的思想应当是清楚的，是能够理解的。

为了叙述方便，我们把n个粒子在相空间中的代表点叫作Q。由Q在6n维相空间的位置就可以确定n个粒子的位置和动量，因此Q点的状态也完全可以表示n个粒子组成的系统状态。

例如，对于太阳、地球、月亮组成的系统，如果把三者都看作粒子，就可用18维相空间的一个代表点Q来描述这个系统，这个Q点的运动和各时刻的状态就能分别对应太阳、地球、月亮的运动和它们各时刻的状态。显然无论是多分子构成的气体系统，还是多原子构成的宇宙系统，在它们的相空间中也都只要用一个代表点就可以描写系统的运动了。

哈密顿的做法实际上是一种变换，用空间维数的扩大，换得研究对象的单一。这是经典力学解决问题的一种方法，也是探究物质世界运动的一种好方法。

在哈密顿为我们建造的多维世界里，显然，我们的智力不可避免地会遭遇许多障碍。比如，在这个世界里，我们很难想象代表点的运动如何与多粒子的具体运动能一一对应起来；又如，要画出代表点的运动图像对于一些简单的情况还有可能，对于较一般的情况是很困难的或者是不可能的。

尽管如此，我们还是可以通过这样描述方法，对于复杂系统的整体运动进行适度的分析，对于这类系统的运动变化总体上的特征有所了解，从而使牛顿理论又向前跨越了一步。

我们期待着从这个虚拟的，由人类的理性构建的多维的世界里传来好消息。