§1.3　极限的概念与基本运算法则

首先考虑数列

项数n无限增大记作n→∞，下面讨论当n→∞时，会引起一般项yn＝f（n）怎样的变化趋势．

例1　考虑数列

容易看出：当n→∞时，一般项无限接近于常数零．

定义1﹒8　已知数列

当n→∞时，若一般项yn无限接近于常数A，则称当n→∞时数列yn的极限为A，记作

根据数列极限的定义，在例1中极限

例1的结论可以推广，对于公比为q的等比数列yn＝qn（｜q｜＜1）也有极限

当n→∞时，数列极限不存在的情况是数列无界如数列yn＝n2，或者数列尽管有界但取值在某固定范围内振荡如数列yn＝（－1）n－1．

当n→∞时，若数列极限存在，则称数列收敛；若数列极限不存在，则称数列发散．

其次考虑函数y＝f（x），自变量x在变化过程中的取值一定属于函数定义域，分下列两种基本情况讨论函数y＝f（x）的变化趋势．

1．第一种基本情况

自变量x取值无限远离原点，这意味着自变量x的绝对值｜x｜无限增大，记作x→∞．x→∞包括两个方向：一个是沿着x轴的负向远离原点，这时自变量x取值为负且｜x｜无限增大，记作x→－∞；另一个则是沿着x轴的正向远离原点，这时自变量x取值为正且｜x｜无限增大，记作x→＋∞．因而x→∞意味着同时考虑x→－∞与x→＋∞．

例2　考虑函数，观察函数图形，如图1-6，容易看出：当x→－∞与x→＋∞时，对应的函数曲线都无限接近于x轴，即对应的函数y值都无限接近于常数零，意味着当x→∞时，对应的函数y值无限接近于常数零．

图1-6

定义1﹒9　已知函数f（x）在自变量x取值无限远离原点的情况下有定义，当x→∞时，若函数f（x）无限接近于常数A，则称当x→∞时函数f（x）的极限为A，记作

注意到x→∞意味着同时考虑x→－∞与x→＋∞．于是有下面的定理．

定理1﹒1　极限成立等价于极限

同时成立．

根据这个定理，极限中只要有一个不存在，或者虽然都存在但不相等，则极限不存在．有时也单独考虑极限．

根据函数极限的定义，在例2中极限

例3　讨论极限

解：观察函数y＝arctanx的图形，如图1-7，容易看出：当x→－∞时，对应的函数曲线y＝arctanx无限接近于直线，即对应的函数y值无限接近于常数；当x→＋∞时，对应的函数曲线y＝arctanx无限接近于直线，即对应的函数y值无限接近于常数．所以极限

由于极限，根据定理1﹒1，所以极限

图1-7

例4　讨论极限

解：观察函数y＝sinx的图形，如图1-8，容易看出：无论当x→－∞时还是当x→＋∞时，对应的函数y值在区间［－1，1］上振荡，不能无限接近于任何常数，所以极限

图1-8

由于数列极限是函数极限的特殊情况，于是得到结论：如果函数极限，则数列极限

2．第二种基本情况

自变量x取值无限接近于有限点x0，记作x→x0．应注意的是：在x→x0的过程中，点x始终不到达点x0，即恒有x≠x0．x→x0包括两个方向：一个是点x从点x0的左方无限接近于点x0，记作；另一个则是点x从点x0的右方无限接近于点x0，记作．因而x→x0意味着同时考虑与．

例5　考虑函数y＝2x＋1，在点x＝5左右，自变量x与函数y的对应数值情况列表如表1-1：

表1-1

从表1-1中容易看出：当x→5时，对应的函数y值无限接近于常数11．

定义1﹒10　已知函数f（x）在点x0左右有定义，当x→x0时，若函数f（x）无限接近于常数A，则称当x→x0时函数f（x）的极限为A，记作

极限也可以称为函数f（x）在点x0处的极限，极限称为函数f（x）在点x0处的左极限，极限称为函数f（x）在点x0处的右极限．注意到x→x0意味着同时考虑，于是有下面的定理．

定理1﹒2　极限成立等价于

同时成立．

这个定理说明：函数在有限点处极限存在的充分必要条件是左极限与右极限都存在且相等．

根据这个定理，左极限与右极限中只要有一个不存在，或者虽然都存在但不相等，则极限不存在．有时也单独考虑左极限或右极限．

由于在x→x0的过程中，恒有x≠x0，因而在一般情况下，函数f（x）在点x0处有无定义都不影响它在点x0处的极限情况．

根据函数极限的定义，在例5中极限

数列与函数统称为变量，它们的极限统称为变量极限．如果变量极限存在，则其极限是唯一的，其在极限过程中某时刻后有界．若变量y的极限为A，则记作

以后只在讨论对于数列极限与函数极限皆适用的一般性结论时，才能使用通用记号limy．若已经给出变量y的函数表达式，则不能使用通用记号，必须在极限记号下面标明自变量的变化趋势．

显然，常数c的极限等于c，即

下面给出极限基本运算法则：

法则1　如果极限limu与limv都存在，则极限

法则2　如果极限limu与limv都存在，则极限

法则3　如果极限limu与limv都存在，且极限limv≠0，则极限

法则4　如果极限limu（x）存在，且函数值f（limu（x））有意义，则极限

法则5　如果函数f（x）是定义域为D的初等函数，且有限点x0∈D，则极限

推论1　如果有限个变量u1，u2，…，um的极限都存在，则极限

推论2　如果有限个变量u1，u2，…，um的极限都存在，则极限

推论3　如果极限limv存在，k为常数，则极限

在满足法则4条件的情况下，函数的复合运算与极限运算可以交换次序；在满足法则5条件的情况下，求函数的极限就化为计算相应的函数值．

例6

本来在一般情况下，函数在属于定义域的有限点处的极限值与它在该点处的函数值没有必然联系，但法则5说明：初等函数在属于定义域的有限点处的极限值却等于它在该点处的函数值，因此法则5解决了初等函数的基本极限计算，在计算初等函数f（x）在有限点x0处的极限时，应在初等函数f（x）的表达式中，变量x用数x0代入，若得到确定的数值f（x0），则函数值f（x0）就是所求极限．

继续讨论分段函数在分界点处的极限．若分段函数在分界点左右的数学表达式一样，则直接计算其极限；若分段函数在分界点左右的数学表达式不一样，则应分别计算其左极限与右极限，只有左极限与右极限都存在且相等，极限才存在．

例7　已知分段函数

讨论左极限，右极限及极限．

解：考虑到x→0－意味着点x从原点的左方无限接近于原点，从而在x→0－的过程中，恒有x＜0，这时函数f（x）＝3x＋1，所以左极限

考虑到x→0＋意味着点x从原点的右方无限接近于原点，从而在x→0＋的过程中，恒有x＞0，这时函数f（x）＝3x＋2，所以右极限

由于左极限与右极限都等于2，根据定理1﹒2，所以极限

例8　填空题

左极限．

解：注意到绝对值｜x｜作为自变量x的函数是分段函数，分界点为点x＝0，其表达式为

考虑到x→0－意味着点x从原点的左方无限接近于原点，从而在x→0－的过程中，恒有x＜0，这时绝对值｜x｜＝－x，得到左极限

于是应将“－1”直接填在空内．

最后给出反映极限重要性质的定理：

定理1﹒3　函数极限值与函数表达式中变量记号无关．即：尽管变量u＝u（x），恒有极限