翻两番的结果

关于国王对国际象棋的发明者的奖赏的故事广为流传，它很好地说明了即使再小的量翻几番后，变大的速度也是惊人的。在这里不讨论这个经典的例子，我接下来举一些没那么广为人知的例子。

题目

草履虫平均每隔27小时一分为二。若所有如此分裂而来的草履虫都能存活下来，那么一只草履虫的后代经过多长时间体积能达到太阳那么大？

供计算使用的数据：分裂后存活的草履虫第40代所占的空间为1立方米；太阳的体积取1027立方米。

解析

问题在于1立方米多少倍后可以达到1027立方米。我们进行以下变形：

1027 = （103）9 ≈ （210）9 = 290，

因为210 ≈ 1000。

那么第40代还要经历90次分裂才能长到太阳那么大。

从第一代算起经历的总代数为40+90 =130代。很容易算出这将发生在第147天。

值得一提的是，现实中某位微生物学家就观察到草履虫进行了8061次分裂。请读者算一算，这么多数量的草履虫如果都没有死亡会占多大的空间？

这道题目里研究的问题可以反过来提：

我们想象像把太阳切割成两半，每一半再分成两半。如此分割多少次，才能使分割的部分变得和草履虫一样大？

尽管读者已经知道答案——130次，但这个数字依然是小得惊人。

同样的问题我遇到的是这种形式：

一张纸撕成两半，得到的每一半再分成两半等等。需要分多少次才能得到原子那么大的微粒？

假设纸重1克，原子的重量取约克。因为其中1024可以替换成与其近似的280，那么显然，只需分割80次，根本不是一百万次，尽管有不少人如此回答这个问题。