第二节 看我凹造型！——变化多样的七巧板

第60届国际数学奥林匹克竞赛（IMO），于2019年7月16日至17日在英国巴斯大学举行。中国队有6名高中选手获得金牌，其中有2名选手荣获极高的42分，6人总分为227分，与美国参赛队并列冠军。值得关注的是，6名美国参赛选手中有5名是华裔，包括领队和副领队。而加拿大队中，同样出现了5名华裔。此外，国际学生评估项目曾对全球50万名学生进行测试。在评估结果中，来自中国的孩子的数学成绩遥遥领先。

为什么中国人学数学这么厉害呢？原因肯定是多方面的。这一节要讲其中一个重要原因——中国人从很小的时候开始，就在有意无意地培养“数学思维”。大部分的中国孩子都曾玩过“七巧板”“华容道”“九连环”等玩具，它们被誉为“中国古典智力游戏三绝”，都包含着极为丰富的数学原理。比如，用七巧板可以拼出多少个多边形，便是一道由两位中国数学家通过精妙计算后解决的数学问题。又如，解开九连环的步数和环数之间，存在可以参考的数学公式。这里我们重点探究一下七巧板的趣味。

七巧板是中国最古老的智力游戏之一

七巧板又称“智慧版”“益智图”“七巧图”“唐图”，是一种由7块板组拼而成的益智玩具，也是一种历史悠久、名扬全球的玩具。

相传七巧板已有数千年的历史，在世界各地、各民族中广泛流行。在我国西周时期，七巧板的祖先“五巧板”，就有帮助周公认识世界即“周公问矩”的故事，在之后的历史中关于七巧板的故事也很多，这里略去不提。欧洲也曾为之疯狂，在欧洲历史上留下了许多故事。据说曾经显赫一时的法国皇帝拿破仑·波拿巴在滑铁卢战役失败后，被流放到大西洋的一个岛屿上，成了七巧板游戏的狂热爱好者，七巧板智慧游戏陪他度过了他的流放生涯。

七巧板是由7块板组成的，完整的图案为一个正方形：5块等腰直角三角形（2块小三角形、1块中三角形和2块大三角形）、1块正方形和1块平行四边形。

你相信吗？只要放飞想象力，就可以利用七巧板拼组出一个极其精彩的世界。小小的7块板，为什么会有这么惊人的表现力？它有什么特别之处？它所蕴含的世界的秘密是什么？

1.试试你的巧手，动手做一做传统七巧板

使用一个正方形作为底板制作的七巧板，是商店里常见的类型，所以制作方法相对简单。如图所示：

第一步，找一块结实耐用的正方形厚纸板（或者用木板，不太适合自己做，可以请木工师傅帮忙做），进行划分；

第二步，画出正方形ABCD的2条对角线AC和BD，相交于G；

第三步，找到BC边和DC边的中点并连接成线，与对角线AC相交于K；

第四步，过K点做BC的平行线，与对角线BD相交于H；

第五步，从E向对角线BD作垂线相交于L。

在上面形成的图形中，CK为虚线（不能切开），沿着其他线剪切开就是一副七巧板了：2个大三角形、1个中三角形、2个小三角形、1个正方形和1个平行四边形。还可以给它们涂上不同的颜色（按照这种方法可以多做几副备用）。

七巧板拼图游戏的规则

规则一：在拼组七巧板的时候，所有的组件都必须用到，而且只能使用7个组件排列（下文讲到的用2副甚至多副的除外）；

规则二：7个组件不能重叠，可以边边相接，也可以角边相接，所以，无论拼组成哪种图形，总面积一定相等。

七巧板拼图的玩法

一般有三种情况：

第一种，按照图形拼组出答案；

第二种，根据图形找出一种或一种以上的拼组方法；

第三种，也是最多、最有趣的玩法，根据自己的想象创造出新的玩法。

七巧板拼图的玩法本身就是一种非常特别、很有个性的游戏，每个人完全可以脑洞大开，展开自己的想象力，创造出与众不同的玩法。

知道了七巧板拼图游戏的规则和一般玩法后，我们就来体验一下吧！

练习：玩转七巧板

照着下面这些图形试一试：

（1）实物类

房子

帆船

茶壶

飞机

高跟鞋

花瓶

火箭

桥

（2）动物类

乌龟

兔子

牛

狐狸

驴

海豹

狗

鸭子

（3）人物类

走

坐

踢球

跑

敬茶

滑冰

跳舞

（4）数字类

2.制作升级七巧板

接下来，难度升级，运用两个大小完全相同的正方形底板，制作一副更大的七巧板。你需要对两个正方形进行划分，如图所示：

第一步，在第一个正方形ABCD中，任意画出2条对角线，AC或者BD；

第二步，在另一个正方形EFGH中，量取EH的中点L和GH的中点K，分别画出平行于四条边的直线，相交点为中心I；

第三步，量取EF的中点J，并与和EH的中点L相连；

第四步，画线连接FI和GI。

第一个正方形ABCD：照着对角线，将正方形ABCD剪成2个等边三角形。

另一个正方形EFGH：沿着画好的实线，以任意次序将这个正方形剪成5个小块。

2个三角形，5个小块，合二为一，便组成了一副标准的七巧板。

3.探索七巧板，发现它的数学奥秘

标准的七巧板是由规则的三角形、正方形、平行四边形等规则多边形组成的。其中，七巧板的“七”在数学上被称为“素数”，即不能分为对称的两半。但就是这样一个由直线围成、没什么变化和曲线美的七巧板，却能通过拼接，组成无数优美的艺术图案。产生这种效果的原因就在于，制作七巧板时对正方形的巧妙分割方式。

第一个数学奥秘：等差的边长

在两次制作七巧板的经验帮助下，相信你很容易理解，如果把剪下来的最小正方形的边长设定为单位1，那么，七巧板其他几个小块的边长就只会出现以下4种数值：单位1，单位√2（≈1.4），单位2，单位2√2（≈2.8），这四个长度之间近似形成了1.4-1=0.4，2-1.4=0.6；2.8-2=0.8，三个均匀递增的台阶，如图所示。这便是七巧板潜藏的数学奥秘之一：等差数列。

七巧板中4种边长长度之间的关系

第二个数学奥秘：成比例的角度

在两次制作七巧板的经验帮助下，相信你很容易发现，七巧板的组成包括2个大三角形、1个中三角形、2个小三角形，共5个三角形，并且他们都是等腰直角三角形。另外，剩下的2个图形中，其中一个是正方形，一个是边长为1∶√2（≈1.4）的平行四边形。因此，可以判断出，它们的内角角度都是45°的整数倍——针对三角形而言，有一个直角（2×45°），一共两个45°；针对正方形而言，4个角都是直角（2×45°）；针对平行四边形而言，2个角是45°，2个是135°（3×45°）。很明显，七巧板的7个拼板的所有内角之间，形成了45°∶90°∶135°=1∶2∶3。这样成比例的关系，是能拼接出各色图形的另一个数学基础。

第三个数学奥秘：成比例的面积

在两次制作七巧板的经验帮助下，相信你很容易发现，如果假设下面的4个小方格的面积为单位1，那么，小三角形的面积为；中三角形和平行四边形的面积则与4个小方格面积相同，为单位1，因为它们都可以由2个相同的小三角形构成；可以由8个小方格（1个正方形和2个小三角形，或者1个平行四边形和2个小三角形，或者4个小三角形）组成的大三角形，面积都是单位2，如图所示。于是，不难得出以下结论：一副标准的七巧板可以被当成通过16个小三角形（1+1+1×2+1×2+1×2+2×4=16）构成，总面积是单位。这意味着，7块组成部分中，小三角形的面积：正方形（中三角形、平行四边形）的面积：大三角形的面积：一副七巧板的面积=1∶2∶4∶8。这样成比例的关系，是让各小块能互相替换、排列组合创造条件的第三个数学基础。

七巧板可以分成大小均等的16个三角形

将七巧板像下图一样，画在小方格纸上。从图画上，我们很容易观察到，三角形的直角边均与小方格纸上的横、纵坐标线相交，而且都是小方格的整数倍；三角形的斜边正好是小方格的对角线。在数学上，这种三角形的直角边被称为“有理边”，而三角形的斜边被称为“无理边”。

4.七巧板的悖论

上一节“我在撒谎！——荒诞无比的悖论”中，已经比较详细地讲了关于“悖论”的问题。这些发生在数学、逻辑学中的悖论，曾引起科学家们的激烈讨论。而在七巧板的研究和探讨过程中，人们逐渐发现它也存在着一些鲜为人知的悖论。

下图是由4组8个七巧板构成的图形组成，前面3组中的2个图形，从外形上看是完全相同的。但左图是实心，右图要么有边缘的缺口，要么有内部的缺失；最后一组图均是人形，左图的那个人有一只脚，但是右图的那个人却没有。

有趣之处就在于，这8个七巧板构成的图形，用的是同一副七巧板。那么，问题来了，到底是哪里出了问题呢？

如果你认真阅读了七巧板所涉及的数学理论知识的讲解，那么，你应该已经知道如何解答这个问题了。如果你暂时对这个问题没有头绪，建议你往前翻，再认真看一看，特别是关于七巧板等积变换的那部分。没错，类似七巧板悖论，产生的根源都是等积变换。

接下来，我们以最后一组的两个小人为例，详细讲解一下产生这种悖论的过程。假设左图的小人为A，右图的小人为B，小人A和小人B有看起来相似的外形，但是他们的内部构造（七巧板拼法）完全不同。小人A的身体只用了七巧板中的6块，其中最小的那个小三角形成了他的脚；小人B的身体却将七巧板的7块都用了，因此他没有脚。所以，小人A和小人B虽然看起来很像，但是有胖瘦的区别——请认真看，小人A要更瘦、更矮一些，而小人B要更胖、更高一些。这些区别非常细微，容易造成视觉上的错觉，一眼看过去还以为一模一样，让人觉得不可思议。

相信通过解说，其他3组七巧板悖论的奥秘，你已经能够自己找到答案了。

【小游戏，考考你】

这些都是七巧板的杰作吗？七巧板因为7个组块的特性，可以拼接出许多有趣的图形，也由于以上特性，决定了它拼出的图形都是有迹可循的。

请你判断，下面10个图形中，哪些图形是可以用七巧板拼出来的？哪些是不可以拼出来的？

这个游戏锻炼的是数学中的空间思维能力，当然，为了更好、更快地寻找答案，你可以把我们一起制作的七巧板，拿来当作解题道具，花一点时间，花一点心思，你一定能发现游戏的秘密。

还是我来公布答案吧，只有这一个图形无法拼出来，其他都可以。

20世纪80年代，系列小说《狄仁杰断案传奇》中的《铁钉案》，讲了一个武师是一位拼七巧板的高手，他在被人毒死前，为了把凶手告诉他人，便用七巧板摆了一个图形。神探狄仁杰破解了这个七巧板图案，成功地查到了凶手。小说的热销使人们对七巧板的热情也被带动起来，在一些专家的努力下七巧板这一古老的游戏重新焕发了活力，而且成为很多青少年喜爱的一种益智活动。

如今，随着传统游戏回归现实生活，七巧板也越来越为人们喜欢。成年人把它当作减压的工具，很多中学生也通过玩七巧板来为自己烦闷的学习生活减压，有的学校还开展了团队七巧板活动，让许多人感觉玩七巧板使学习生活轻松了许多，大脑也变灵活了。总之，常玩七巧板，可以让中小学生从繁重的题海中解脱出来，调节他们的心理状态，有益于身心健康，使大脑越来越聪明。

5.现代智力七巧板

随着科技的进步和时代的发展，在传统七巧板基础上引用了现代高等数学的几何学、拓朴学和线性规划原理设计了现代“智力七巧板”，又称“现代智力七巧板”，由7块不规则板块构成：圆、半圆、三角形、梯形、直角板、圆、不规则图形（又称大板）。

现代智力七巧板

练习：

（1）按照下面的图案拼一拼：

（2）用现代智力七巧板完成下面的拼图，并标出连接线。

要求：

7块板都要用上；

每块板必须平放；

每块板不能重复。

汽车

竞走

飞机

（3）分解：用七巧板组拼下图，并在图案上画出分解线。

坐在草地上的姑娘

踢球

人

金鱼

滑梯