1.2　时滞系统

众所周知，无论是自然科学，还是社会科学，如网络系统、电路系统、化工系统、生态系统等，都不可避免地存在时滞问题。时滞的表现主要是现在的状态对过去的状态存在依赖。时滞是造成系统不稳定的一个重要原因。时滞的存在造成系统控制无论在理论分析上还是在工程实际中都有特殊的困难。同无滞后的过程比较，时滞使系统的响应性能变差，有时甚至难以稳定，更不能达到区域稳定的要求。因此时滞系统的分析与综合历来是控制理论研究的热点和难点。在将系统表达为状态空间方程时，其时滞主要有以下几种表现形式。

（1）状态时滞。形如

的系统称为具有状态时变滞后的系统。

（2）控制时滞。形如

的系统称为具有控制时变滞后的系统。

（3）分布时滞。形如

的系统称为具有分布时变滞后的系统。

通常在一个系统模型中会出现多种类型的时滞，且时滞还不尽相同，有时滞后是时变的，有时状态滞后可能是多重的。

时滞系统是由微分方程描述的，在20世纪60年代以后，针对一般的微分方程，在解的基本理论、稳定性理论、周期解理论、振动理论、解算子理论等许多方面都出现了重要的成果[4, 6, 11]。1963年，秦元勋等在论著中系统地阐述了在什么条件下可容许忽略时间滞后的因素；即使在时滞对系统有影响时，在什么条件下，时滞的影响不足以影响整个系统的稳定性[3]。稳定性的研究是控制理论中一个非常重要的基础问题，许多学者对此进行了深入的研究[3, 5, 12-18]。近来时滞的分析与综合出现了大量的成果。纵观时滞系统的发展，其研究方法可以分为时域方法和频域方法。

频域方法是比较早的稳定性研究方法，它通过特征方程的根的分布或复Lyapunov泛函方法和Razumikhin函数方程的解来判别稳定性，只适用于定常系统[6, 7, 11, 19-22]。时域方法主要有Lyapunov-Krasovskii方法和Lyapunov-Razumikhin函数方法，它们分别由Krosovskii和Razumikhin创立于20世纪50年代末[4]。时域方法中一种主要的研究方法是通过选取一个正定的Lyapunov泛函，使其对时间的导数是负定的，并表示为Riccati不等式或线性矩阵不等式的形式，从而得到保证系统稳定的条件并将其用于控制其设计等综合问题的研究[23-27]。近年来利用线性矩阵不等式和MATLAB工具箱或YALMIP工具箱求解方法，可构造Lyapunov泛函，使得其在时滞系统的分析与综合中起到了重要作用，越来越多的学者利用线性矩阵不等式对时滞系统进行时滞系统的分析与综合研究[28-33]。

根据稳定性条件是否依赖于滞后的时间，相应的稳定性条件可以分为时滞相关（或时滞依赖）的和时滞无关（或时滞独立）的。文献[24, 34, 35]给出了线性时滞系统的稳定性条件，这些条件都是时滞无关的，也就是说，结果中不包含任何时滞信息。对于Lyapunov-Krasovskii方法，Niculescu等人指出，如果线性时滞系统

是时滞无关稳定的，那么(A+Ad)和(A-Ad)都是Hurwitz（赫尔维茨）稳定的。时滞无关的条件不考虑时滞的大小，然而在许多实际系统中，时滞一般都是有界的，无穷时滞很少出现，当时滞有界或者时滞比较小时，时滞无关分析方法是比较保守的。因此控制界提出了几种时滞相关稳定性分析方法，这些方法对系统（1.2.1）做出了相应的模型变换[5, 36, 37]。

（1）一阶模型变换。

（2）中立模型变换。

（3）基于Park不等式[38]和Moon不等式[39]的模型变换。

（4）广义系统模型变换。

对于前两种模型变换（1）、（2），新系统具有附加特征值，原系统只是新系统的一个特例，因此采用新系统得出的稳定性结果存在一定的保守性[38, 40]。而且在结果的推导过程中，一般都要使用下面的向量不等式[39]

Fridman在2001年提出了第4种变换[41, 42]，从本质上看是变换（3）的一种变形。相对于变换（1）和（2），变换（3）和（4）与原系统是等价的，从某种程度上说，变换（3）和（4）的保守性比变换（1）和（2）的保守性要弱。

近来Wu M和He Y等人在最近的研究成果中指出，变换（3）和（4）在获得时滞相关稳定条件的过程中依然需要进行不等式的放大，其本质是基于牛顿−莱布尼茨公式来替换Lyapunov泛函导数中的时滞项，这样会存在一定的保守性。对此Wu M和He Y等提出了自由权矩阵方法[5, 37, 43]，即根据牛顿−莱布尼茨公式，对于任意的合适维数的矩阵N1和N2，有

将这一项的左边加入Lyapunov泛函的导数中，由于N1和N2是自由的，并且其最优值可以通过线性矩阵不等式的解来获得，因此这种处理方法可以克服一些采用固定权矩阵的保守性。

引入自由权矩阵后，可以建立x(t)、x(t-d)、及其他量之间的联系，并使得在进行线性矩阵不等式求解的时候自由度增大，从而降低保守性。

然而，如果自由权矩阵过多，自然会导致计算量的增大，并使系统的综合问题变得困难。Xu S从数学上证明了文献[44-50]中的7种方法都是等价的[51]。但是文献[48]中所给出的结果中，矩阵变量和矩阵不等式的维数要小于其他文献，这说明自由权矩阵的多少与保守性没有直接的关系。

相对于自由权矩阵方法，积分不等式方法也常被用来处理时滞问题[52-59]。Gu K最早将积分不等式方法引入时滞系统中进行稳定性分析[7]。文献[53, 54, 57, 58]利用积分不等式方法得到下述结果：

对任意矩阵，标量h>0，以及向量函数，如果积分存在，则有

其中

可以看出积分不等式的表达形式简单，没有自由参数。这在实际控制问题中是非常重要的，特别是在综合控制问题中，过多的自由权矩阵有时并不能改善控制的性能，相反可能会给综合控制问题的求解带来困难[57, 58]。Han Q等基于积分不等式使用分解时滞的方法，相对于其他处理时滞的方法获得了相对比较大的时滞上界[57, 58]。