2.9 窄带随机过程

在通信系统中，许多实际的信号和噪声都是“窄带”的，即它们的频谱只限于以±f_c为中心频率，带宽为Δf，且满足Δf≪f_c的条件，更确切地说，应该称之为高频窄带信号或噪声。例如，无线广播系统中的中频信号及噪声就是如此。如果这时的信号或噪声是一个随机过程，则称它们为窄带随机过程。为了表述窄带随机过程，我们需要推导出窄带信号的一般表示式。

窄带波形的定义可借助于它的频谱和波形示意图2-19来说明。图中，波形的频带宽度为Δf，中心频率为f_c。若波形满足Δf≪f_c，则称该波形为窄带的。

图2-19 窄带波形的频谱及示意波形

a）窄带波形的频谱 b）窄带波形时间示意图

如果在示波器上观察这个过程的一个实现的波形，则它像一个包络和相位缓慢变化的正弦波。因此，窄带随机过程可用下式表示

式中，a_ξ（t）及φ_ξ（t）是窄带随机过程ξ（t）的随机包络函数及随机相位函数；f_c是正弦波的中心频率。显然，这里的a_ξ（t）及φ_ξ（t）变化一定比载波cos（2πf_ct）的变化要缓慢得多。

窄带过程也可用下式表示：

其中

这里的ξ_c（t）及ξ_s（t）通常分别称为ξ（t）的同相分量及正交分量。由以上表述看出，ξ（t）的统计特性可由a_ξ（t）、φ_ξ（t）或ξ_c（t）、ξ_s（t）的统计特性确定。那么，如果已知ξ（t）的统计特性，则a_ξ（t）、φ_ξ（t）或ξ_c（t）、ξ_s（t）的特性如何确定呢？下面我们分析一个实用的特例，即ξ（t）为零均值平稳高斯窄带过程时，确定随机包络a_ξ（t）和随机相位φ_ξ（t）的统计特性，以及同相分量ξ_c（t）和正交分量ξ_s（t）的统计特性。

1.确定同相分量ξ_c（t）和正交分量ξ_s（t）的统计特性

对式（2-178）求数学期望

因为ξ（t）是平稳的，且已假设均值为零，也就是说，对于任意的时间t，有E[ξ（t）]=0，故由式（2-181）得

再来看ξ（t）的自相关函数。由式（2-181）可知，自相关函数可表示为

其中

，

，

因为ξ（t）是平稳的，故有

R_ξ（t，t+τ）=R_ξ（τ）

这就要求式（2-183）的右边与时间t无关，而仅与τ有关。若令t=0，式（2-183）仍应成立，即

这时显然要求下式恒等：

所以，式（2-184）变为

再令t=1/（4f_c），则同理可求得

由此我们证明了，如果ξ（t）是平稳的，ξ_c（t）与ξ_s（t）也必将是广义平稳的。

另外，由式（2-185）及式（2-186）还看到，要使这两个式子同时成立，则应有

可是根据互相关函数的性质，应有

将上式代入式（2-188），则得

上式表明，是τ的一个奇函数，故

同理可证

于是，由式（2-185）及式（2-186）得到

即

又因为已证得ξ_c（t）、ξ_s（t）是平稳的，而由式（2-178）可得

当t₁=0时，ξ（t₁）=ξ_c（t₁）

当t₂=1/（4f_c）时，ξ（t₂）=-ξ_s（t₂）

因为ξ（t）是高斯随机过程，故ξ_c（t₁）、ξ_s（t₂）也是高斯随机变量，从而ξ_c（t）、ξ_s（t）也是高斯随机过程。结合式（2-190）还可以看出，在同一时刻ξ_c（t）、ξ_s（t）的取值是不相关的，由于它们还是高斯型变量，因此也是统计独立的。

综上可得，同相分量ξ_c（t）和正交分量ξ_s（t）的统计特性具有如下结论：

1）一个均值为零、方差为的平稳高斯窄带过程，它的同相分量ξ_c（t）和正交分量ξ_s（t）同样是平稳高斯随机过程，而且数学期望均为0，方差均为。

2）对ξ_c（t）、ξ_s（t）在同一时刻上取样得到的随机变量ξ_c、ξ_s是不相关或统计独立的。

2.确定随机包络a_ξ（t）和随机相位φ_ξ（t）的统计特性

这里主要分析它们的一维分布函数。由上面的结论2）得知，同一时刻上同相分量ξ_c和正交分量ξ_s都为高斯变量且相互独立，且数学期望均为0，方差均为，所以它们的二维分布密度函数为

设a_ξ、φ_ξ的二维分布密度函数为f（a_ξ，φ_ξ），则根据概率论知识^[11]有

利用式（2-179）及式（2-180）的关系，可得

所以，可得

注意，这里a_ξ≥0[因a_ξ（t）≥0]，而φ_ξ在（0，2π）内取值。

再利用概率论中边际分布知识，可分别求得f（a_ξ）及f（φ_ξ）

可见，a_ξ服从瑞利分布；而

由瑞利分布的性质可得，上式中的积分值为1，故

可见，φ_ξ服从均匀分布。

结合式（2-195）、式（2-196）与式（2-197）可以看出，f（a_ξ，φ_ξ）=f（a_ξ）f（φ_ξ），所以a_ξ、φ_ξ是统计独立的。

综上可得，随机包络a_ξ（t）和随机相位φ_ξ（t）的统计特性具有如下特点：

1）一个均值为零、方差为的平稳高斯窄带过程，其包络a_ξ（t）的一维分布是瑞利分布，而其相位φ_ξ（t）的一维分布是均匀分布。

2）包络a_ξ（t）与相位φ_ξ（t）的一维分布是统计独立的。

二维码2-6